1、万有引力与航天一、基础知识1.开普勒定律（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆形 ，太阳处于所有椭圆的一个公共焦点上。行星的运动轨迹必有 近日点 和 远日点 。（2）开普勒第二定律（面积定律）：太阳与任何一个行星的连线在 相等时间 内扫过的面积相等。行星从近日点向远日点运动时， 速率变小 ；从远日点向近日点运动时， 速率变大 。（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的二次方的比值都相等，即 = k 。k只与被环绕天体有关，与行星无关。2.万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力大小F与物体的质量m1
2、和m2的乘积 成正比 ，与它们之间距离r的平方 成反比 。（2）公式：F= G ，引力常量 G=6.6710-11 Nm2/kg2 ，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互引力。（3）适用条件：两质点间、可视为质点的物体间、质量分布均匀的球体间的作用。3.人造地球卫星（1）卫星所受到的向心力完全由万有引力提供，由G = = m2r = m =ma ，可推导出：v= 、= 、T= 、a= ，所以当r增大时，v减小、减小、T增大、a减小。（2）近地卫星与同步卫星：近地卫星与赤道上物体的轨道半径近似相同，同步卫星的轨道半径较大。r同r近=r物。同步卫星与赤道上物体的运行周期相同，由T
3、= 知，近地卫星周期小于同步卫星。T近T同=T物。由a= 知同步卫星向心加速度小于近地卫星，由a= = 2r 知同步卫星向心加速度大于赤道上物体。a近a同a物。注：地面上物体的运动规律不同于卫星，向心力是万有引力的分力提供。（3）近地卫星的环绕速度近似为第一宇宙速度。4.宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v1= 7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v2= 11.2 km/s，物体挣脱地球阴历束缚需要的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3= 16.7 km/s，物体挣脱太阳引力束缚需要的最小发射速度。二、常规题型例1.（2011重庆
4、）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示该行星与地球的公转半径比为（ B ）A.() B.() C.() D. ()由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上所以行星的周期是年，由开普勒第三定律有=k，所以= =B答案练习1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ C ）A. 火星与木星公转
5、周期相等B. 火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C. 太阳位于木星运行椭圆轨道的某焦点上D. 相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积根据开普勒第三定律 = k，火星与木星的半长轴不等，所以周期不等，A错。根据开普勒第二定律，相同时间扫过面积相等，长轴短轴半径不一样，如果速度大小相等，面积必然不等，B错。根据第一定律，C对。根据开普勒第二定律，相同时间扫过面积相等，是对于同一行星来说的，D错。练习2.（2014浙江卷）长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r119 600 km，公转周期T16.39天.2006年3月，天文学家新
6、发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r248 000 km，则它的公转周期T2最接近于( B )A15天 B25天 C35天 D45天根据开普勒第三定律 = =k ，代入数据，得T2约等于25天，B正确练习3. 关于公式中常量 = k，下列说法中正确的是（ BD ）A. 对于所有星球或卫星，K值都相等B. 不同星球的行星或卫星，K值不相等C. K值是一个与星球无关的常量D. K值是一个与中心星球有关的常量例2.月球绕地球运转的周期为T1，半径为R1；地球绕太阳运转的周期为T2，半径为R2，则它们运动轨道半径的三次方和周期的二次方的比，正确的是（ B ）A. = B. C. D.无法确
7、定万有引力提供向心力，根据向心力的周期表达式可得 G=mr 解得 = ，由于地球质量小于太阳，所以B正确。能看得出来，中心天体质量大的，k值大。练习1. 在牛顿发表万有引力定律一百了年之后，卡文迪许首先精确测量了引力常量在国际单位制中引力常量的单位是（ D ）A. Nkg2 B. Nm2 C. Nkg2/m2 D. Nm2/kg2练习2. （2011上海）小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动则经过足够长的时间后，小行星运动的（ A ）A. 半径变大 B. 速率变大 C. 角速度变大 D. 加速度变大质量减小、万有引力减小、
8、向心力减小，做离心运动，所以A正确。v= M减小、r增大、v减小，B错。v=r ，v减小，r增大，所以减小，C错。a= ，M减小、r增大，a减小，D错。练习3.设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足（ A ）A.GM= B. GM= C. GM= D. GM=万有引力提供向心力，根据周期公式 G=mr 得，A正确。例3.2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆
9、周运动的半径为2r，则可以确定（ AC ）A. 翟志刚出舱后处于完全失重状态B. 翟志刚出舱取回外挂实验样品，若样品脱手，则样品做自由落体运动C. “神舟七号”与卫星的加速度大小之比为4：1D. “神舟七号”与卫星的线速度大小之比为1：“神舟七号”飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船上的任意两个物体都处于完全失重状态，故A正确。样品由于惯性继续绕地球做匀速圆周运动，故B错误。a= ，所以a1：a2=r22：r12=4：1，C正确。v= ，所以v1：v2=：=：1，D错。练习1. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则离地面越近的卫星（ BC ）A. 向心力一定越大F= G B. 向心加速度一定越大a=C
10、. 线速度一定越大v= D. 周期一定越大T=练习2.我国发射的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km，“神州八号”的运行轨道高度为343km它们的运行轨道均视为圆周，则（ B ）A. “天宫一号”比“神州八号”速度大B. “天宫一号”比“神州八号”周期大C. “天宫一号”比“神州八号”角速度大D. “天宫一号”比“神州八号”加速度大练习3. “天宫一号”目标飞行器在距地面约350km的圆轨道上运行，则飞行器（ B ）A. 速度大于7.9km/s第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大的运行速度B. 加速度小于9.8m/s2地面附近加速度为9.8m/s2，350
11、km高度重力减小，故重力加速度也减小C. 运行周期为24h T= 轨道低于同步卫星，即半径小于同步卫星，所以周期小于24hD. 角速度小于地球自转的角速度= 轨道低于同步卫星，即半径小于同步卫星，所以角速度大于例4.（2013浙江）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R下列说法正确的是（ BC ）A. 地球对一颗卫星的引力大小为应该用球心之间的距离，不是表面B. 一颗卫星对地球的引力大小为理由同上，正确C. 两颗卫星之间的引力大小为三个卫星构成等边三角形，边长rD. 三颗卫星对地球引力的合力大小为根据几何关系，合力为0练习1.火星有两颗卫
12、星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ AC ）A. 火卫一距火星表面较近 T=知，周期小的半径小，正确B. 火卫二的角速度较大=半径大的角速度小，错C. 火卫一的运动速度较大v=半径小的速度大，正确D. 火卫二的向心加速度较大a=半径大的加速度小，错练习2.如图，a、b、c是在地球大气层外同一平面内圆形轨道上运动的三颗卫星，则（ B ）A. b、c的角速度相等，且大于a的角速度a半径小，角速度更大，错B. b、c的周期相等，且大于a的周期a半径小，周期更小，对C. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心
13、加速度a半径小，加速度大，错D. b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度a半径小，速度小，错练习3.卫星电话信号需要通过地球卫星传送如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需要最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径为3.8105km，运动周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3108m/s）（ B ）A. 0.1s 根据万有引力提供向心力G = m 得r= ，已知月球和同步卫星的B. 0.25s 周期比为27：1，解得半径比为9：1，所以同步卫星半径r=3.81059=4.2104km，C. 0.5s 所以，同步卫星距
14、地面距离为4.2104- 6400=3.56104km，所以最小时间 D. 1s t=23.5610431082.5s例5.我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ B ）A. 0.4km/s B. 1.8km/s C. 11km/s D. 36km/s第一宇宙速度是在近地轨道环绕的速度，半径可近似看成地球半径，万有引力提供向心力G = 可知地球上第一宇宙速度为v1=，所以该卫星绕月球的速度即为月球的第一宇宙速度，v2=v1
15、=7.91.8练习1.某同学设想驾驶一辆由火箭做动力的陆航两用汽车沿赤道行驶，并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力当汽军速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，则此时汽车的速度大小约为（ B ）A. 6.1 km/sB. 7.9 km/sC. 8.9 km/sD. 11.2 km/s练习2.关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（ A ）A. 第一宇宙速度又叫环绕速度B. 第一宇宙速度又叫逃逸速度 第二宇宙速度叫逃逸速度C. 第一宇宙速度跟地球的质量无关 v1=，与地球质量和半径有关D. 第一宇宙速度跟地球的半径无关 v1=，与地球质量和半径有关练习
16、3.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ D ）A. B. C. D. 万有引力提供向心力，G = m，M=V=r3，代入得，T=三、重点难点例1.（2010，安徽）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出（ A ）A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤
17、火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力设火星质量M，探测器质量m，火星半径R，万有引力提供向心力，有G = m G = m ，m可以约掉，两个方程，M、R两个未知数，可以求得。火星密度=可求，g= 可求,A正确。m不可求所以火星对“萤火一号”的引力不可求，BCD错。练习1.（2014，新课标）假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( B )A. B. C. D.两极没有自转，所受重力等于万有引力，即=mg0，赤道的物体做圆周运动的周期等于地
18、球自转周期T，则 mg= mR，m可以约掉，两个方程两个未知数M、R可求，密度=，代入，求得B正确。练习2.（2014，广东卷）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是( AC )A轨道半径越大，周期越长T=，正确B轨道半径越大，速度越大v=，错误C若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度M= ，如果知道张角，则该星球半径为r=Rsin ，所以M=(Rsin)3 ，C正确。不知道张角无法计算出星球半径，所以无法求出密度，D错。练习3.（2013，大纲卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为
19、200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球的半径为1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为（ D ）A8.11010 kg B7.41013 kg C5.41019 kg D7.41022 kg由G = m(R+h),解得月球质量M=,代入数据得，D正确。例2.同步卫星离地心距离r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（ AD ）A. = B. = ()2 C. = D. =设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2
20、，在地球表面附近飞行的物体的质量为m2，a1=12r，a2=22R，1=2，所以 = ，A正确。由万有引力有G = ，G = ，成反比，所以 = ，D正确。练习1.（2014，天津）研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( A )A距地面的高度变大 B向心加速度变大 C线速度变大 D角速度变大卫星运行特点：高轨、低速、长周期，可知周期变长轨道高度变大，v、a、变小，A正确。练习2.（2013，海南）“北斗”卫星屏声息气定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成
21、。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是（ A ）A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7设地球半径R，由题意知静止轨道卫星半径r1=7R，中轨道卫星r2=4.4R，v= 、= 、T= 、a= ，可得A正确。例3.美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的星星“开普勒-226”，其直径约为地球的2.4倍。至今其确切质量和表面成分仍不清
22、楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于（ D ）A.3.3103m/s B.7.9103m/s C.1.2104m/s D.1.9104m/s设地球密度为，半径为R，第一宇宙速度为v1，该星球第一宇宙速度为v2，则有G = ，G = ,得v2=2.4v1=1.9104m/s练习1.（2014，福建卷）若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( C )A.倍 B.倍 C.倍 D.倍由Gm可知，卫星的环绕速度v，由于“宜居”行星的质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则有，故C项正确练习2.（2014，
23、江苏卷）已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( A )A3.5 km/s B5.0 km/s C17.7 km/s D35.2 km/s万有引力提供向心力，Gm知v，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v地7.9 km/s，故v火v地7.9 km/s3.5 km/s，A正确例4.（2012，天津）一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的 ，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ C ） A. 向心加速度大小之比为4：1B. 角速度大小之比为2：1C. 周期之比为1
24、：8D. 轨道半径之比为1：2v= ，速度变为 ，r变为原来的4倍，a= ，a变为 ，= ，变为 ，T= ，T变为8倍，所以C正确。练习1.（2013福建）设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作为r的圆，已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )AGM BGM CGM DGM设行星的质量为m，根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力有：Fn，根据牛顿第二定律有：Fnm，联立以上两式解得：GM，故选项A正确。练习2. （2013，广东）.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ A ）A.甲的向心加速度比乙
25、的小 B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大G = = m2r = m =ma 小结：熟记人造卫星的关系式，v= 、= 、T= 、a=例5.（2010，江苏卷）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，B为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ABC ）A.在轨道上经过A的速度小于经过B的速度B.在轨道上经过A的速度小于在轨道上经过A的速度C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D.在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度由v=得，距离越远速度越小，A正确。飞机从轨道I想要进
26、入轨道，必须在A点加速，所以B正确。低轨道卫星周期小高轨道周期大可知，C正确。由万有引力定律可知，距离一定，引力也一定，D错。练习1.（2013，新课标）2012年6曰18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是（ BC ）A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的速度可能会增加C.如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 受到万有引力绕地球匀速
27、圆周运动的卫星最大速度不能大于第一宇宙速度，A错。由于有稀薄大气，所以会有阻力，卫星速度将减小，于是万有引力大于所需向心力，做向心运动，轨道半径减小，根据v=，半径减小过程中速度不断增大，增大到向心力等于万有引力时，轨道固定，r比之前小，速度更大，BC正确。练习2.（2013，上海）小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的（ A ）(A)半径变大(B)速率变大(C)角速度变大(D)加速度变大恒星质量减小，导致万有引力减小，万有引力小于向心力，行星做离心运动，轨道半径变大，A正确。v= M变小
28、，R变大，速度v也逐渐变小，B错。= 角速度变小，C错。a= 加速度变小，D错。小结：正向点火提高高度、反向点火降低高度例6.（2012重庆）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕O点运动的( A )A轨道半径约为卡戎的 B角速度大小约为卡戎的C线速度大小约为卡戎的7倍 D向心力大小约为卡戎的7倍双星系统互相的万有引力提供各自的向心力，所以D错、且m12r1= m22r2 ，得m1：m2=r2：r1，A正确。双星系统周期一样，角速度一样，B错误。由v=r可知冥王星的线速度为卡戎的 ，C错。练习1.（2013，山东）双星
29、系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ B ） 双星系统互相的万有引力提供各自的向心力，G = m1r1 = m2r2，L= r1+ r2，M= m1+ m2，联立可得T2= ，当两恒星总质量变为kM，两星距离变为nL时，周期T变为T，B正确。小结：双星问题几个重要结论，T1=T2、1=2、=、r1+r2=L、m1+m2= 、T=2
