1、2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1圆（x2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为（）A1BC2D2抛物线y2=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）A1B2CD3已知p：“x2”，q：“x24”，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件4已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，下列说法正确的是（）A若a，ba，则bB若a，a，则C若，a，则aD若，则5在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，
2、D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）ABx2+y2=4CD6如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A+BCD+7若由方程x2y2=0和x2+（yb）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A或Bb2或b2C2b2D8设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，且，则实数b的最大值是（）AB2CD9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）ABCD10已知动圆C位于抛物线x2=4
3、y的内部（x24y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）AB2C4D16二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11写出命题p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定p：；判断p是命题（后一空中填“真”或“假”）12已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则AOB的外接圆的方程是13中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为14过椭圆C： +=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点若=，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=15如图为四棱锥PABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，AD=1已知顶点P
4、在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为，则在四棱锥PABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个命题：CD1平面BMN；MN平面AB1D1；平面AA1CC1平面BMN；三棱锥DMNC的体积有最大值其中真命题的序号是三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD1，A1D1的中点（）求证：平面CMN平面A1DE；（）求
5、证：平面A1DE平面A1AE18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ADBC，且，BCDC，BAD=60，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）（）求证：CDDP；（）若PA平面BME，求k的值；（）若二面角MBEA的平面角为150，求k的值19已知椭圆W：，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k20），过O作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F（）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使APB
6、=90？说明理由（）求k1k2的值；（）求|CD|2+|EF|2的值2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1圆（x2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为（）A1BC2D【考点】直线与圆的位置关系【分析】算出已知圆的圆心为C（2，0），半径r=2利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d=1，由垂径定理加以计算，可得直线l被圆截得的弦长【解答】解：圆（x2）2+y2=4的圆心为C（3，0），半径r=2，点C到直线直线x=1的距离d=1，根据
7、垂径定理，得圆（x2）2+y2=4被直线x=1截得的弦长为2=2故选：D2抛物线y2=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）A1B2CD【考点】抛物线的简单性质【分析】确定抛物线y2=2x的焦点为（，0），准线方程为x=设所求点P的坐标为（x0，y0），利用|PF|=3，结合抛物线的定义即可得出【解答】解：由抛物线方程y2=2x的焦点为（，0），准线方程为x=设所求点P的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义可得，|PF|=x0+=3解得x0=故选：C3已知p：“x2”，q：“x24”，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充
8、分条件与充要条件的判断【分析】由x24，解得x2或x2，即可判断出结论【解答】解：由x24，解得x2或x2，p是q的充分不必要条件故选：A4已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，下列说法正确的是（）A若a，ba，则bB若a，a，则C若，a，则aD若，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，若a，ba，则b，b与相交或b，不正确；对于B，若a，a，则或，相交，不正确；对于C，若，a，则a或a，不正确；对于D，若，在内存在直线与垂直，根据平面与平面垂直的判定，可得，正确故选：D5在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线
9、段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）ABx2+y2=4CD【考点】轨迹方程【分析】设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2=16整理得线段PD的中点M的轨迹【解答】解：设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）M为线段PD的中点，y1+0=2y，y1=2y又P（x，y1）在圆x2+y2=16上，x2+y12=16，x2+4y2=16，即=1点M的轨迹方程为=1故选：C6如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A+BCD+【考点】相等向量与相反向
10、量【分析】由题意可得=+=+=+ ，化简得到结果【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（）=+（）=+，故选A7若由方程x2y2=0和x2+（yb）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A或Bb2或b2C2b2D【考点】曲线与方程【分析】由方程x2y2=0和x2+（yb）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，直线与x2+（yb）2=2相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论【解答】解：由题意，x2y2=0表示两条直线xy=0由方程x2y2=0和x2+（yb）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，直线与x2+（yb）2=2相切或相离，b2或b2，
11、故选：B8设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，且，则实数b的最大值是（）AB2CD【考点】直线与圆的位置关系【分析】设P1P2中点为D，则ODP1P2，确定|22，即可求出实数b的最大值【解答】解：设P1P2中点为D，则ODP1P2，|2|，|2+|2=4|22直线l：y=x+b（b0）与圆x2+y2=4交于不同的两点P1、P2，|24|22（）22b0b2实数b的最大值是2故选：B9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据三视图作出三棱锥的直观
12、图，根据三视图中的数据计算棱锥的体积【解答】解：由三视图可知三棱锥是从边长为4的正方体中截出来的MADD，其中M为BC的中点三棱锥的体积V=故选：C10已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x24y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）AB2C4D16【考点】抛物线的简单性质【分析】设圆的方程为x2+（yb）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（42b）y=0，利用42b=0，求出b，即可求出动圆C的周长的最大值【解答】解：设圆的方程为x2+（yb）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（42b）y=0，42b=0，b=2，动圆C的周长的最大值是22=4故选：C二、填空题（本大题共
13、6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11写出命题p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定p：存在两个等腰直角三角形，它们不相似；判断p是假命题（后一空中填“真”或“假”）【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似，任意两个等腰直角三角形都是相似的为真命题，原命题为真命题，则命题的否定为假命题，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似 假12已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则AOB的外接圆的方程是（x4）2+（y3）2=25【考点】圆的标准方程【分析】
14、根据题意，AOB是以AB为斜边的直角三角形，因此外接圆是以AB为直径的圆由此算出AB中点C的坐标和AB长度，结合圆的标准方程形式，即可求出AOB的外接圆的方程【解答】解：AOB的顶点坐标为A（8，0），B（0，6），O（0，0），OAOB，可得AOB的外接圆是以AB为直径的圆AB中点为C（4，3），|AB|=10圆的圆心为C（4，3），半径为r=5可得AOB的外接圆的方程为（x4）2+（y3）2=25故答案为：（x4）2+（y3）2=2513中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的方程为=1（a，b0），由题意可得b
15、，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a=1，可得双曲线的方程，即可得到渐近线方程【解答】解：设双曲线的方程为=1（a，b0），由题意可得2b=4，即b=2，又e=3，c2=a2+b2，解得a=1，可得双曲线的方程为y2=1，即有渐近线的方程为y=x故答案为：y=x14过椭圆C： +=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点若=，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=【考点】椭圆的简单性质【分析】求得椭圆的a，b，c，右焦点坐标，由=，可得F2为AB的中点，即有ABx轴，令x=1，可得|AF2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值【解答】解：椭圆C： +=1的a=2，b=，c=1，右焦点F2为
16、（1，0），由=，可得F2为AB的中点，即有ABx轴，令x=1，可得y=，由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2a=4，可得|AF1|=4|AF2|=4=故答案为：15如图为四棱锥PABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，AD=1已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为，则在四棱锥PABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为【考点】直线与平面所成的角【分析】作出四棱锥的直观图，根据PA平面ABCD即可得出PCA为所求角，利用勾股定理计算AC，即可得出线面角的正切值【解答】解：作出四棱锥的直观图如图所示：顶点P在底面ABCD上的射影为点A，PA平面ABCD，PCA为直线
17、PC与平面ABCD所成的角，PA=四边形ABCD为矩形，AD=1，AC=，tanPCA=故答案为：16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个命题：CD1平面BMN；MN平面AB1D1；平面AA1CC1平面BMN；三棱锥DMNC的体积有最大值其中真命题的序号是【考点】棱柱的结构特征【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断4个命题得答案【解答】解：CD1与BM成60角，CD1与平面BMN不垂直，错误；平面BMN平面AB1D1，MN平面AB1D1，正确；平面BMN与平面BC1D重合，而平面AA1CC1平面
18、BC1D，正确；M与B重合时，三棱锥DMNC的体积最大，而M不与B，C1重合，错误z正确命题的序号为故答案为：三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD1，A1D1的中点（）求证：平面CMN平面A1DE；（）求证：平面A1DE平面A1AE【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（I）由中位线定理可得MNA1D，由长方体的结构特征可得四边形A1ECN是平行四边形，故CNA1E，从而平面CMN平面A1DE；（II）由AA1
19、平面ABCD可得AA1DE，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AEDE，故DE平面A1AE，从而平面A1DE平面A1AE【解答】解：（）M，N分别为棱DD1，A1D1的中点，MNA1D，A1D平面A1DE，MN平面A1DE，MN平面A1CDE是BC中点，N是A1D1的中点，A1N=CE，A1NCE，四边形A1ECN是平行四边形，CNA1E，A1E平面A1DE，CN平面A1DE，CN平面A1CD，又MNCN=N，MN平面MCN，CN平面MCN，平面CMN平面A1DE（）AA1平面ABCD，DE平面ABCD，AA1DEAB=1，AD=2，E为BC的中点，EA2+ED2=AD2，即AEDEAA1平
20、面AA1E，AE平面AA1E，AEAA1=A，DE平面A1AE又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面A1AE18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ADBC，且，BCDC，BAD=60，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）（）求证：CDDP；（）若PA平面BME，求k的值；（）若二面角MBEA的平面角为150，求k的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）推导出PEAD，从而PE平面ABCD，进而PECD，再由CDDA，得CD平面PAD，由此能证明CDDP.（）连接AC交BE于N，连接MN，推导
21、出PAMN，从而CBN=AEN=90，进而CNBANE由此能求出k=1（）法一：连接CE，过点M作MFPE交CE于F，过A（0，1，0）作FGBE于G，连接MG，则MGF为二面角MBEC的平面角，由此能示出k法二：以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出k【解答】（本题满分14分）证明：（）因为PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PEAD因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PE平面PAD，所以PE平面ABCD又CD平面ABCD，所以PECD由已知得CDDA，PEAD=E，所以CD平面PAD双DP平面PAD
22、，所以CDDP.解：（）连接AC交BE于N，连接MN因为PA平面BME，PA平面PAC，平面PAC平面BME=MN，所以PAMN因为 ADBC，BCDC，所以CBN=AEN=90又CB=AE，CNB=ANE，所以CNBANE所以CN=NA，则M为PC的中点，k=1.（）方法一：依题意，若二面角MBEA的大小为150，则二面角MBEC的大小为30连接CE，过点M作MFPE交CE于F，过A（0，1，0）作FGBE于G，连接MG因为PE平面ABCD，所以MF平面ABCD又BE平面ABCD，所以MFBE又MFFG=F，MF平面MFG，FG平面MFG，所以BE平面MFG，从而BEMG则MGF为二面角MB
23、EC的平面角，即MGF=30在等边PAD中，由于，所以又，所以在MFG中，解得k=3.方法二：由于EPEA，EPEB，EAEB，以E为原点，射线EB，EA，EP分别为x正半轴，y正半轴，z正半轴建立空间直角坐标系，如图，BAD=60，A（0，1，0），D（0，1，0），E（0，0，0），平面ABE即xoy平面的一个法向量为=（0，0，1）设M（x，y，z），由条件可知：（k0），即，解得：即，设平面MBE的一个法向量为=（x，y，z），则，x=0，令，则z=k即=（0，）因为二面角MBEA的平面角为150，所以|cos|=|cos150|，即=，解得k=3因为k0，所以k=3.19已知椭圆W：
24、，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k20），过O作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F（）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使APB=90？说明理由（）求k1k2的值；（）求|CD|2+|EF|2的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）不存在点P，使APB=90理由如下：设P（xP，yP），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（）设P（xP，yP），A（xA，yA），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值；（）方法一：由于l2
25、，l3分别平行于直线PA，PB，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；方法二、设C（xC，yC），E（xE，yE），由直线l2，l3都过原点，则D（xC，yC），F（xE，yE）由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值【解答】解：（）不存在点P，使APB=90说明如下：设P（xP，yP）依题意，此时A（2，0），B（2，0），则，若APB=90，则需使，即（1）又点P在椭圆W上，所以，把代入（1）式中解得，xP=2，且yP=0显然与P为椭圆上异于A，B的点矛盾，所以不存在；（）设P（xP，yP），A（x
26、A，yA），依题意直线l1过原点，则B（xA，yA）由于P为椭圆上异于A，B的点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率即椭圆W的方程化为x2+4y2=4，由于点P和点A都为椭圆W上的点，则，两式相减得，因为点P和点A不重合，所以，即；（）方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2设直线l2的方程为y=k1x，代入到椭圆方程中，得，解得设C（xC，yC），由直线l2过原点，则D（xC，yC）则=由于yC=k1xC，所以|CD|2=，即|CD|2=直线l3的方程为y=k2x，代入到椭圆方程中，得，解得同理可得则|CD|2+|EF|2=由（）
27、问，且k10，则即|CD|2+|EF|2=16化简得|CD|2+|EF|2=16即|CD|2+|EF|2=20方法二：设C（xC，yC），E（xE，yE），由直线l2，l3都过原点，则D（xC，yC），F（xE，yE）由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2，由（）得，可得由于kCD=k10，则由于点C不可能在x轴上，即yC0，所以，过原点的直线l3的方程为，代入椭圆W的方程中，得，化简得由于点C（xC，yC）在椭圆W上，所以，所以，不妨设xE=2yC，代入到直线中，得即，则|CD|2+|EF|2=又，所以|CD|2+|EF|2=2018
