1、2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷2一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知全集UR，Ax|x40，Bx|x2，则A（UB）（）A2，+）B（2，+）C4，+）D（4，+）2（5分）若复数a-i1+i为纯虚数，则实数a的值为（）AiB0C1D13（5分）Sn为等差数列an的前n项和，若S150，则a8（）A1B0C1D24（5分）已知aR，直线l：x+ay+a20，圆M：（x1）2+（y1）21，则“a0”是“直线l与圆M相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，ABADC
2、D，BCAD，ABC60，PAB是等边三角形，若四棱锥PABCD体积的最大值93，则球O的表面积为（）A56B54C52D506（5分）盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）A910B110C710D3107（5分）已知曲线f（x）=13x3+12x25在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为，则cos2sin2+cos2=（）A13B-35C2D858（5分）已知函数f(x)=log2(mx2+nx-2)的两个零点是3和1，如果曲线|y|nx+2与直线yb没有公共点，则b的取值范围是（）A-12，12B1，1C2，2D3，
3、39（5分）已知数列an满足an+12anan+2（nN*），若a31，a74a3，则a4a5a6（）A8B8C8D1610（5分）已知三棱锥PABC满足PA底面ABC，在ABC中，AB6，AC8，ABAC，D是线段AC上一点，且AD3DC，球O为三棱锥PABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40，则球O的表面积为（）A72B86C112D12811（5分）已知点A（0，1）是抛物线x22py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为（）A2B
4、3C2+1D3+112（5分）设奇函数f（x）的定义域为（-2，2），且f（x）的图象是连续不间断，x（-2，0），有f（x）cosx+f（x）sinx0，若12f（m）f（3）cos（m），则m的取值范围是（）A（-2，-3）B（0，3）C（-2，3）D（3，2）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）设向量a=（2，2），b=（m，1），若a与b共线，则m 14（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 15（5分）若函数f(x)=sin2x-3cos2x的图象向左平移8个单位得到函数g（x）的图象则g（x）在区间-8，38上的最小
5、值为 16（5分）已知椭圆C：x26+y22=1的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则ABF2的内切圆方程是 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”（）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）组别
6、分组频数频率频率组距 160，70）270，80）380，90）490，100）18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2bcosC（1）若cosB=13，求sinA的值；（2）若a4，ABC的面积为82，AC的中点为D，求BD的长19（12分）点P（1，t）（t0）是抛物线C：y24x上一点，F为C的焦点（）若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求QFP的面积；（）过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点证明：直线MN的斜率是定值20（12分）如图，在直角AOB中，OAOB2AOC通过AOB以直线OA为轴顺时针旋转120得到（BOC120）点M为线段BC上
7、一点，且MB=433（）证明：MO平面AOB；（）若D是线段AB的中点，求四棱锥OACMD的体积21（12分）已知函数f（x）lnx+(a+x)22（aR）（）若函数h（x）f（x）x（a+1）lnx，讨论h（x）的单调性；（）若函数f（x）的导数f（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，证明：f（x2）x1+x22四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1-32ty=-3+12t（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为23sin（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2
8、）设点P(1，-3)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求2|PA|+2|PB|的值五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+1|x2|（1）解不等式f（x）1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c=s（a，b，c0），证明：ba+cb+ac32020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷2参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知全集UR，Ax|x40，Bx|x2，则A（UB）（）A2，+）B（2，+）C4，+）D（4，+）【解答】解：因为UR，Bx|x2，所以UBx|x2，又Ax|x4，所以：A（UB）x|x2，故选：A2（5分）若复数a-i1
9、+i为纯虚数，则实数a的值为（）AiB0C1D1【解答】解：复数a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-12-(a+1)2i为纯虚数，a-12=0，-a+120，解得a1故选：C3（5分）Sn为等差数列an的前n项和，若S150，则a8（）A1B0C1D2【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，S15=15(a1+a15)2=15a80，则a80，故选：B4（5分）已知aR，直线l：x+ay+a20，圆M：（x1）2+（y1）21，则“a0”是“直线l与圆M相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：直线l与圆M相切|1+a+a
10、-2|1+a2=1，化为：3a24a0，解得a0或a=43“a0”是“直线l与圆M相切”的充分不必要条件故选：A5（5分）已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，ABADCD，BCAD，ABC60，PAB是等边三角形，若四棱锥PABCD体积的最大值93，则球O的表面积为（）A56B54C52D50【解答】解：四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，如图：四棱锥PABCD体积的最大值93，只有平面PAB与底面ABCD垂直，并且底面ABCD面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为ABADCD，BCAD，ABC60，可得ABCD是正六边形的一半，设ABADCDa，则四棱锥的体积的最大值为
11、：1332a3a232a=93，解得a23此时，底面ABCD的外心为E，外接球的球心为O，外接球的半径为R，所以R=(133223)2+(23)2=13，所以外接球的表面积为：4(13)2=52故选：C6（5分）盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）A910B110C710D310【解答】解：盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），基本事件总数n=C53=10，至少摸出一个黑球包含的基本事件个数m=C31C22+C32C21=9，至少摸出一个黑球的概率为p=mn=910故选：A7
12、（5分）已知曲线f（x）=13x3+12x25在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为，则cos2sin2+cos2=（）A13B-35C2D85【解答】解：由f（x）=13x3+12x25，得f（x）x2+x，则f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率tanf（1）2cos2sin2+cos2=cos2-sin22sincos+cos2=1-tan22tan+1=-35故选：B8（5分）已知函数f(x)=log2(mx2+nx-2)的两个零点是3和1，如果曲线|y|nx+2与直线yb没有公共点，则b的取值范围是（）A-12，12B1，1C2，2D3，3【解答】解：由题意得，3，1是方程mx2+nx
13、21，即mx2+nx30的两根，所以：31=-3m，3+1=-nm，解得：m1，n2，所以|y|2x+2，如图所示：如果曲线|y|2x+2与直线yb没有公共点，则b2，2，故选：C9（5分）已知数列an满足an+12anan+2（nN*），若a31，a74a3，则a4a5a6（）A8B8C8D16【解答】解：数列an满足an+12anan+2（nN*），an是等比数列，a3，a5，a7同号，a31，a74a3，a5=a3a7=2，a4a5a6=a53=8故选：C10（5分）已知三棱锥PABC满足PA底面ABC，在ABC中，AB6，AC8，ABAC，D是线段AC上一点，且AD3DC，球O为三棱锥
14、PABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40，则球O的表面积为（）A72B86C112D128【解答】解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O设三角形ABC的中心为O，设外接球的半径为R，球心O到平面ABC的距离为x，即OOx，连接OA，则OA5，R2r2+25，在三角形ABC中，取AC的中点E，连接OD，OE，则OE=12AB=3，DE=14AC2，OD=13，在RtOOD中，OD=r2+13，由题意得当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面半径为r，则r2R2OD2x2+25（x2+13）12，所以截面圆的面积为r21
15、2，当截面过球心时，截面圆的面积最大为R2，12+R240，所以R228，所以表面积S4R2112，故选：C11（5分）已知点A（0，1）是抛物线x22py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为（）A2B3C2+1D3+1【解答】解：点A（0，1）是抛物线C：x22py（p0）准线上的一点，可得p2，抛物线的标准方程为x24y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|PF|，|PF|m|PA|，|PN|m|PA|，则
16、|PN|PA|=m，设PA的倾斜角为，则sinm，当m取得最小值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为ykx1，代入x24y，可得x24（kx1），即x24kx+40，16k2160，k1，P（2，1），双曲线的实轴长为|PA|PF|2（2-1），双曲线的离心率为22(2-1)=2+1故选：C12（5分）设奇函数f（x）的定义域为（-2，2），且f（x）的图象是连续不间断，x（-2，0），有f（x）cosx+f（x）sinx0，若12f（m）f（3）cos（m），则m的取值范围是（）A（-2，-3）B（0，3）C（-2，3）D（3，2）【解答】解：令g（x）=f(x)co
17、sx，x（-2，2），f（x）为奇函数，ycosx为偶函数，g（x）=f(x)cosx，x（-2，2）为奇函数x（-2，0），有f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x0，g（x）在区间（-2，0）上单调递增，又g（x）为奇函数，g（x）在区间（-2，2）上单调递增，当x（-2，2），cosx0，12f（m）f（3）cos（m）f(m)cos(-m)=f(m)cosmf(3)cos3，-2m3故选：C二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）设向量a=（2，2），b=（m，1），若a与b共线，则m-2【解答】解：向量a=（2，2
18、），b=（m，1），a与b共线，-m2=12，解得m=-2故答案为：-214（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为23【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n=C32=3，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C21=2，则甲被选中的概率为P=mn=23故答案为：2315（5分）若函数f(x)=sin2x-3cos2x的图象向左平移8个单位得到函数g（x）的图象则g（x）在区间-8，38上的最小值为-3【解答】解：f(x)=2(12sin2x-32cos2x)=2sin(2x-3)，函数f（x）向左平移8个
19、单位得到函数g(x)=2sin2(x+8)-3=2sin(2x-12)，x-8，38，2x-12-3，23，2sin(2x-12)-3，2，即g（x）在区间-8，38上的最小值为-3故答案为：-316（5分）已知椭圆C：x26+y22=1的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则ABF2的内切圆方程是(x+43)2+y2=49【解答】解：设ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为x26+y22=1，其中a=6，b=2，c=a2-b2=2，则|F1F2|2c4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2|AF1|216，|AF1|+|AF2|2a=26，解得：|AF1|=63，|AF2
20、|=563，ABF2的周长l|AF2|+|BF2|+|AB|=1063+263=46，其面积S=12|AB|F1F2|=122634=463，由内切圆的性质可知，有12r46=463，解得r=23圆心横坐标为2+23=-43，即圆心坐标为（-43，0），则ABF2的内切圆方程是(x+43)2+y2=49，故答案为：(x+43)2+y2=49三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数如图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”（）从这20人中成绩
21、为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）组别分组频数频率频率组距 160，70）270，80）380，90）490，100）【解答】解：（）设分数分别为95，96，98的四人为a，b，c，d，从成绩为优秀的员工中任取2人，包含（a，b），（a，c），（b，d），（c，d）共6个基本事件，设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人，恰有一人的分数为96是事件A，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，d），（c，d），共4个，P
22、（A）=46=23（）完成频率分布直方图如下： 组别分组频数 频率 频率组距 160，70） 2 110 0.01 270，80） 6 310 0.03 380，90） 8 25 0.04 490，100 4 15 0.02作出频率分布直方图得：根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数为：x=60110+75310+85410+95210=8218（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2bcosC（1）若cosB=13，求sinA的值；（2）若a4，ABC的面积为82，AC的中点为D，求BD的长【解答】解：（1）a2bcosC，sinA2sinBcosC，即sin（B
23、+C）2sinBcosC，sinBcosC+sinCcosB2sinBcosC，sin（CB）0，B，C为三角形的内角，所以BC，cosB=13，sinB=223，sinAsin（B+C）2sinBcosB213223=429，（2）由已知结合（1）可知BC，故bc，设BC 边上的高h，sABC=124h=82，h42，此时tanBtanC=422=22，则cosBcosC=13，bc6BDC中，由余弦定理可知，BD=16+9-23413=1719（12分）点P（1，t）（t0）是抛物线C：y24x上一点，F为C的焦点（）若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求QFP的面积；（）过点P作两条倾斜
24、角互补的直线分别与C交于M，N两点证明：直线MN的斜率是定值【解答】解：（）将P（1，t）代入y24x得t2，点P（1，2），直线OP的方程为：y2x，又准线方程为：x1，点Q（1，2），SQFP=12|OF|yP-yQ|=1214=2；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM与直线PN的倾斜角互补，kPM+kPN0，y1-2x1-1+y2-2x2-1=0，又x1=y124，x2=y224，y1-2y124-1+y2-2y224-1=0，整理得：4y1+2+4y2+2=0，y1+2（y2+2），y1+y24，直线MN的斜率kMN=y1-y2x1-x2=y1-y2y124-y224=4
25、y1+y2=-1，故直线MN的斜率为定值120（12分）如图，在直角AOB中，OAOB2AOC通过AOB以直线OA为轴顺时针旋转120得到（BOC120）点M为线段BC上一点，且MB=433（）证明：MO平面AOB；（）若D是线段AB的中点，求四棱锥OACMD的体积【解答】解：（）证明：在MOB中，由余弦定理得OM=233，OM2+OB2MB2，OMOB，由题意得OAOB，OAOC，OBOCO，OA平面COB，OM平面COB，OAOM，OAOBO，MO平面AOB（）解：D是线段AB的中点，VABDC=131222322=233，VMCDBVDCMB=131222331=239，四棱锥OACMD
26、的体积为：VOACMDVABDCVMCBD=43921（12分）已知函数f（x）lnx+(a+x)22（aR）（）若函数h（x）f（x）x（a+1）lnx，讨论h（x）的单调性；（）若函数f（x）的导数f（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，证明：f（x2）x1+x22【解答】解：（I）h（x）=(a+x)22-xalnx，x0，h(x)=(x-1)(x+a)x，当a0时，由h（x）0可得x1，由h（x）0可得0x1，故h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当1a0时，由h（x）0可得x1或0x1，由h（x）0可得ax1，故h（x）在（a，1）上单调递减，在（1，+），（
27、0，a）上单调递增，当a1时，由h（x）0可得xa或0x1，由h（x）0可得1xa，故h（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+），（0，1）上单调递增，当a1时，h（x）0恒成立，故h（x）在（0，+）上单调递增，综上当a0时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当1a0时，h（x）在（a，1）上单调递减，在（1，+），（0，a）上单调递增，当a1时，h（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+），（0，1）上单调递增，当a1时，故h（x）在（0，+）上单调递增，（II）证明：f(x)=x2+ax+1x，x0，且导数f（x）的两个零点从小到大依次为x1，x2，x1，x2，是
28、x2+ax+10的两根，所以x1+x2=-ax1x2=1，x2x10，所以0x11x2，要证明：f（x2）x1+x22，只要证(a+x2)2x+lnx2x1+x22，只需证12x12+ln1x112(x1+1x1)，令g（x）=12x2-lnx-12x-12x，0x1，则g(x)=(x2-1)(2x-1)2x2，易得当0x12时，g（x）0，当x12时g（x）0，所以g（x）在（0，12）上单调递增，在（12，1）上单调递减，故g（x）g（12）0即f（x2）x1+x22四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1-32ty=-
29、3+12t（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为23sin（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点P(1，-3)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求2|PA|+2|PB|的值【解答】解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为x+3y+2=0；因为=-23sin，所以2=-23sin，因为xcos，ysin，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+23y=0（2）由题意判断点P(1，-3)是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2-3t-2=0其中=(-3)2-4(-2)
30、=110，t1+t2=3，t1t22于是2|PA|+2|PB|=2|t1|+2|t2|=2|t1-t2|t1t2|=2(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=11五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|x+1|x2|（1）解不等式f（x）1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c=s（a，b，c0），证明：ba+cb+ac3【解答】解：（1）f(x)=-3，x-12x-1，-1x23，x2，当x1时，31恒成立，所以x1；当1x2时，2x11，即x1，所以1x1；当x2时，31显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（，1（2）证明：由（1）知f（x）max3s，于是a+b+c=3，所以ba+a+cb+b+ac+c2b+2c+2a=6，当且仅当abc1时取等号，所以ba+cb+ac3
