1、2021年新高考数学模拟试卷（13）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x（x+1）0，Bx|12x1，则BA（）A（1，0B（1，0）C（，1D（，02（5分）在复平面内，复数5i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（）A210km/hB42km/hC23km/hD3km/h4（5分）已知函数f(x+1)=x+2，则（）Af（x）x2+2x+1Bf（x）x22x+3（x1）Cf（x）x22x+1Df（x）x2+2x+
2、3（x1）5（5分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（）A甲B乙C丙D丁6（5分）已知点M（4，2），抛物线x24y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQl，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A1+25B25C17D57（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出2只，则恰有1只测量过该指标的概率为（）A23B3
3、5C25D158（5分）已知三次函数f(x)=x33+ax2-3a2x+b(a0）有两个零点，若方程ff（x）0有四个实数根，则实数a的范围为（）A(0，68)B(0，328)C(68，+)D(68，328)二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起50%实验动物出现阳性反应的药物剂量（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标通常将半数致死量（LD5
4、0）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数基于以上内容，下列说法正确的是（）ALD50越小，药物毒性越大BTI越小，药物安全度越高C同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越低D同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越高10（5分）下列命题中正确的是（）A函数y=(12)x-x2在区间（0，1）上有且只有1个零点B若函数f（x）x2+ax+b，则f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2C如果函数y=x+1x在a，b上单调递增，那么它在b，a上单调递减D若函数yf（x）的图象关于点（a，b）对称，则函数yf（x+a）b为奇函数11（5分）已知a，b为两条不同直线，为三
5、个不同平面，下列说法正确的有（）A若，则B若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，ab，则b12（5分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称C函数f（x）在（-512，-6）单调递增D函数f（x）的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3后关于y轴对称三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）若sin（+6）=-13，（0，），则cos（2-23） 14（5分）已知双曲线C：x2a
6、2-y2b2=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若|MN|b，则C的离心率为 15（5分）已知非零向量a，b满足|a|4|b|，且（a-2b）b，则a与b的夹角为 16（5分）已知正四棱锥的底面边长为4cm，侧面积为24cm2，则该四棱锥的体积是 cm3四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）数列an中，a1=12，an=2an+1-(12)n（nN*），数列bn满足bn=2nan（nN*）（）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cn=log2nan，求数列2cncn+2的前n项和Tn18（12分）如图所
7、示，在ABC中，已知点D在边BC上，且ADAC=0，cosDAB=223，AB32（1）若BC43，求sinC的值；（2）若AC=2，求BC边上的中线AE的长19（12分）已知矩形ABCD中，AB2，AD3，在AD上取一点E满足2AEED现将CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PAPB（1）求证：平面PCE平面ABCE；（2）求二面角BPAE的余弦值20（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典，用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3：2
8、，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7：5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5：3（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学阅读交流实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望E（）附表及公式
9、：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82821（12分）已知m为实常数命题p：x（1，2），x2+xm0；命题q：函数f（x）lnxmx在区间1，2上是单调递增函数（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围22（12分）已知函数f（x）alnxx，且函数f（x）在x1处取到极值（1）求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g(x)=(x-m)
10、2f(x)+x(0m1)，且函数g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1x2x3），证明：ln（x1+x32）-122021年新高考数学模拟试卷（13）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x（x+1）0，Bx|12x1，则BA（）A（1，0B（1，0）C（，1D（，0【解答】解：Ax|1x0，Bx|x0，BA（，1故选：C2（5分）在复平面内，复数5i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i，在复平面内，复数5i1+2i对应的点的坐标为（2，1）
11、，位于第一象限故选：A3（5分）一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（）A210km/hB42km/hC23km/hD3km/h【解答】解：如图所示，渔船实际航行的速度为vAC=v船+v水；大小为|vAC|v船+v水|=62+22 210km/h故选：A4（5分）已知函数f(x+1)=x+2，则（）Af（x）x2+2x+1Bf（x）x22x+3（x1）Cf（x）x22x+1Df（x）x2+2x+3（x1）【解答】解：设t=x+1(t1)，则x（t1）2t22t+1，因为f(x+1)=x+2，所以f（t）t22t+3，即f（
12、x）x22x+3（x1）故选：B5（5分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（）A甲B乙C丙D丁【解答】解：若甲获奖，则乙，丙说的是真话，与题意矛盾；若乙获奖，则丁说的是真话，若丙获奖，则甲，乙说的是真话，与题意矛盾；若丁获奖，则四人都是假话，与题意矛盾；故选：B6（5分）已知点M（4，2），抛物线x24y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQl，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|
13、QR|+|MR|的最小值为（）A1+25B25C17D5【解答】解：设P（m，m24），则过P的切线的斜率为：k=m2，Q（m，1），kPQ=-2m，kPQk1，根据抛物线的定义，|PF|PQ|l1为FQ的垂直平分线，|RF|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|=(-4-0)2+(-2-1)2=5，故选：D7（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出2只，则恰有1只测量过该指标的概率为（）A23B35C25D15【解答】解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取2只的所有取法有：a，b，a，c，a，A，a，
14、B，b，c，b，B，b，A，c，A，c，B，A，B，共10种，其中恰有1只做过测试的取法有6种，所以恰有1只做过测试的概率为p610=35，故选：B8（5分）已知三次函数f(x)=x33+ax2-3a2x+b(a0）有两个零点，若方程ff（x）0有四个实数根，则实数a的范围为（）A(0，68)B(0，328)C(68，+)D(68，328)【解答】解：三次函数f(x)=x33+ax2-3a2x+b(a0）有两个零点，且由f（x）x2+2ax3a20得xa或3a故必有f(a)=0f(-3a)0或f(-3a)=0f(a)0又若方程ff（x）0有四个实数根，则f（x）a或f（x）3a共有四个根当前一
15、组混合组成立时b=53a3，做出图象（图）可知，只需0af（3a）即可，即-9a3+9a3+9a3+53a3a，解得a68；当后一组混合组成立时b9a3，做出图象（图）可知 图只需f（a）3a0即可，即a33+a3-3a3-9a3-3a，解得a328取的并集可知，当a68时方程ff（x）0有四个根故选：C二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起5
16、0%实验动物出现阳性反应的药物剂量（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数基于以上内容，下列说法正确的是（）ALD50越小，药物毒性越大BTI越小，药物安全度越高C同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越低D同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越高【解答】解：根据题目提供的药理学内容可以判断，LD50越小，毒性越大，同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全性度越高故选：AD10（5分）下列命题中正确的是（）A函数y=(12)x-x2在区间（0，1）上有且只有1个零点B若函数f（x）x2+ax
17、+b，则f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2C如果函数y=x+1x在a，b上单调递增，那么它在b，a上单调递减D若函数yf（x）的图象关于点（a，b）对称，则函数yf（x+a）b为奇函数【解答】解：对A，作出函数y（12）x和yx2的图象，由图可知，它们在（0，1）上有且只有1个交点，所以A正确；对B，作出函数f（x）x2+ax+b的图象，设A（x1，y1），B（x2，y2），由图可知，点D（x1+x22，f(x1)+f(x2)2）总在点C（x1+x22，f(x1+x22)）的上方，所以f（x1+x22）f(x1)+f(x2)2，所以B正确；对C，因为函数yx+1x为奇函数，所以函数yx
18、+1x在a，b上单调递增，在b，a上也单调递增，所以C错误；对D，根据函数yf（x）的图象关于点（a，b）对称，所以f（x+a）+f（ax）2b，于是f（x+a）b+f（ax）b0，所以函数yf（x+a）b为奇函数故选：ABD11（5分）已知a，b为两条不同直线，为三个不同平面，下列说法正确的有（）A若，则B若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，ab，则b【解答】解：a，b为两条不同直线，为三个不同平面，A，则或相交，因此不正确；Ba，b，则ab，因此正确；Ca，b，ab，则，正确；Da，ab，则b，或b因此不正确故选：BC12（5分）函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图中实线所示
19、，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称C函数f（x）在（-512，-6）单调递增D函数f（x）的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3后关于y轴对称【解答】解：由对称性得C（3，0）T2=3-(-6)=2，T，=2=2；函数yf（x）对称中心为（-6+k2，0）（kZ），所以 f（x） 的图象关于点（43，0）对称；f（x）Asin（2x+3）由x（-512，-6），得 2x+3（-2，0），所以函数yf（x）在（-512，-6）上单调递增，函数yf
20、（x）图象上所有点横坐标扩大到原来2倍得yAsin（x+3），再向右平移3得g（x）Asinx，明显g（x）不关于y轴对称，综上选BC故选：BC三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）若sin（+6）=-13，（0，），则cos（2-23）-79【解答】解：因为cos（-3）cos（+6-2）sin（+6）=-13，所以cos（2-23）2cos2（-3）12(-13)2-1=-79故答案为：-7914（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若|MN|b，则C的离心率为233【解
21、答】解：右顶点为A（a，0），一条渐近线方程为bxay0，圆的圆心为（a，0），半径为b，设A到渐近线的距离为d，可得2b2-d2=b，解得d=32b，由d=aba2+b2=32b，化简可得a23b2，可得e=ca=1+b2a2=233故答案为：23315（5分）已知非零向量a，b满足|a|4|b|，且（a-2b）b，则a与b的夹角为3【解答】解：由非零向量a，b满足|a|4|b|，且（a-2b）b，所以b（a-2b）=ab-2b2=0，求得ab=2b2，所以a与b的夹角的余弦值为cosab|a|b|=2|b|24|b|b|=12，又0，所以与的夹角为3故答案为：316（5分）已知正四棱锥的底
22、面边长为4cm，侧面积为24cm2，则该四棱锥的体积是1653cm3【解答】解：正四棱锥SABCD的底面ABCD边长为4cm，侧面积为24cm2，侧面斜高SE=1424124=3，设高为SO，则OE2，SO=SE2-OE2=9-4=5，该四棱锥的体积是V=13S正方形ABCDSO=13165=1653故答案为：1653四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）数列an中，a1=12，an=2an+1-(12)n（nN*），数列bn满足bn=2nan（nN*）（）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cn=log2nan，求数列2cncn+2的前n项和Tn【解答】解：（）证
23、明：由an=2an+1-(12)n，即2nan=2n+1an+1-1而bn=2nan，bnbn+11，即bn+1bn1又b12a11，数列bn是首项和公差均为1的等差数列，于是bn=1+(n-1)1=n=2nan，an=n2n；（）cn=log2nan=log22n=n，2cncn+2=2n(n+2)=1n-1n+2，Tn=(1-13)+(12-14)+(13-15)+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)=1+12-1n+1-1n+2=32-1n+1-1n+218（12分）如图所示，在ABC中，已知点D在边BC上，且ADAC=0，cosDAB=223，AB32（1）若BC43，求sinC
24、的值；（2）若AC=2，求BC边上的中线AE的长【解答】解：（1）由条件可得sinBACsin（90+DAB）cosDAB=223，在ABC中，32sinC=43223，则sinC=33（2）由（1）sinBAC=223，BAC为钝角，cosBAC=-13，由AE=12（AB+AC），可得（AE）2=14（AB+AC）2，又AC=2，AB32，（AE）2=14（|AB|2+|AC|2+2|AB|AC|cosBAC）=1418+2+2322（-13）4，AE219（12分）已知矩形ABCD中，AB2，AD3，在AD上取一点E满足2AEED现将CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PAPB（1）
25、求证：平面PCE平面ABCE；（2）求二面角BPAE的余弦值【解答】解：（1）证明：依题意可得：PEPC2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接POM的三边，则POAB，PMCE，而OM为梯形ABCE的中位线，有OMBC，BCABOMAB，且POOMO，故：AB平面POM，ABPM，且AB不与CE平行，综上所述，PM平面ABCE，PM平面PCE，平面PCE平面ABCE（2）解：过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系则A（1，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），P(0，2，2)，PA=(1，-2，-2)，BA=(2，0，0)，AE=(0，1，0)，设
26、向量n=(x，y，z)平面PAB，则有x-2y-2z=02x=0，令y1，得：n=(0，1，-2)，同理：平面PAE的法向量m=(2，0，1)，得cosm，n=-23，故二面角BPAE的余弦值为-2320（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典，用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3：2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7：5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5：3（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握
27、认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学阅读交流实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望E（）附表及公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.
28、8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）补充完整的22列联表如下所示， 男生 女生 合计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48 合计 72 48 120所以K2=120(4218-3030)272487248=0.2083.841，所以没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m，女生中喜欢古典文学的人数为n，则m+n，且的可能取值为2，3，4，P（2）P（m1，n1）=C21C22C21C11C43C32=13，P（3）P（m2，n1）+P（m1，n2）=C22C
29、21C21C11C43C32+C21C22C22C43C32=12，P（4）P（m2，n2）=C22C21C22C43C32=16，所以的分布列为 23 4 P 13 12 16则E（）=213+312+416=17621（12分）已知m为实常数命题p：x（1，2），x2+xm0；命题q：函数f（x）lnxmx在区间1，2上是单调递增函数（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围【解答】解：（1）命题p：x（1，2），x2+xm0，p真，可得mx2+x在x（1，2）有解，由yx2+x在x（1，2）递增，可得x2+x的值
30、域为（2，6），则2m6，可得m的范围是（2，6）；（2）命题q：函数f（x）lnxmx在区间1，2上是单调递增函数，q真，可得f（x）=1x-m0在1，2恒成立，即有m1x在1，2恒成立，由1x12，1，可得m12，命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，可得p，q中一真一假，若p真q假，可得2m6m12，解得2m6；若p假q真，可得m6或m2m12，解得m12综上可得，m的范围是（，12（2，6）22（12分）已知函数f（x）alnxx，且函数f（x）在x1处取到极值（1）求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g(x)=(x-m)2f(x)+x(0m1)，且函数
31、g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1x2x3），证明：ln（x1+x32）-12【解答】解：（1）f（x）alnxx，f（x）=ax-1，函数f（x）在x1处取到极值，f（1）a10，即a1则f（x）lnxx，f（1）1，曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y1；（2）g（x）=(x-m)2f(x)+x=(x-m)2lnx+x-x=(x-m)2lnx（0m1），函数的定义域为（0，+）且x1，g（x）=2(x-m)lnx-(x-m)21xln2x=(x-m)(2lnx+mx-1)ln2x，令h（x）2lnx+mx-1，h（x）=2x-mx2，h（x）在（0，m2）上单调递减，在（
32、m2，+）上单调递增；h（1）m10，h（2）2ln2+m2-1ln4e+m20，h（x）在（1，2）内存在零点，设h（x0）0，x0m，当g（x）0时，即0xm，或xx0，函数单调递增，当g（x）0时，即mxx0，函数单调递减，当xm时，函数有极大值，当0m1时，xm是f（x）极大值点；h（m2）是h（x）的最小值；g（x）有三个极值点x1x2x3，h（m2）2lnm2+10，得m2em的取值范围为（0，2e），当0m2e时，h（m）2lnm0，h（1）m10，x2m；即x1，x3是函数h（x）的两个零点2lnx1+mx1-1=02lnx2+mx2-1=0，消去m得2x1lnx1x12x3l
33、nx3x3；令（x）2xlnxx，（x）2lnx+1，（x）的零点为x=1e，且x11ex3（x）在（0，1e）上递减，在（1e，+）上递增要证明ln（x1+x32）-12，即证x1+x32e，等价于证明x32e-x1，即（x3）（2e-x1）（x1）（x3），即证（x1）（2e-x1）构造函数F（x）（x）（2e-x），则F（1e）0；只要证明在（0，1e上F（x）单调递减，函数（x）在（0，1e单调递减；x增大时，1e-x减小，（1e-x）增大，（1e-x）减小，（1e-x）在（0，1e上是减函数（x）（2e-x）在（0，1e上是减函数当0a2e时，x1+x32e即ln（x1+x32）-12
