1、2021年新高考数学模拟试卷（36）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知全集UR，Ax|x29，Bx|2x4，则A（RB）等于（）Ax|3x2Bx|3x4Cx|2x3Dx|3x22（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD43（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（）A2人B4人C5人D3人4（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（）A0.4B0.6C0.7D
2、0.85（5分）ABC是边长为4的等边三角形，AD=13DC，则BDBC=（）A2B10C12D146（5分）设alog318，blog424，c=234，则a、b、c的大小关系是（）AabcBacbCbcaDcba7（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD8（5分）设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左焦点F（2，0），圆x2+y2c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B，若FB=12FA，则双曲线的方程为（）Ax23-y2=1Bx22-y26=1Cx26-y22=1Dx2-y23=1二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9
3、（5分）我国已成为名副其实的工业大国据统计，在500多种主要工业品中，我国有220多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快推进工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进工业节能与绿色发展的通知，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展如表是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表：年号12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4则下列说法正确的是（）（参考公式及数据：b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2；a=y
4、-bx，i=15 （xi-x）（yi-y）1.7，i=15 xi2-nx2=10）A这五年生产利润的方差为0.06B每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元C预测2020年该国企的年生产利润为1.68千万元D要使年生产利润突破2千万元，至少要等到2022年10（5分）下列说法正确的是（）A命题p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2B已知2cos+3cos =5，2sin+3sin23，则cos（）=13C“a3b3“是“ac2bc2“的充要条件D若二项式（x-1ax）6（a0）的展开式中的常数项为1516，则a211（5分）将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，则
5、（）AACBDBADC为等边三角形CAB与CD所成角为60DAB与平面BCD所成角为6012（5分）关于函数f(x)=2cos2x-cos(2x+2)-1的描述正确的是（）A其图象可由y=2sin2x的图象向左平移8个单位得到Bf（x）在(0，2)单调递增Cf（x）在0，有2个零点Df（x）在-2，0的最小值为-2三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）若f(x)+2f(1x)=2x+1x对任意非零实数x恒成立，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 14（5分）已知a0，b0，2a+b4，则3ab的最小值为 15（5分）已知圆C：x2+y24x4y+40，抛物线E：
6、y22px（p0）过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线截得的弦长等于 16（5分）已知ABC是边长为4的正三角形，点D是AC的中点，沿BD将ABCD折起使得二面角ABDC为2，则三棱锥CABD外接球的体积为 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB（1）求B；（2）若a+c6，ABC的面积S=3，求边b18（12分）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设Sn是数列an的前n项和，求数列1Sn的前n项和Tn19（12分）已知梯形ABCD中，BCAD，A
7、D4，BCCD2，E为AD的中点，沿BE将ABE折起，使得ABCE（1）证明：AEAC；（2）若梯形ABCD中，ADC=3，折起后ABD=3，点A在平面BCDE上的射影点H为线段BD上的一个点，求二面角BADC的余弦值20（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值21（12分）已知函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0）为奇函数，且在x1处取得极值（1）求f（x）的单调区间；（2）当a1时，f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的x0，+）恒成立，求实数m的取值范围2
8、2（12分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10月15日，第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕在此次全国总决赛中，高教主赛道共评选出60个金奖项目（含5个港澳台金奖项目），“青年红色筑梦之旅”赛道、职教赛道和国际赛道各评选出15个金奖项目某公司迅速引进其中的两个项目，在甲，乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为t根据国家规定，综合质量指标值t90为优等品；80t90为合格品；t80为不合格品甲车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图（1
9、）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值t的关系式为P（t）0.5t，若优等品的出售价格为100元，合格品的出售价格为80元，不合格品需要全部销毁，每件产品的销毁费用为20元，将每件产品的利润用综合质量指标值t的函数Q（t）来表示；（2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为p，每年可获得利润7003万元；乙车间每条生产线成功生产产品的概率为12（ep1），每年可获得利润300万元，记每年两个车间的利润之和为X，则当p为何值时，X的期望最大？2021年新高考数学模拟试卷（36）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知全集UR，Ax|x29，Bx|2x4，
10、则A（RB）等于（）Ax|3x2Bx|3x4Cx|2x3Dx|3x2【解答】解：因为：全集UR，Ax|x29，Bx|2x4，Ax|3x3；RBx|x4或x2则A（RB）x|3x2|故选：D2（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD4【解答】解：z+2iR，设z+2iaR，则za2i，则z-z=a2i（a+2i）4i故选：C3（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（）A2人B4人C5人D3人【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取125628
11、+56+84=4人故选：B4（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（）A0.4B0.6C0.7D0.8【解答】解：记5件产品的编号分别为1，2，3，a，b，其中1，2，3为合格品，从5件产品中选2件的事件的结果有12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种，满足条件的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab共7种，故所求的概率为P=710=0.7故选：C5（5分）ABC是边长为4的等边三角形，AD=13DC，则BDBC=（）A2B10C12D14【解答】解：如图所示，ABC是边长为4的等边三角形，AD=
12、13DC，所以CD=34CA=34（BA-BC），所以BDBC=（BC+CD）BC=BC2+34（BA-BC）BC16+34BABC-34BC216+3444cos60-341610故选：B6（5分）设alog318，blog424，c=234，则a、b、c的大小关系是（）AabcBacbCbcaDcba【解答】解：c=2342，a=log318log39=2，b=log424log4162，又a=log318=1+log36，b=log424=1+log46，log46=1log64，log36=1log63且log64log630，1log641log63，log424log318，cba
13、故选：D7（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：当x时，ex0+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）0+，排除C，D；因为x+时，ex+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）+，因此排除B，故选：A8（5分）设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左焦点F（2，0），圆x2+y2c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B，若FB=12FA，则双曲线的方程为（）Ax23-y2=1Bx22-y26=1Cx26-y22=1Dx2-y23=1【解答】解：由题意，y=bax与x2+y2c2联立，可得A（a，b），AF
14、的斜率为ba+c，FB=12FA，B为线段FA的中点，OBAF，ba+c（-ba）1，即b2a2+2a，结合b2c2a24a2，解得a1，b=3，则双曲线的方程为x2-y23=1，故选：D二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）我国已成为名副其实的工业大国据统计，在500多种主要工业品中，我国有220多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快推进工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进工业节能与绿色发展的通知，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展如表是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计
15、表：年号12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4则下列说法正确的是（）（参考公式及数据：b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2；a=y-bx，i=15 （xi-x）（yi-y）1.7，i=15 xi2-nx2=10）A这五年生产利润的方差为0.06B每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元C预测2020年该国企的年生产利润为1.68千万元D要使年生产利润突破2千万元，至少要等到2022年【解答】解：由表中数据，计算x=15（1+2+3+4+5）3，y=15（0.7+0.8+1+1.1+1.
16、4）1，s2=15（0.3）2+（0.2）2+02+0.12+0.420.06，所以A正确；计算b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=1.710=0.17，所以每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元，B正确；计算a=y-bx=10.1730.49，y关于x的线性回归方程为y=0.17x+0.49；题目中具体年份没有说明，所以C、D选项无法确定正误故选：AB10（5分）下列说法正确的是（）A命题p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2B已知2cos+3cos =5，2sin+3sin23，则cos（）=13C“
17、a3b3“是“ac2bc2“的充要条件D若二项式（x-1ax）6（a0）的展开式中的常数项为1516，则a2【解答】解：A错，命题p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2B对，由2cos+3sin=5，2sin+3cos23，两式平方相加得cos（）=13；C错，当c0时，“a3b3“不是“ac2bc2“的充分条件；D对，由通项公式计算可得常数项是第5项，即C64（-1a）4=1516，又a0，则a2故选：BD11（5分）将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，则（）AACBDBADC为等边三角形CAB与CD所成角为60DAB与平面BCD所成角为60【解答】解：将正方形AB
18、CD沿对角线BD对折，使得平面ABD平面BCD，构建棱长均为a的正四棱锥CABED，由正四棱锥的性质知：在A中，连结AE、BD，交于点O，连结CO，则AEBD，COBD，AEBDO，BD平面AEC，AC平面ACE，ACBD，故A正确；在B中，ADC是等边三角形，故B正确；在C中，ABDE，DEC是等边三角形，AB与CD所成角为60，故C正确；在D中，AB与平面BCD所成角为ABO45，故D错误故选：ABC12（5分）关于函数f(x)=2cos2x-cos(2x+2)-1的描述正确的是（）A其图象可由y=2sin2x的图象向左平移8个单位得到Bf（x）在(0，2)单调递增Cf（x）在0，有2个零
19、点Df（x）在-2，0的最小值为-2【解答】解：f(x)=2cos2x-cos(2x+2)-1=cos2x+sin2x=2sin（2x+4），A.y=2sin2x的图象向左平移8个单位得到，y=2sin2（x+8）=2sin（2x+4），故A正确，B当0x2，则02x，42x+454，此时函数f（x）不单调，故B错误，C由2x+4=k，得x=k2-8，当k0时，x=-8，当x1时，x=38，当x2时，x=78，当x3时，x=118，即f（x）在0，有2个零点，38，78，故C正确，D-2x0，则2x0，-342x+44，则当2x+4=-2时，函数f（x）取得最小值，最小值为y=2sin（-2）
20、=-2，故D正确故选：ACD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）若f(x)+2f(1x)=2x+1x对任意非零实数x恒成立，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y20【解答】解：f(x)+2f(1x)=2x+1xf(1x)+2f(x)=2x+x联立，消去f（1x）得f（x）=1xf(x)=-1x2，f（1）1，f（1）1故切线方程为y1（x1），即x+y20故答案为：x+y2014（5分）已知a0，b0，2a+b4，则3ab的最小值为32【解答】解：a0，b0，2a+b4，由基本不等式可得，422ab，ab2，当且仅当b2a即b2，a1时取等号则3ab的最小
21、值为32故答案为：3215（5分）已知圆C：x2+y24x4y+40，抛物线E：y22px（p0）过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线截得的弦长等于258【解答】解：圆C的标准方程为（x2）2+（y2）24，圆心C为（2，2），半径为2，抛物线E：y22px过点C，222p2，解得p1，抛物线的方程为y22x，焦点F的坐标为(12，0)，由C（2，2），F(12，0)可知，直线CF的方程为y=43(x-12)，联立y=43(x-12)y2=2x得8x217x+20，解得x1=2，x2=18，由抛物线的定义可知，所求的弦长为x1+x2+p=2+18+1=258，故答案为：25816（5分）已知
22、ABC是边长为4的正三角形，点D是AC的中点，沿BD将ABCD折起使得二面角ABDC为2，则三棱锥CABD外接球的体积为2053【解答】解：由题意折起的二面角ABDC为2，放在长方体中，由正三角形边长为4可得，D为AC的中点可得，ADDC2，BD23，长方体中同一个顶点的三条棱长分别为2，2，23，又由于长方体的对角线为外接球的直径2R，所以2R=4+4+12=25，所以R=5，所以外接球的体积V=4R33=43(5)3=2053，故答案为：2053四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB（1）求
23、B；（2）若a+c6，ABC的面积S=3，求边b【解答】解：（1）由题意可得，bcosC+ccosB2acosB，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB，即sin（B+C）sinA2sinAcosB，所以cosB=12，所以B=13；（2）又S=34ac=3，所以ac4，由余弦定理可得，12=a2+c2-b22ac=36-2ac-b22ac，解可得，b2618（12分）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列（1）求an的通项公式；（2）设Sn是数列an的前n项和，求数列1Sn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，由题意得a42a2
24、a8，即（a1+6）2（a1+2）（ a1+14），解得a12an的通项公式an2n；（2）由（1）得Sn=12（a1+an）n（n+1），1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1于是Tn（1-12）+（12-13）+（13-14）+（1n-1n+1）1-1n+1=nn+119（12分）已知梯形ABCD中，BCAD，AD4，BCCD2，E为AD的中点，沿BE将ABE折起，使得ABCE（1）证明：AEAC；（2）若梯形ABCD中，ADC=3，折起后ABD=3，点A在平面BCDE上的射影点H为线段BD上的一个点，求二面角BADC的余弦值【解答】（1）证明：梯形ABCD中，BCAD，AD4，BCCD2
25、，E为AD的中点，四边形BCDE是菱形，BDCE，沿BE将ABE折起，使得ABCE又BDABB，CE平面ABD，设BDCEO，连接AO，则O是CE中点，AO平面ABD，AOCE，AEAC（2）解：梯形ABCD中，ADC=3，CDE为等边三角形，四边形ABCE是菱形AEABBCCDDEBEEC2折起后ABD=3，BH=12AB1过点H作HMOC，交BC于点MHB、HM、HA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系H（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，3），C（1-3，1，0），D（123，0，0），AD=（123，0，-3），AC=（1-3，1，-3），设平面ADC的法向量为m=（x，y
26、，z），则mAD=mAC=0，（123）x-3z0，（1-3）x+y-3z0，取m=（3，3，123）取平面ABD的法向量为n=（0，1，0）cosm，n=-33+9+(1-23)2=-325-43二面角BADC的平面角为锐角，二面角BADC的余弦值为325-4320（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）由题意，1a2+1b2=1ca=22a2=b2+c2，解得a2=3，b2=32椭圆的方程为x23+2y23=1；（2）菱形ABCD内接于椭圆，由对称性可设
27、直线AC：yk1x，直线BD：yk2x联立x2+2y2=3y=k1x，得方程（2k12+1）x230，xA2=xC2=32k12+1，|OA|OC|=1+k1232k12+1同理，|OB|OD|=1+k2232k22+1又ACBD，|OB|OD|=1+1k1232k12+1，其中k10从而菱形ABCD的面积S为：S2|OA|OB|21+k1232k12+11+1k1232k12+1，整理得S612+1(k1+1k1)24，其中k10当且仅当1k1=k1时取“”，当k11或k11时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为421（12分）已知函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0）为奇函数，且在x
28、1处取得极值（1）求f（x）的单调区间；（2）当a1时，f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的x0，+）恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）f（x）ax3+bx2+cx+d为奇函数，bd0；f（x）3ax2+c，f（x）在x1处取得极值，f（1）3a+c0，c3a；f（x）3a（x21），a0时，f（x）在（，1）递增，（1，1）递减，（1，+）递增（2）当a1时，f（x）+（m+2）xx2（ex1）；x33x+（m+2）xx2（ex1）；（m+2）xx2（ex1）x3+3x；当x0时，mR；当x0时，m+2xexxx2+3mx（exx1）+1，设h（x）exx1，x0，h（x
29、）ex10，h（x） 在（0，+）递增，h（x）h（0）0；g（x）x（exx1）+11，从而m1；实数m的取值范围为（，122（12分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10月15日，第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕在此次全国总决赛中，高教主赛道共评选出60个金奖项目（含5个港澳台金奖项目），“青年红色筑梦之旅”赛道、职教赛道和国际赛道各评选出15个金奖项目某公司迅速引进其中的两个项目，在甲，乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为t根据国家
30、规定，综合质量指标值t90为优等品；80t90为合格品；t80为不合格品甲车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图（1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值t的关系式为P（t）0.5t，若优等品的出售价格为100元，合格品的出售价格为80元，不合格品需要全部销毁，每件产品的销毁费用为20元，将每件产品的利润用综合质量指标值t的函数Q（t）来表示；（2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为p，每年可获得利润7003万元；乙车间每条生产线成功生产产品的概率为12（ep1），每年可获得利润300万元，记每年两个车间的利润之和为X，则当p为何值时，X的期望最大？【解答】解：（1）当75
31、t80时，Q（t）0.5t20；当80t90时，Q（t）800.5t；当90t100时，Q（t）1000.5tQ(t)=-0.5t-20，75t8080-0.5t，80t90100-0.5t，90t100（2）随机变量X的可能取值为7003，300，16003，600，25003，P（X=7003）=p1-12(ep-1)2，P（X300）=(1-p)C2112(ep-1)1-12(ep-1)，P（X=16003）=pC2112(ep-1)1-12(ep-1)，P（X600）=(1-p)12(ep-1)2，P（X=25003）=p12(ep-1)2由P（X=7003）+P（X300）+P（X=16003）+P（X600）+P（X=25003）1，化简整理后得ep14p数学期望E（X）=7003p1-12(ep-1)2+300(1-p)C2112(ep-1)1-12(ep-1)+16003pC2112(ep-1)1-12(ep-1)+600(1-p)12(ep-1)2+25003p12(ep-1)2=300（ep1）+7003p3004p+7003p=43003p0p1，当p1时，E（X）最大，为43003万元
