1、2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（10）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）复数满足，则复数的实部与虚部之和为ABC1D02（5分）集合，则A，B，C，D3（5分）某人向直角边长分别为6和8的一个直角三角形中投掷一个点，求此点落在此直角三角形内切圆的内部的概率是ABCD4（5分）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，若，则的值为ABCD5（5分）已知曲线在点处的切线方程为，则A，B，C，D，6（5分）设，则，的大小关系是ABCD7（5分）函数的部分图象大致是ABCD8（5分）已知，向量与的夹角为，若与垂直，则的值为AB1CD9（5
2、分）过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于，和，若，则四边形的面积等于A20B30C40D6010（5分）已知函数的图象与直线相切，相邻的切点间的距离为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若是偶函数，则的最小值是ABCD11（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是ABCD12（5分）已知函数，若，时，有，则ABCD二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）粮食安天下安，粮食生产是保障国家安全的重器，化肥是农业生产最基础而且最重要的物质投入，施肥不仅能提高土壤肥力，而且也是提高作物单位面积产量的重要措施某化肥厂常年生产甲乙两种混合肥，生产1车皮甲种肥料的主要原料是
3、磷酸盐、硝酸盐；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐现在库存磷酸盐、硝酸盐，在此基础上生产这两种混合肥料，根据企业相关部门预测，本季度甲乙两种混合肥的市场总需求量不超过4车皮若生产1车皮甲种肥料获利2万元；生产1车皮乙种肥料获利1万元，在甲乙两种肥料不积压的情况下，企业可获利润最大为万元14（5分）若的二项展开式中有一项为，则15（5分）三角形中，是中点，则16（5分）已知四棱锥的顶点都在球上，平面平面，且，则球的体积为三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）抖音短视频已成为很多人生活中娱乐不可或缺的一部分，很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人统计了
4、发布短视频后天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值4.5525.542357072.8686.8其中某位同学分别用两种模型：，进行拟合（）根据散点图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？（）根据（）的判断结果及表中数据建立关于的回归方程；（在计算回归系数时精确到（）并预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，18（12分）已知公差不为0的等差数列满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和19（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两
5、点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：20（12分）如图，是以为直径的半圆上异于，的点，所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值21（12分）已知函数（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，若是函数的极大值点，求的取值范围四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（）已知点，设直线与曲线交于，两点，求的值五解答题（共1小题）23已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数
6、的取值范围2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（10）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）复数满足，则复数的实部与虚部之和为ABC1D0【解答】解：设复数，、，即，则复数的实部与虚部之和，且，故选：2（5分）集合，则A，B，C，D【解答】解：集合，故选：3（5分）某人向直角边长分别为6和8的一个直角三角形中投掷一个点，求此点落在此直角三角形内切圆的内部的概率是ABCD【解答】解：由勾股定理可得斜边长为，设其内切圆的半径为，则由等面积法，可得，则，往该直角三角形中随机投掷一个点，则该点落在此三角形内切圆内的概率为故选：4（5分）抛物线的焦点为，其准线与
7、轴的交点为，过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，若，则的值为ABCD【解答】解：抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，直线交抛物线于，、，两点，设直线方程为：，由，可得，所以，由抛物线的定义以及已知条件可得，解得或（舍去），所以，故选：5（5分）已知曲线在点处的切线方程为，则A，B，C，D，【解答】解：将代入，得，又因为，所以，故选：6（5分）设，则，的大小关系是ABCD【解答】解：，故选：7（5分）函数的部分图象大致是ABCD【解答】解：由题意得的定义域为，且，故函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除；又（1），故排除，故选：8（5分）已知，向量与的夹角为，若与垂直，则的值为AB1CD【解答】
8、解：根据题意，向量与的夹角为，则，若与垂直，则有，解可得，故选：9（5分）过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于，和，若，则四边形的面积等于A20B30C40D60【解答】解：由，得，圆心到与的距离相等，当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为3，圆心到直线的距离为1，不成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即圆心到直线的距离，直线的斜率为，圆心到直线的距离，解得或则圆心到的距离，则四边形的面积等于故选：10（5分）已知函数的图象与直线相切，相邻的切点间的距离为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若是偶函数，则的最小值是ABCD【解答】解：，因为的图象与直线相交，相邻的交点间的距离为，即，所以
9、，故，的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为是偶函数，所以，得，因为，所以的最小值是；故选：11（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是ABCD【解答】解：根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥，正方体的棱长等于，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，所以外接球的直径，因此外接球的表面积为，故选：12（5分）已知函数，若，时，有，则ABCD【解答】解：因为，所以，令，则为偶函数当时，令，则，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上单调递增再结合为偶函数，可得当，且时必有，即，故选：二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）粮食安天下安
10、，粮食生产是保障国家安全的重器，化肥是农业生产最基础而且最重要的物质投入，施肥不仅能提高土壤肥力，而且也是提高作物单位面积产量的重要措施某化肥厂常年生产甲乙两种混合肥，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐现在库存磷酸盐、硝酸盐，在此基础上生产这两种混合肥料，根据企业相关部门预测，本季度甲乙两种混合肥的市场总需求量不超过4车皮若生产1车皮甲种肥料获利2万元；生产1车皮乙种肥料获利1万元，在甲乙两种肥料不积压的情况下，企业可获利润最大为7万元【解答】解：设生产甲种肥料车皮，生产乙种肥料车皮，获利为万元，则，作出约束条件的可行域如图阴影部分，由图
11、形，可知目标函数在点处，在轴上的截距取得最大值，此时取得最大值：7故答案为：714（5分）若的二项展开式中有一项为，则【解答】解：根据二项式的展开式的通项为，令，解得，所以故答案为：6015（5分）三角形中，是中点，则【解答】解：在中，由余弦定理得，且是的中点，故答案为：16（5分）已知四棱锥的顶点都在球上，平面平面，且，则球的体积为【解答】解：取的中点，中点，连接，则，到，的距离相等，平面平面，平面平面，平面，平面，分别为，的中点，平面，又，到、的距离相等为四棱锥的外接球的球心，得，球的体积为故答案为：三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）抖音短视频已成为很多人生活中娱
12、乐不可或缺的一部分，很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人统计了发布短视频后天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值4.5525.542357072.8686.8其中某位同学分别用两种模型：，进行拟合（）根据散点图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？（）根据（）的判断结果及表中数据建立关于的回归方程；（在计算回归系数时精确到（）并预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【解答】解：（）由散点图可知，模型效果更好（）因为，所以，（）由（）可知，令，则预测该短视频发布后第10天的点击量19.1618（1
13、2分）已知公差不为0的等差数列满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由题意，解得数列的通项公式；（2）数列的前项和19（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：【解答】解：根据题意：（4分）所以椭圆的方程为（5分）证明：设直线的方程为：（6分）由消去得：（7分）即，需即（8分）设，中点，则，（9分）（10分）那么直线的方程为：即（11分）由，不妨令（12分）那么（13分）（14分）所以20（12分）如图，是以为直径的半圆上异于，的
14、点，所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值【解答】（1）证明：为半圆的直径，所以，因为，所以，所以，又因为所在的平面垂直于半圆所在的平面，所以平面，所以，所以平面，平面，所以（2）解：由（1）知，所以，所以为正三角形，取中点，过作于，连接、，因为平面平面，所以平面，所以，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，设其大小为，则，所以故二面角的余弦值为21（12分）已知函数（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，若是函数的极大值点，求的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域是，设，则，当时，在递增，且（1），当时，即，当时，即，故在递减，在递增，故是的极小值点，
15、且（1）；（2）当时，由（1）知，当即时，则在递减，又（1），当时，即，当时，即，故在递增，在递减，故是的极大值点，满足题意；当时，令得，当即时，取，得，则在，上递减，当时，（1），即，当时，（1），即，故在，上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意，当即时，当时，当时，故在上递增，在上递减，故（1），故在上单调递减，此时，无极大值，当即时，取，得，则在上递增，当时，（1），即，这与“在处取极大值”矛盾，不满足题意，综上：所求实数的取值范围是四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（）已知点，设直线与曲线交于，两点，求的值【解答】解：（）由，得，曲线的普通方程为；由直线的极坐标方程，结合，得直线的直角坐标方程为；（）由于点在直线上，设直线的参数方程为为参数），代入，得，设，两点所对应的参数分别为，则，由直线参数方程的几何意义，得五解答题（共1小题）23已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围【解答】解：，或或，或或，不等式的解集为（2）关于的不等式有解，解得或，故实数的取值范围是，
