1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（十六）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则AB，C，D2（5分）已知为虚数单位，且复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为ABCD3（5分）已知函数，则（2）A2BC1D4（5分）已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，则AB19C20D235（5分）已知向量，且，则ABC0D6（5分）已知两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为A3B1CD7（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“为偶函数”的A充分不必要条件B必要不充
2、分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5分）已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是A，BC，D，二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是A若，则数列有最大项B若数列有最大项，则C若对任意，均有，则数列是递增数列D若数列是递增数列，则对任意，均有10（5分）设是抛物线的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为ABCD11（5分）如图，正六棱锥中，为顶点在底面的射
3、影，是，的交点，为的中点则以下结论正确的是A棱锥的侧面不可能为等边三角形B为直角三角形C平面平面D平面必与棱锥的某条侧棱平行12（5分）定义“正对数”： ，若，则下列结论中正确的是ABCD三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为14（5分）已知，且，则当取得最小值时相应的15（5分）如图，在四面体中，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为16（5分）已知椭圆的两个焦点分别为，如果为短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率
4、为；若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）有一正项等比数列的公比为，前项和为，满足，设（1）求，的值，并求出数列的通项公式；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）记，求数列的前项和18（12分）已知在中，角，的对边分别为，（1）求的大小；（2）若，求的面积19（12分）如图所示的多面体中，四边形为菱形，且，为的中点（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值20（12分）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于，
5、两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率21（12分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的、两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如表：月薪（百万），人数203644504010将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，已知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专
6、业有关？非高薪收入群体高薪收入群体合计专业专业20110合计（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）若落在区间的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞及对应的概率分别为：赠送话费（单位：元）60120180概率则李阳预期获得的话费为多少元？附
7、：，其中，22（12分）已知函数有两个不同的极值点，（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：2020年山东省新高考数学模拟试卷（十六）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则AB，C，D【解答】解：，故选：2（5分）已知为虚数单位，且复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为ABCD【解答】解：由，得，复数在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为故选：3（5分）已知函数，则（2）A2BC1D【解答】解：由分段函数的表达式得（2），则，即（2），故选：4（5分）已知数列的奇数项依次成等差数列，偶
8、数项依次成等比数列，且，则AB19C20D23【解答】解：数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，可得，解得，则，故选：5（5分）已知向量，且，则ABC0D【解答】解：；解得故选：6（5分）已知两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为A3B1CD【解答】解：两圆的标准方程为和，圆心为，和，半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切，则满足圆心距，即，则，则，故选：7（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“为偶函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：的图象向左平移个单位长度后，得
9、到，若是偶函数，则，即，即“”是“为偶函数”的充分不必要条件，故选：8（5分）已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是A，BC，D，【解答】解：，令，则，当时，即函数在上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，解可得，故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（5分）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是A若，则数列有最大项B若数列有最大项，则C若对任意，均有，则数列是递增数列D若数列是递增数列，则对任意，均
10、有【解答】解：由等差数列的求和公式可得，选项，若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确；选项，若数列有最大项，则对应抛物线开口向下，则有，故正确；选项，若对任意，均有，对应抛物线开口向上，可得数列是递增数列，故正确；选项，若数列是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意，均有，故错误故选：10（5分）设是抛物线的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为ABCD【解答】解：抛物线的焦点，设到准线的距离为，则，不妨的纵坐标为正数，直线的斜率为，直线的方程为故选：11（5分）如图，正六棱锥中，为顶点在底面的射影，是，的交点，为的中点则以下结论正确的是A棱锥的侧面不可能为
11、等边三角形B为直角三角形C平面平面D平面必与棱锥的某条侧棱平行【解答】解：如图，为正六棱锥，为顶点在底面的射影，为正三角形，的内角小于，故棱锥的侧面不可能为等边三角形，故正确；底面，又，平面，则，故为直角三角形，故正确；当棱锥的高变化时，平面与平面所成二面角变化，平面与平面不一定垂直，故错误；连接，则为的中点，又为的中点，则，可得平面，故正确故选：12（5分）定义“正对数”： ，若，则下列结论中正确的是ABCD【解答】解：对于，由定义，当时，故，又，故有；当时，故，又时，所以此时亦有由上判断知正确；对于，此命题不成立，可令，则，由定义，所以；由此知错误；对于，当时，此时 ，当时，此时命题成立；
12、当时，此时，故命题成立；同理可验证当时，成立；当时，同理可验证是正确的，故正确；对于，若，时，左，右端，显然成立；若，则，成立，故错误，故选：三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为24【解答】解：从高一年级抽取了3人，高一年级团干部的人数为人，故答案为：2414（5分）已知，且，则当取得最小值时相应的【解答】解：已知，且，则，当且仅当时，成立，故答案为：15（5分）如图，在四面体中，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的
13、最大值为【解答】解：直线平行于平面，且平面交平面于，同理：，所以：，故：四边形为平行四边形又，的对称性，可知四边形为矩形设，根据二次函数的性质可知：面积的最大值为故答案为：16（5分）已知椭圆的两个焦点分别为，如果为短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为；若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为【解答】解：椭圆焦点为、，点是椭圆短轴的一个端点，且，是椭圆左右两个焦点，离心率，设点，由，得，化简得，联立方程组，整理，得，解得，又，故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）有一正项等比数列的公比为，前项和为，满足，设（1）求，的值，
14、并求出数列的通项公式；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）记，求数列的前项和【解答】解：（1）有一正项等比数列的公比为，前项和为，满足，可得，解得，则；（2），为等差数列，理由：，则为首项和公差均为1的等差数列；（3），则前项和18（12分）已知在中，角，的对边分别为，（1）求的大小；（2）若，求的面积【解答】解：（1）因为所以由正弦定理得（2分）整理得，所以（5分）因为，所以（6分）（2）因为，所以由余弦定理得解得或（舍（10分）所以（12分）19（12分）如图所示的多面体中，四边形为菱形，且，为的中点（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【解答】（1）证
15、明：连接交于，连接，四边形是菱形，是的中点，又是的中点，又，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：取的中点，连接，是等边三角形，是的中点，平面平面，平面平面，平面，以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，0，设平面的法向量为，则，即，令得，1，直线与平面所成角的正弦值为，20（12分）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于，两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率【解答】解：（1）由条件可知，解得，故椭圆的方程为，（2）设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消可得，则，由，可知，即，代入上式可得，解得
16、，结合图形可知，故直线的斜率为21（12分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的、两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如表：月薪（百万），人数203644504010将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，已知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？非高薪收入
17、群体高薪收入群体合计专业专业20110合计（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）若落在区间的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于的获赠两次随机话费，月薪不低于的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞及对应的概率分别为：赠送话费（单位：元）60120180概率则李阳预期获得的话费为多少元？附：，其中，【解答】
18、解：（1）根据题意填写列联表如下，非高薪收入群体高薪收入群体合计专业603090专业9020110合计15050200计算，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关；（2）月薪频率分布表如下表； 月薪（百万），人数203644504010频率0.10.180.220.250.20.05将样本中的频率视为总体的概率，该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为，又月薪，解得，2018届大学本科毕业生李阳的月薪为3500元百元百元，李阳不属于“就业不理想”的学生；由知百元元，所以李阳的工资为3500元，低于，可获赠两次随机话费，则所获得的话费的取值分别为120、180、240、300和360；计算，；所以的分布列为：120180240300360则李阳预期获赠的话费为（元22（12分）已知函数有两个不同的极值点，（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：【解答】解：（1），则，令，有两个不同的极值点，则函数在上有两个变号零点，的取值范围为：；（2），由（1）知有两个不同的极值点，且，或，又因为，设，则，令，则，在上单调递减，（2），即，原命题得证，即时
