1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=x|2x-x20，B=x|x1，则AB=（）A. （1，2）B. （1，2C. 2，+）D. 0，1）2. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. f（x）=xB. f（x）=C. f（x）=（）xD. f（x）=-x33. 已知单位向量，向量夹角为，则是（）A. B. C. 1D. 04. 已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. log2（a-b）0C. 2a-b1D. 5. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2=ab=，则ABC的面
2、积为（）A. B. C. D. 6. 已知，则x（1-4x）取最大值时x的值是（）A. B. C. D. 7. 已知tan（+）=，且-0，则sin2+2sin2等于（）A. B. C. D. 8. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x0，1时，f（x）=x，则函数h（x）=f（x）-log5|x|的零点个数是（）A. 6个B. 8个C. 2个D. 4个9. 如图所示为函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）=0，则f（-1）=（）A. B. 2C. D. 10. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为和Bn，且，则（）
3、A. B. C. D. 1511. 若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）.A. （-，2）B. C. （0，2）D. 12. 已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）A. B. C. 2D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为_14. 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-，0上是增函数，f（-2）=0，则使得f（x+1）0的x的取值范围是_15. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB+sin2C=sin2A+
4、sin2B，若ABC的面积为，则ab=_16. 某小区拟对如图一直角ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观已知AB=20m，AC=10m，则DEF面积最小值为_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最大值18. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示： 甲乙原料限额吨 3 2 12 吨 1 2 8 (1) 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x，y吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；如果生产1吨甲、乙产品可获
5、利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润19. 已知数列an前n项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=anan+1；求数列的前n项和Tn20. 已知向量=（sinA，sinC），=（cosC，cosA），=sin2B且A，B，C分别是ABC的三边a，b，c所对的角（1）求B；（2）若b=2，a+c=4，求ABC的面积21. 已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（）证明数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）令bn=3n（an+1），求数列bn的前n项和Tn22. 已知函数，g（x）=x2-ax+6（）若g（x）为偶函数，求a的值并写出g（x）
6、的增区间；（）若关于x的不等式g（x）0的解集为x|2x3，当x1时，求的最小值；（）对任意x11，+），x2-2，4，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A=x|2x-x20=x|x0或x2，B=x|x1，AB=x|x2=2，+）故选：C先分别求出集合A和B，由此能求出AB本题考查交集的相关性质以及集合的取值范围的求解，能否求出集合A以及集合B的取值范围是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题2.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=，为奇函数但在其定义域上为增函数，不符合题意；对于B，f（x）=，为奇函数但在
7、其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，f（x）=（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，f（x）=-x3，既是奇函数又是减函数，符合题意；故选：D根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握函数的奇偶性与单调性，属于基础题3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的运算以及求向量的模长，属基础题|=|=1，=1=，所以|=，代入求解即可【解答】解：由为单位向量，向量夹角为，则|=|=1，=1=，所以|=1，故选：C4.【答案】D【解析】解：log2alog2b，ab0，所以0，2a-b20=1，故A、C不
8、正确；当a-b1时，log2（a-b）0，当0a-b1时，log2（a-b）0，故B不正确；，选项D正确；故选：D由题意可得ab0，依次比较即可本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题5.【答案】B【解析】解：在ABC中，a2+b2-c2=ab=，cosC=，sinC=SABC=absinC=故选：B利用余弦定理计算cosC，得出sinC，代入面积公式S=即可求出面积本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题6.【答案】C【解析】解：，则x（1-4x）=4x（1-4x）=当且仅当4x=1-4x即x=取等号故选：C变形成和为定值后利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解
9、最值中等号成立条件的求解，和为定值的配凑是求解的关键7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角的化简和求值，结合两角和差的正切公式以及1的代换以及弦化切是解决本题的关键考查学生的转化计算能力利用两角和差的正切公式先计算tan的值，利用1的代换结合弦化切进行求解即可【解答】解：由tan（+）=，得tan=tan（+-）=，则sin2+2sin2=-，故选：B8.【答案】B【解析】解：根据题意，当x0，1时，f（x）=x，且f（x）为偶函数，则当x-1，0时，f（x）=-x；函数f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，其图象如图：函数y=f（x）-log5|x|
10、的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log5|x|的图象的交点个数，在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log5|x|的图象，显然函数y=f（x）的图象与函数y=log5|x|的图象有8个交点，故选：B根据题意，由f（x）的奇偶性和解析式可得当x-1，0时，f（x）=-x，进而分析可得函数f（x）是周期为2的周期函数，据此可得f（x）的图象，又由函数y=f（x）-log5|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log5|x|的图象的交点个数，据此分析函数的图象分析可得答案本题考查方程根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合
11、的思想，属于基础题9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题根据A、B两点之间的距离为5，求得T的值，可得的值，根据f（1）=0，结合的范围求得的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（-1）的值【解答】解：A，B两点之间的距离为5，则有：=5，求得T=6，=，f（x）=2sin（x+），f（1）=2sin（+）=0，+=k，kZ，解得：=k-，kZ，=，f（-1）=2sin（-+）=2=，故选：A10.【答案】B【解析】解：依题意，数列an和bn是等差数列，所以=，又因为，所以=故选：B因为数列an和bn是等差数列，所以=，又因为，将n=
12、13代入即可得到结果本题考查了等差数列的前n项和、等差数列的性质11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况由函数是单调减函数，则有a-20，且注意2（a-2）【解答】解：函数是R上的单调减函数，故选：B12.【答案】B【解析】解：正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，整理，得q2-q-2=0，又q0，解得，q=2，存在两项am，an使得，整理，得2m+n-2=16，即m+n=6，当且仅当=取等号，但此时m，nN*又m+n=6，所以只有当m=2，n=4时，取得最小值是故选：B由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用
13、均值定理能求出结果本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用13.【答案】2【解析】解：作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分所示；由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点B时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即B（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2，即目标函数z=x+y的最大值为2故答案为：2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14.【答案】（-
14、3，1）【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-，0上是增函数，则f（x）在0，+）上为减函数，且f（2）=0，f（x+1）0f（x+1）f（2）|x+1|2，解可得：-3x1，即不等式的解集为（-3，1）；故答案为：（-3，1）根据题意，分析可得f（x）在0，+）上为减函数，且f（2）=0，据此可得f（x+1）0f（x+1）f（2）|x+1|2，解可得x的取值范围，即可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题15.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，
15、考查了计算能力和转化思想，属于基础题由正弦定理化简已知等式可得a2+b2-c2=ab，由余弦定理可得cosC，根据同角三角函数基本关系式可得sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：sinAsinB+sin2C=sin2A+sin2B，由正弦定理可得：ab+c2=a2+b2，即：a2+b2-c2=ab，由余弦定理可得：cosC=，可得：sinC=，ABC的面积为，可得：=absinC=ab，解得：ab=4故答案为416.【答案】【解析】解：由于ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=10，由于DEF是等边三角形，设CED=，DE=x，那么BFE=30+，则CE=x
16、cos，在BFE中由正弦定理，可得：=，可得x=，其中tan=；可得：x；则DEF面积S=x2sin60故答案为：ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=10，可得A=60，B=30；设CED=；DE=x，那么BFE=30+；则CE=xcos，在三角形BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解DEF区域内面积的最小值本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用17.【答案】解：（1）.的最小正周期；由，解得，函数的单调增区间为；（2）由（1）知在,上为增函数，在上为增函数，则在上的最大值.【解
17、析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象和性质，是中档题（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则周期可求，再由复合函数的单调性求单调增区间；（2）由（1）知在,上为增函数，则在上为增函数，再由函数的单调性求最值18.【答案】解：（1）由题意可得：，画出可行域如图：（2）该企业每天可获得的利润为z，则z=3x+4y，联立，解得A(2，3)，化z=3x+4y为y=-，由图可知，当直线y=-过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为32+43=18即该企业每天可获得的最大利润为18万元【解析】（1）直接由题意得到关于x，y的线性约束条件并画出可行域；（2）设该企业每天可获得
18、的利润为z，则z=3x+4y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题19.【答案】解：（1）当n=1时，S1=a1=1当n=2时，此时n=1也满足上式，an=2n-15分（2）bn=anan+1，bn=（2n-1）（2n+1），8分12分【解析】（1）当n=1时，S1=a1=1，当n=2时，an=Sn-Sn-1，即可得出（2）由bn=anan+1，可得bn=（2n-1）（2n+1），利用裂项求和方法即可得出本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与
19、计算能力，属于中档题20.【答案】解：（1）=（sinA，sinC），=（cosC，cosA），=sinAcosC+cosAsinC=sin2B，sinB=2sinBcosB，0B，sinB0，解得cosB=，可得B=（2）由（1）及余弦定理可得cosB=cos=，a2+c2=ac+4，a+c=4，（a+c）2=a2+c2+2ac=16，ac=4，SABC=acsinB=【解析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算、两角和的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式可求sinB=2sinBcosB，结合范围0B，求得cosB=，可得B的值（2）由（1）及余弦定理可得a2+c2=ac+4，结合已知a+c
20、=4，可求ac=4，利用三角形的面积公式即可计算得解本小题主要考查三角恒等变换、余弦定理、解三角形以及向量的数量积运算等有关知识，考查运算求解能力，是一道难度不大的综合题21.【答案】解：（）证明：an+1=2an+1，即为an+1+1=2（an+1），则=2，又a1+1=2，故an+1是以首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2n，故an=2n-1；（）由（）知，=6+3-3n2n-1，则【解析】（）将等式两边加1，由等比数列的定义和通项公式，可得证明，可得所求通项公式；（）由（）知，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和本题考查等比数列的定义和通项公式、求和
21、公式的运用，考查错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题22.【答案】解：（）g（x）为偶函数，g（x）=x2-ax+6，g（-x）=g（x），x2-ax+6=x2+ax+6，a=0，g（x）=x2+6，g（x）的增区间为（0，+）；（）关于x的不等式g（x）0的解集为x|2x3，a=2+3=5，g（x）=x2-5x+6，x1时，=（x-1）+-32-3=2-3，当且仅当x=+1时取等号，的最小值为2-3，（）任意x11，+），f（x）max=f（1）=l=-1，任意x11，+），x2-2，4，不等式f（x1）g（x2）恒成立，x2-ax+6-1在-2，4上恒成立，即x2-ax+70在-2
22、，4上恒成立，设h（x）=x2-ax+7，则对称轴为x=，当-2时，即a-4时，h（x）在-2，4上为增函数，h（x）min=h（-2）=11+2a0，即a-，-a-4，当4时，即a8时，h（x）在-2，4上为减函数，h（x）min=h（4）=23-4a0，即a，此时为空集，当-4a8时，h（x）在-2，为减函数，在，4上为增函数，h（x）min=h（）=-+70，即-2a2-4a2，综上所述a的取值范围为-，2【解析】（）根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，（）先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，（）先根据复合函数的单调性，求出函数f（x）max=-1，则可得x2-ax+70在-2，4上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题
