1、2020年山东省新高考数学模拟试卷（十八）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设，则的虚部是ABCD2（5分）若集合，则AB或CD或3（5分）在等比数列中，前3项之和，则公比的值是A1BC1或D或4（5分）若直线是曲线的一条切线，则实数ABCD5（5分）已知数列满足，若则数列的通项ABCD6（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为ABCD27（5分）设锐角的三内角，所对边的边分别为，且，则的取值范围为ABCD8（5分）已知当时，关于
2、的方程有唯一实数解，则所在的区间是ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（4分）已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于函数的性质，描述正确的是A是增函数B是周期函数C的值域为，D是偶函数10（4分）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则可能的整数值为A3B2C1D11（4分）如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成平面，若，分别为线段，的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是A与平面垂直的直线必与直线垂直BC存在某个位置，使D三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值12
3、（4分）方程的曲线即为函数的图象，对于函数，下列结论正确的有A在上单调递减B函数不存在零点C 的最大值为 3D若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数，则（2） 14（5分）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于15（5分）设是等比数列的前项和，若，则16（5分）的最小正周期是，在区间上的最大值是四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在中，三个内角，所对的边分别为，且（1）求；（2）若，三角形的面积，求18（12分）设数列满足，且点在直
4、线上，数列满足：，（）数列、的通项公式；（）设数列的前项和为，求19（12分）如图所示，四棱锥中，底面，为的中点求证：（1）平面；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，且最小值为0（）求曲线的方程；（）若动直线，均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，使得点到，的距离之积恒为1？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科
5、技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：23468101321222324251322314250565868.56867.56666当时，建立了与的两个回归模型，模型：；模型：当时，与满足的线性回归方程为（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型和模型的相关指数，从而选择拟合精度更高、更可靠的模型，并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程182.479.2（2）为鼓励科技创新，当科技改造投人不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投人17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
6、（3）科技改造后，“东方红”款高端汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，则不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，则每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，则每台发动机奖励5万元求每台发动机获得奖励的数学期望附：刻画回归效果的相关指数，用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：；随机变量服从正态分布，则，22（12分）已知函数（1）若函数存在极小值点，求的取值范围；（2）证明：2020年山东省新高考数学模拟试卷（十八）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
7、求的）1（5分）设，则的虚部是ABCD【解答】解：，则的虚部是故选：2（5分）若集合，则AB或CD或【解答】解：，或，或故选：3（5分）在等比数列中，前3项之和，则公比的值是A1BC1或D或【解答】解：在等比数列中，化简得，解得或，故选：4（5分）若直线是曲线的一条切线，则实数ABCD【解答】解：函数的定义域为，设切点为，则函数的导数，则切线斜率，则对应的切线方程为，即，且，即，则，则，故选：5（5分）已知数列满足，若则数列的通项ABCD【解答】解：由，可得：，数列是等比数列，首项为2，公比为2故选：6（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，若直线与双曲线的两条渐近线分别
8、交于，两点，且，则双曲线的离心率为ABCD2【解答】解：左焦点为，点的坐标为，直线为：，与联立得：与联立得：，则故选：7（5分）设锐角的三内角，所对边的边分别为，且，则的取值范围为ABCD【解答】解：在锐角三角形中，即，且，则，即，综上，则，由正弦定理得，得，即，则的取值范围是，故选：8（5分）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是ABCD【解答】解：由，得，令，则令，则，在上为增函数，（5），（6），存在唯一，使得，当时，当，时，则在上单调递减，在，上单调递增，则所在的区间是故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
9、的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9（4分）已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于函数的性质，描述正确的是A是增函数B是周期函数C的值域为，D是偶函数【解答】解：当时，此时当时，此时当时，此时当时，此时当时，此时当时，此时由此可得函数，故正确；函数为非奇非偶函数，故，错误；函数是周期为1的周期函数，故正确；函数在区间，上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，故错；故选：10（4分）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则可能的整数值为A3B2C1D【解答】解：如图建立平面直角坐标系，由题意得，圆的半径故圆的方程为，所以设，且可得，故，选项都对故选：11（4分）如图，矩形中
10、，为边的中点，将沿直线翻转成平面，若，分别为线段，的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是A与平面垂直的直线必与直线垂直BC存在某个位置，使D三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【解答】解：对于，延长，交于，连接，由为的中点，可得为的中点，又为的中点，可得，平面，平面，则平面，故与平面垂直的直线必与直线垂直，则正确；对于，设，过作，平面，则，在中，则为定值，即为定值，则不正确；对于，连接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射影为，可得与垂直，但与不垂直则不存在某个位置，使，则不正确；对于，连接，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥外接球球心为，半径为，即有三棱锥外接球半径与棱的长
11、之比为定值则正确故选：12（4分）方程的曲线即为函数的图象，对于函数，下列结论正确的有A在上单调递减B函数不存在零点C 的最大值为 3D若函数和的图象关于原点对称，则由方程确定【解答】解：选项：当且时，原方程化为；当且时，原方程化为；当且时，方程化为；当且时，原方程化为；作出函数的图象如下：故正确；选项：由得，；由上图知方程无解，故正确；选项：根据所作的图象可知，函数的最大值为，故错误；选项：若函数和的图象关于原点对称，则用，分别代替，可得，则函数的图象是方程确定的曲线，故不正确故选：三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数，则（2）3【解答】解（2），（2）（1）
12、，故答案为：314（5分）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于2【解答】解：依题意点的坐标为，设在准线上的射影为由抛物线的定义知，则，求得，故答案为：215（5分）设是等比数列的前项和，若，则【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，若，则，解可得，则，则；故答案为：16（5分）的最小正周期是，在区间上的最大值是【解答】解：，所以最小正周期为，由，得，函数在区间上的最大值是2故答案为：；2四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在中，三个内角，所对的边分别为，且（1）求；（2）若，三角形的面积，求【解答
13、】解：（1）由已知得，根据正弦定理得，化简得，由余弦定理得，所以，由，得（2）由（1）可知，可得，又，解得，所以，解得18（12分）设数列满足，且点在直线上，数列满足：，（）数列、的通项公式；（）设数列的前项和为，求【解答】解：（）由题意，可知：对于数列点在直线上，是以为首项，2为公差的等差数列对于数列，是以为首项，3为公比的等比数列（）由题意及（1）知：对于一般项：由题意，可设的前项和为得 ，同理，可设的前项和为，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，则：19（12分）如图所示，四棱锥中，底面，为的中点求证：（1）平面；（2）求二面角的余弦值【解答】（1）证明：，又，是的中点，是等边三角形，又平面
14、，平面，平面（2）由（1）可知，以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则，0，0，1，3，2，0，1，3，2，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令得，0，令得，1，二面角的余弦值为20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，且最小值为0（）求曲线的方程；（）若动直线，均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，使得点到，的距离之积恒为1？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设，则有，由最小值为0，得，椭圆的方程为（）当直线，斜率存在时，设其方程为，把的方程代入椭圆方程，得，直线与椭圆相切，化简，得，同理，若，则，重合，不合题意，设在轴上存在
15、点，点到直线，的距离之积为1，则，即，把代入并去绝对值整理，得：或，前式不恒成立，而要使得后对任意的恒立，则，解得当直线，的距离之积为，定点到直线，的距离之积为，综上所述，满足题意的定点为或21（12分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：23468101321222324251322314250565868.56867.56666当时，建立了与的两个回归模型，
16、模型：；模型：当时，与满足的线性回归方程为（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型和模型的相关指数，从而选择拟合精度更高、更可靠的模型，并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程182.479.2（2）为鼓励科技创新，当科技改造投人不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投人17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（3）科技改造后，“东方红”款高端汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，则不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，则每台发
17、动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，则每台发动机奖励5万元求每台发动机获得奖励的数学期望附：刻画回归效果的相关指数，用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：；随机变量服从正态分布，则，【解答】解：（1）由表格中的数据，有，即，所以模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）（2）由已知可得：，当亿元时，与满足的线性回归方程为：，当亿元时，科技改造直接收益的预测值，当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大（3），设每台发动机获得的奖励为（万元），则的分布列为：0250.02280.81850.1587每台发动机获得奖励的数学期望为（万元）22（12分）已知函数（1）若函数存在极小值点，求的取值范围；（2）证明：【解答】解：（1）函数的定义域为，当时，得，当时，当，时，是函数的极小值点，满足题意当吋，令，令，解得，当时，当时，若，即时，恒成立，在上单调递增，无极值点，不满足题意若，即时， 又在上单调递增，在上恰有一个零点，当时，当，时，是的极小值点，满足题意，综上，（2）当时，若成立，则必成立，若，则，成立，成立若，令，令 ，在上单调递增（1），即，在上单调递增，（1），时，成立，时，成立
