1、2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合AxN|x1，Bx|x5，则AB（）Ax|1x5Bx|x1C2，3，4D1，2，3，4，52（5分）已知i是虚数单位，则复数z=3+5ii的虛部是（）A3B3iC3D3i3（5分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于（）A22B5-12C12或22D22或5-124（5分）记等比数列an满足2a25a33a4，则公比q（）A13B13或2C2D195（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100
2、，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（）A9100B8800C8700D85006（5分）函数f（x）=x+3+1x+1，的定义域为（）Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x37（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A5B4C3D28（5分）已知向量a，b是两个夹角为3的单位向量，且OA=3a+5b，OB=4a+7b，OC=a+m
3、b，若A，B，C三点共线，则OAOC=（）A12B14C16D189（5分）已知函数f（x）sin2x+sin2（x+3），则f（x）的最小值为（）A12B14C34D2210（5分）已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（）A15B14C13D1211（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）与抛物线C：y216x有相同的焦点F，抛物线C：x212y的焦点为F，点P是双曲线E右支上的动点，且PFF的周长的最小值为14，则双曲线E的离心率为（）A3B2C3D212（5分）若函数f（x）lnx+ax22在区间（
4、14，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（-18，+）C（8，+）D（2，+）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）在（ax+1x）（x21）5的展开式中，x3的系数为15，则实数a 14（5分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2(x-2)，若zx+ty（t0）的最大值为11，则实数t 15（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S1，S2，则S1S2 16（5分）已知等差数列an满足：a25，且数列an前4项和S428若bn（1）nan，则数列bn的前2n项和T2n 三解答题（共5小题，满分60分，
5、每小题12分）17（12分）如图，在多而体ABCDE中，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，BDCD=5，AE2（1）证明：平面EBD平面BCD；（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值18（12分）已知函数f(x)=sin(x+6)-cosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=12，且a5，c8，求b的值19（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两
6、种可供选择的方案方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验
7、次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）20（12分）已知抛物线E：y2ax（a0），过焦点F的斜率存在的直线与抛物线交于C，D，且1|CF|+1|DF|=4（1）求抛物线的方程；（2）已知yx与抛物线交于点P（异于原点），过点Q（0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M，N两点（点M在Q，N之间），过点M作y轴的平行线，交OP于A，交ON于B，PMA与OAB的面积分别为S1，S2，求S2S1的取值范围21（12分）已知函数f（x）（logax）2+xlnx（a1）（1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）t|1在区间（0，+）上有三个零点，
8、求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|e1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值五解答题（共1小题）23（1）解不等式：x+|2
9、x1|3（2）求函数yxlnx的导数2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知集合AxN|x1，Bx|x5，则AB（）Ax|1x5Bx|x1C2，3，4D1，2，3，4，5【解答】解：集合AxN|x1，Bx|x5，ABxN|1x52，3，4故选：C2（5分）已知i是虚数单位，则复数z=3+5ii的虛部是（）A3B3iC3D3i【解答】解：复数z=3+5ii=-i(3+5i)-ii=53i的虛部是3故选：A3（5分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于（）A22B5-
10、12C12或22D22或5-12【解答】解：由菱形的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中，可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有3种情况，如图：图1中，顶点D焦点B，为菱形的顶点，C为中心，则DCBC，由勾股定理可得（a2+b2）+a2（a+c）2，又a2b2+c2，化简可c2+aca20，解e2+e10，得e=5-12在图2中，以焦点AB菱形的顶点，C为中心，则ACBC，所以OCB45，可得e=ca=22；如图3，以B为菱形的中心，C，E为菱形的顶点，则CDEB，可得 e=ca=22故选：D4（5分）记等比数列an满足2a25a33a4，则公比q（）A13B13或2C2D19【解答】解
11、：等比数列an满足2a25a33a4，依题意，2a2-5a2q=3a2q2，即3q2+5q20，故（3q1）（q+2）0，解得q=13或q2，故选：B5（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（）A9100B8800C8700D8500【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，若不考虑这2人，中位数为8500+910017600，1760028800，若这两人的月工资一个大于91
12、00，另一个小于8500，则中位数不变，若这两个人的工作位于8500与9100之间，且这两个数关于8800对称，8500与9100也是关于8800对称，所以中位数也是8800，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8800，故选：B6（5分）函数f（x）=x+3+1x+1，的定义域为（）Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x3【解答】解：要使f（x）有意义，则：x+30x+10；解得x3，且x1；f（x）的定义域为：x|x3，且x1故选：A7（5分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程
13、序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A5B4C3D2【解答】解：模拟程序的运行，可得a3，b1n1a=92，b2不满足条件ab，执行循环体，n2，a=274，b4不满足条件ab，执行循环体，n3，a=818，b8不满足条件ab，执行循环体，n4，a=24316，b16此时，满足条件ab，退出循环，输出n的值为4故选：B8（5分）已知向量a，b是两个夹角为3的单位向量，且OA=3a+5b，OB=4a+7b，OC=a+mb，若A，B，C三点共线，则OAOC=（）A12B14C16D18【解答】解：由A，B，C三点共线，得OC=xOA+(1-x)OB=(4-x)a+(7-2x)b，
14、故4-x=17-2x=m，解得m1，OAOC=(3a+5b)(a+b)=3a2+8ab+5b2=12故选：A9（5分）已知函数f（x）sin2x+sin2（x+3），则f（x）的最小值为（）A12B14C34D22【解答】解：函数f（x）sin2x+sin2（x+3）=sin2x+(12sinx+32cosx)2=54sin2x+34cos2x+34sin2x=12sin(2x-6)+1，当sin（2x-6）1时，函数f(x)min=1-12=12故选：A10（5分）已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（）A15B14C1
15、3D12【解答】解：取CD的中点M，CF的中点N，连接MN，则MNDF延长BC到P，使CP=12BC，连接MP，NP，则MPAC令AB2，则MPMN=2，又BCF是等边三角形，NCPC1，由余弦定理可得：NP=3，异面直线AC和DF所成角为NMP，cosNMP=2+2-3222=14故选：B11（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）与抛物线C：y216x有相同的焦点F，抛物线C：x212y的焦点为F，点P是双曲线E右支上的动点，且PFF的周长的最小值为14，则双曲线E的离心率为（）A3B2C3D2【解答】解：由题意得抛物线C的焦点为F（4，0），抛物线C的焦点F（0，3），
16、设双曲线的右焦点为F0，则三角形PFF的周长L|PF|+|PF|+|FF|PF|+|PF0|+2a+5|FF0|+2a+510+2a14，故a2，所以e=ca=2故选：D12（5分）若函数f（x）lnx+ax22在区间（14，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（-18，+）C（8，+）D（2，+）【解答】解：f（x）=1x+2ax，若f（x）在区间（14，2）内存在单调递增区间，则f（x）0在x（14，2）有解，故a(-12x2)min，而g（x）=-12x2在（14，2）递增，g（x）g（14）8，故a8，故选：C二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5
17、分）在（ax+1x）（x21）5的展开式中，x3的系数为15，则实数a5【解答】解：（x21）5的展开式的通项公式为Tr+1C5r（x2）5r（1）r（1）rC5rx102r，r0，1，5，（ax+1x）（x21）5的展开式中含x3的系数为a（1）4C54+C53（1）35a10又5a1015，a5故答案为：514（5分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2(x-2)，若zx+ty（t0）的最大值为11，则实数t4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由zx+ty得y=-1tx+zt，平移直线y=-1tx+zt，由图象知当直线y=-1tx+zt经过点A时，直线的截距最大此时z最大为
18、11，由y=2y=2(x-2)得A（3，2），则3+2t11，得2t8，t4，故答案为：415（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S1，S2，则S1S285【解答】解：由于圆锥体的底面半径为4，高为2，则：V=13422=323，由于该锥体转换为球，设球的半径为r，则323=43r3，解得r2则：锥体的表面积为S1=442+22+42=85+16，球的表面积为S2=422=16则：S1-S2=85，故答案为：8516（5分）已知等差数列an满足：a25，且数列an前4项和S428若bn（1）nan，则数列bn的前2n项和T2n4n【解答】解：根据题
19、意，设等差数列an的公差为d，首项为a1，又由an满足：a25，且数列an前4项和S428，则有a2=a1+d=5s4=2(5+5+d)=28，解可得a11，d4，则ana1+（n1）d4n3；bn（1）nan（1）n（4n3），T2n1+59+1317+（8n3）4n4n；故答案为：4n三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）如图，在多而体ABCDE中，AE平面ABC，平面BCD平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，BDCD=5，AE2（1）证明：平面EBD平面BCD；（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）取BC中点O，连结AO，DO，
20、BDCD=5，DOBC，DO=CD2-OC2=2，DO平面BCD，平面DBC平面ABCBC，平面BCD平面ABC，DO平面ABC，AE平面ABC，AEDO，又DO2AE，四边形AODE是平行四边形，EDAO，ABC是等边三角形，AOBC，AO平面ABC，平面BCD平面ABCBC，平面BCD平面ABC，AO平面BCD，ED平面BCD，ED平面EBD，平面EBD平面BCD解：（2）由（1）得AO平面BCD，AODO，又DOBC，AOBC，分别以OB，AO，OD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-3，0），B（1，0，0），D（0，0，2），E（0，-3，2），平面ABC的一个法
21、向量为m=（0，0，1），设平面BED的一个法向量为n=（x，y，z），BD=（1，0，2），BE=（1，-3，2），则nBD=-x+2z=0nBE=-x-3y+2z=0，取x2，得n=（2，0，1），设平面BED与平面ABC所成锐二面角的平面角为，则cos=|mn|m|n|=15=55平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值为5518（12分）已知函数f(x)=sin(x+6)-cosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=12，且a5，c8，求b的值【解答】解：（1）由于f(x)=sin(x+6)-cosx=32sinx+12
22、cosxcosx=32sinx-12cosx=sin(x-6)，令2k-2x-62k+2，kZ，可得：-3+2kx23+2k，kZ，可得f（x）的单调递增区间为-3+2k，23+2k，kZ（2）f(B)=12，可得sin（B-6）=12，B（0，），B-6（-6，56），B-6=6，可得B=3，a5，c8，由余弦定理可得b=a2+c2-2accosB=25+64-25812=719（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案一：将每个人的
23、血分别化验，这时需要验669次方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后
24、结果四舍五入保留整数）【解答】解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阴性的概率q1p，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1p）k，呈阳性反应的概率为1（1p）k，故X=1k，1+1k，P（X=1k）（1p）k，P（X=1+1k）1（1p）k，故X的分布列为： X 1k 1+1k P （1p）k 1（1p）k（2）根据（1）可得方案二的数学期望E（X）=1k(1-p)k+(1+1k)1-(1-p)k=1+1k-(1-p)k，p0.1，当k2时，E（X）=1+12-092=0.69，此时669人需要化验总次数为462次；当k3时，E（X）=1+13-0930.6043，此
25、时669人需要化验总次数为404次；当k4时，E（X）=1+14-094=0.5939，此时669人需要化验总次数为397次；故k4时，化验次数最少，根据方案一，化验次数为669次，故当k4时，化验次数最多可以平均减少669397272次20（12分）已知抛物线E：y2ax（a0），过焦点F的斜率存在的直线与抛物线交于C，D，且1|CF|+1|DF|=4（1）求抛物线的方程；（2）已知yx与抛物线交于点P（异于原点），过点Q（0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M，N两点（点M在Q，N之间），过点M作y轴的平行线，交OP于A，交ON于B，PMA与OAB的面积分别为S1，S2，求S2S1的
26、取值范围【解答】解：（1）由抛物线方程得：焦点F（a4，0），由题意直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为：xmy+a4，设C（x，y），D（x，y），联立直线CD与抛物线的方程整理得：y24max-a24=0，y+y4ma，yy=-a24，x+xm（y+y）+a2=4m2a+a2，xx=(yy)2a2=a216，所以1|CF|+1|DF|=1x+a4+1x+a4 =x+x+a2xx+a4(x+x)+a216 =4m2a+aa216+m2a2+a28+a216 =4m2a+aa4(4m2a+a)=4a，所以4a=4，解得a1，所以抛物线方程为：y2x；（2）由（1）得，yx代入抛物线中得y2
27、x，解得：y1，所以可得P的坐标为（1，1），设MN的方程为：ykx+12，设M（x，y），B（x，y），联立直线MN与抛物线的方程整理得：ky2y+12=0，则y+y=1k，yy=12k，因为SPMA=12|MA|（xPxM）=12（yx）（1x），SOAB=12|AB|（xA0）=12（x-xy）x，所以SOABSPMA=(x-xy)x(y-x)(1-x)=(y2-y2y2)y2(y-y2)(1-y2)，因为y+yyy=2，y=y2y-1，y2y=y2y2y-1=y（2y1），所以SOABSPMA=y21-y2=11y2-1，因为y（0，12），所以1y2（4，+），所以SOABSPMA（
28、0，13）21（12分）已知函数f（x）（logax）2+xlnx（a1）（1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）t|1在区间（0，+）上有三个零点，求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|e1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围【解答】解：（1）证明：f(x)=1-1x+2logax1xlna，a1，x1，f(x)=1-1x+2logax1xlna0，f（x）在（1，+）上单调递增；（2）0x1，分别有1-1x0，2logax1xlna0，f（x）0，结合（1）知，f（x）minf（1），t1f（1）1，t2；（
29、3）由（2）可知，f（x）在a1，1单调递减，在1，a上单调递增，f(x)max=maxf(a-1)，f(a)，且f（a）f（a1）aa12lna，令g（x）xx12lnx，则g(x)=1+x-2-2x=(1x-1)20，g（a）g（1）0，g（x）maxf（a），任意的x1，x2a1，a，|f（x1）f（x2）|f（a）f（1）alna，以下只需alnae1，由h（x）xlnx的单调性解得1ae四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1
30、与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值【解答】解：（）直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），转换为直角坐标方程为y=k(x+3)直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）转换为直角坐标方程为y=13k(3-x)所以得到x23+y2=1（y0）（）直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，转换为直角坐标方程为x+y60设曲线C1的上的点Q（3cos，sin）到直线x+y80的距离d=|3cos+sin-6|2=|2sin(+3)-6|2，当sin(+3)=-1时，dmax=82=42五解答题（共1小题）23（1）解不等式：x+|2x1|3（2）求函数yxlnx的导数【解答】（1）x+|2x1|3，|2x1|3x，3-x02x-13-x2x-1x-3解得，2x43故不等式解集为（2，43），（2）y1+lnx
