2021年新高考数学模拟试卷(40).docx_163文库

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1、2021年新高考数学模拟试卷（40）一选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1（3分）已知集合Ax|x2x20，Bx|y=x，则AB（）Ax|lx2Bx|0x2Cx|xlDx|x02（3分）设aR，若复数1-ia+i在复平面内对应的点位于实轴上，则a（）A2B1C1D23（3分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=14，ACCB=-2，且a+b5，则c等于（）A5B13C4D174（3分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）A314B37C67D1

2、3285（3分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x0的夹角为60，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）Ax23-y21Bx29-y23=1Cx23-y29=1Dx2-y23=16（3分）函数f(x)=cosxln(x2+1-x)在1，1的图象大致为（）ABCD7（3分）在ABC中角A、B、C所对边分别为a、b、c，若acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角C的大小为（）A6B4C3D28（3分）已知函数f（x）x2+a，g（x）x2ex，若对任意的x21，1，存在唯一的x1-12，2，使得f（x1）g（x2）

3、，则实数a的取值范围是（）A（e，4B（e+14，4C（e+14，4）D（14，4二多选题（共4小题，满分12分，每小题3分）9（3分）若ab0，则下列不等式成立的是（）A1a1bBbab+1a+1Ca+1bb+1aDa+1ab+1b10（3分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（）A在(0，4)上单调递增，为偶函数B最大值为1，图象关于直线x=-32对称C在(-38，8)上单调递增，为奇函数D周期为，图象关于点(34，0)对称11（3分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行

4、，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为3CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：412（3分）已知函数f(x)=x+2a，x0x2-ax，x0，若关于x的方程f（f（x）0有8个不同的实根，则a的值可能为（）A6B8C9D12三填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）函数f（x）=alnxex在点P（1，f（1）处的切线与直线2x+y30垂直，则a 14（3分）(3x-2x)4的展开式中，常数项是 15（3分）设an是由正数组成的等比数列，且a4a79，log3a1+log3a2+log3a3+log3a10的值

5、是 16（3分）如图所示，三棱锥ABCD的顶点A，B，C，D都在半径为2同一球面上，ABD与BCD为直角三角形，ABC是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且APCQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（开放题）在锐角ABC中，a23，_，求ABC的周长l的范围在m=（cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），且mn=-12，cosA（2bc）acosC，f（x）cosxcos（x-3）-14，f（A）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解18（12分）已知数列an是等比数列

6、，数列bn满足b1b2=12，b3=38，an+1bn+12nbn+1（1）求an的通项公式；（2）求bn的前n项和19（12分）在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB1，BC2，E是PD的中点（1）求证：平面PDC平面PAD；（2）求二面角EACD的余弦值；（3）求直线CP与平面AEC所成角的正弦值20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2-2且过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标

7、；如果不经过，说明理由21（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）按步数分组，得到频率分布直方图如图所示（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布N（，2），其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数（14，18的

8、人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为814千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0.997322（12分）已知函数f（x）x2+2axblnx，且f（x）在x1处取得极值（1）试找出a，b之间的关

10、=a-1a2+1-a+1a2+1i在复平面内对应的点位于实轴上，a+1a2+1=0，即a1故选：C3（3分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=14，ACCB=-2，且a+b5，则c等于（）A5B13C4D17【解答】解：cosC=14，ACCB=-2，ACCB=abcos（C）abcosC=-14ab2，解得：ab8，a+b5，由余弦定理得：c2a2+b22abcosC（a+b）22ab2abcosC251645，则c=5故选：A4（3分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另

11、1个是红色小球的概率为（）A314B37C67D1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数n=C82=28，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：m=C61C21=12，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为p=mn=1228=37故选：B5（3分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x0的夹角为60，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）Ax23-y21Bx29-y23=1Cx23-y29

12、=1Dx2-y23=1【解答】解：双曲线的渐近线为ybax，渐近线与直线x0的夹角为60，batan30=33，双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，4a2+b2=8，由，解得解得a23，b21双曲线C的标准方程为x23-y21故选：A6（3分）函数f(x)=cosxln(x2+1-x)在1，1的图象大致为（）ABCD【解答】解：f(-x)=cos(-x)ln(x2+1+x)=-cosxln(x2+1-x)=-f(x)，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又f(1)=cos1ln(2-1)0，故排除A故选：B7（3分）在ABC中角A、B、C所对边分别为a、b、c，

13、若acosAsinC（2ba）sinAcosC，则角C的大小为（）A6B4C3D2【解答】解：由acosAsinC（2ba）sinAcosC，得asinB2bsinAcosC，由正弦定理得：ab2abcosC，cosC=12，又C（0，），C=3，故选：C8（3分）已知函数f（x）x2+a，g（x）x2ex，若对任意的x21，1，存在唯一的x1-12，2，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）A（e，4B（e+14，4C（e+14，4）D（14，4【解答】解：f（x）x2+a在-12，2的值域为a4，a，但f（x）在（12，2递减，此时f（x）a4，a-14）g（x）x2ex的导数

14、为g（x）2xex+x2exx（x+2）ex，可得g（x）在1，0递减，（0，1递增，则g（x）在1，1的最小值为g（0）0，最大值为g（1）e，即值域为0，e对任意的x21，1，存在唯一的x1-12，2，使得f（x1）g（x2），可得0，ea4，a-14），可得a40ea-14，解得e+14a4故选：B二多选题（共4小题，满分12分，每小题3分）9（3分）若ab0，则下列不等式成立的是（）A1a1bBbab+1a+1Ca+1bb+1aDa+1ab+1b【解答】解：ab0，1a1b，bab+1a+1，a+1bb+1a，a+1a-（b+1b）=(a-b)(ab-1)ab与0的大小关系不确定，因此

15、a+1bb+1a不正确综上可得：AC正确故选：AC10（3分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质（）A在(0，4)上单调递增，为偶函数B最大值为1，图象关于直线x=-32对称C在(-38，8)上单调递增，为奇函数D周期为，图象关于点(34，0)对称【解答】解：将函数f（x）sin2x的图象向右平移4个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）sin2（x-4）sin（2x-2）cos2x，则函数g（x）为偶函数，当0x4时，02x2，此时g（x）为增函数，故A正确，函数的最大值为1，当x=-32时，g（x）cos（3）cos1，为最大值

16、，则函数图象关于直线x=-32对称，故B正确，函数为偶函数，故C错误，函数的周期T=22=，g（34）cos（342）cos32=0，即图象关于点(34，0)对称，故D正确故正确的是ABD，故选：ABD11（3分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为3CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDEEF，PC平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，EFPC，

17、四边形ABCD是正方形，AFFC，AEEP，故A正确；在B中，CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，在RtPAB中，PAAB，PAB=4，PB与CD所成角为4，故C错误；在C中，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAACA，BD平面PAC，故C正确；在D中，设ABPAx，则VP-ABCD=13AB2PA=13x2x=13x3，VCBDEVEBCD=13SBCDAE=1312x212x=112x3VCBDC：VPABCD=112x3：13x3=1：4故D正确故选：ACD12（3分）已知函数f(

18、x)=x+2a，x0x2-ax，x0，若关于x的方程f（f（x）0有8个不同的实根，则a的值可能为（）A6B8C9D12【解答】解：由题意可得a0时，显然不成立；当a0时，令f（x）t，则由f（t）0得，t12a，t20，t3a，又方程f（f（x）0有8个不同的实根，由题意结合可得，即a0a2a-2a-a24，解得a8，故选：CD三填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）函数f（x）=alnxex在点P（1，f（1）处的切线与直线2x+y30垂直，则ae2【解答】解：由题意得：f(x)=axex-aexlnx(ex)2=ax-alnxex又切线与直线2x+y30垂直，故切线斜率k

19、=12f(1)=ae=12，a=e2故答案为：e214（3分）(3x-2x)4的展开式中，常数项是8【解答】解：二项式(3x-2x)4的展开式的通项公式为Tr+1=4r（3x）4r（2）rxr=4r（2）rx4-4r3令x的幂指数4-4r3=0，解得r1，展开式中的常数项为：T2=41（2）18故答案为：815（3分）设an是由正数组成的等比数列，且a4a79，log3a1+log3a2+log3a3+log3a10的值是10【解答】解：an是由正数组成的等比数列，且a4a79，则a1a10a2a9a3a8a5a6a4a79则log3a1+log3a2+log3a3+log3a10log3（a

20、1a10a2a9a3a8a4a7a5a6）5log3910，故答案为：1016（3分）如图所示，三棱锥ABCD的顶点A，B，C，D都在半径为2同一球面上，ABD与BCD为直角三角形，ABC是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且APCQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为112【解答】解：设APx，x（0，2）由题意可知：BD的中点O为球心，当平面ABD平面BCD时，三棱锥PQCO体积V=13POSOCQ=13（2-x）122xsin45=16x（2-x）16(x+2-x2)2=112，当且仅当x=22时取等号三棱锥PQCO体积的最大值为112故答案为：112四

21、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（开放题）在锐角ABC中，a23，_，求ABC的周长l的范围在m=（cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），且mn=-12，cosA（2bc）acosC，f（x）cosxcos（x-3）-14，f（A）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解【解答】解：若选，则由m=（cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），且mn=-12，得-cos2A2+sin2A2=-12，cosA=12，又A（0，2），所以A=3；又asinA=2332=4，ABC的周长为lABC=4sin(23-B)+4sinB+2

22、3，即lABC=43sin(B+6)+23；因为锐角ABC中，A=3，所以B（6，2），所以B+6（3，23），所以ABC的周长为lABC（6+23，63若选，由cos A（2bc）acos C，所以2bcosAacosC+ccosA，所以2sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB；又B（0，），所以sinB0，所以cosA=12；又A（0，2），所以A=3；所以asinA=2332=4，ABC的周长为lABC=4sin(23-B)+4sinB+23，即lABC=43sin(B+6)+23；因为锐角ABC中，A=3，所以B（6，2），所以B+6（3，23），所

23、以ABC的周长为lABC（6+23，63若选，则f（x）cos xcos（x-3）-14=12cos2x+32cos xsin x-14=121+cos2x2+32sin2x2-14 =12（12cos2x+32sinx2）=12sin（2x+6），又f（A）=14，所以sin（2A+6）=12，又A（0，2），所以A=3；所以asinA=2332=4，ABC的周长为lABC=4sin(23-B)+4sinB+23，即lABC=43sin(B+6)+23；因为锐角ABC中，A=3，所以B（6，2），所以B+6（3，23），所以ABC的周长为lABC（6+23，6318（12分）已知数列an是等

24、比数列，数列bn满足b1b2=12，b3=38，an+1bn+12nbn+1（1）求an的通项公式；（2）求bn的前n项和【解答】解：（1）数列an是等比数列，数列bn满足b1b2=12，b3=38，an+1bn+12nbn+1，当n1可得a2b22b1+1，即有a22（1+1）4，n2时，a3b34b2+1，即有a3=83（2+1）8，可得等比数列an的公比为2，且an42n22n；（2）由an+1bn+12nbn+1，即2n+1bn+12nbn+1，可得2nbn为首项为1，公差为1的等差数列，可得2nbn1+n1n，则bnn（12）n，即有bn的前n项和为Sn112+2（12）2+3（12

25、）3+n（12）n，12Sn1（12）2+2（12）3+3（12）4+n（12）n+1，相减可得12Sn=12+（12）2+（12）3+（12）nn（12）n+1=12(1-12n)1-12-n（12）n+1，化简可得bn的前n项和为2（n+2）（12）n19（12分）在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB1，BC2，E是PD的中点（1）求证：平面PDC平面PAD；（2）求二面角EACD的余弦值；（3）求直线CP与平面AEC所成角的正弦值【解答】（1）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD矩形ABCD，CDDA，又PADAA，CD平面PAD，CDP平面PCD，

26、平面PDC平面PAD（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，P（0，0，1），D（0，2，0），C（1，2，0），E(0，1，12)，PA平面ACD，平面ACD法向量n1=AP=（0，0，1），设平面ACE法向量n2=（x，y，z），由n2AE=0n2AC=0 则y+12z=0，x+2y0，取n2=（2，1，2），cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=213=23，二面角EACD的余弦值为23（3）解：CP=（1，2，1），设直线CP与平面AEC所成角为，sin=|cosn2，CP|=|n2CP|n2|CP|=6920（12分）已知椭圆C

27、：x2a2+y2b2=1（ab0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2-2且过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由【解答】解：（1）由题意(2)2a2+12b2=1a-c=2-2a2=b2+c2，解得a=2b=2c=2，故椭圆C的方程为x24+y22=1（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）将直线与椭圆的方程联立得：y=k(x-3)x24+y22=1，消去y，整理得（2k2+1）x212k2x+18k240由根与系数之间的关系可得：

28、x1+x2=12k22k2+1，x1x2=18k2-42k2+1点P关于y轴的对称点为P，则P（x1，y1）直线PQ的斜率k=y2+y1x2-x1方程为：y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1)，即y=y2+y1x2-x1(x-x1-x2-x1y2+y1y1)=y2+y1x2-x1(x-(y2+y1)x1+(x2-x1)y1y2+y1)=y2+y1x2-x1(x-x1y2+x2y1y2+y1) =y2+y1x2-x1(x-x1k(x2-3)+x2k(x1-3)k(x2-3)+k(x1-3) =y2+y1x2-x1(x-2x1x2-3(x1+x2)x1+x2-6) =y2+y1x2-x1(x-

29、218k2-42k2+1-312k22k2+112k22k2+1-6)=y2+y1x2-x1(x-43)直线PQ过x轴上定点(43，0)21（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）按步数分组，得到频率分布直方图如图所示（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数（单位：千步）

30、服从正态分布N（，2），其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数（14，18的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为814千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0

31、.9973【解答】解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（50.005+70.005+90.04+110.29+130.11+150.03+170.015+190.005）11.6812千步；（2）因为N（12，22），所以P（1418）P（12+212+32）=12P（618）P（1014）0.1574，所以走路步数（14，18）的总人数为3000.157447人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X0）0.0220.0004

32、，P（X100）20.020.880.0352，P（X200）0.882+20.020.10.7784，P（X300）20.880.10.176，P（X400）0.120.01，所以X的分布列为：X0 100 200 300 400P 0.0004 0.0352 0.7784 0.176 0.01E（X）1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.0121622（12分）已知函数f（x）x2+2axblnx，且f（x）在x1处取得极值（1）试找出a，b之间的关系式；（2）若函数f（x）在x13，12上不是单调函数，求实数a的取值范围；（3）求在函数f（x），x13，12

33、的图象上任意一点处的切线斜率k的最大值【解答】解：（1）f（x）2x+2a-bx，f（x）在x1处取得极值，f（1）2+2ab0，故b2+2a，（2）函数f（x）在x13，12上不是单调函数，f（x）2x+2a-bx=0在（13，12）内有解，即x2+ax（a+1）0在（13，12）上有解，由x2+ax（a+1）0可得x1或x1a，13-1-a12，解可得，-32a-43，（3）kf（x）2x+2a-bx，k2+bx2=2+2(1+a)x2=2(x2+1+a)x2，当1+a-19即a-109时，k0在13，12上恒成立，k在13，12上单调递增，故当x=12时，k取得最大值2a3，当-141+a-19即-54a-109时，当x13，-1-a)时，k0，k单调递减，当x(-1-a，12，k0，k单调递增，当x=12时，k2a3，x=13时，k=-163-4a，若2a3-163-4a，即a-76，当-76a-109时，k取最大值2a3；当-54a-76时，k取最大值-163-4a，当1+a-14即a-54时，k0在13，12上恒成立，此时k单调递减，故当x=13时，k取得最大值-163-4a，综上可得kmax=-2a-3，a-76-163-4a，a-76

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