1、双曲线及其标准方程（教学设计）一、教学目标：知识与技能：（1）理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程 （2）根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程过程与方法：（1）引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思想及事物类比的研究方法的认识（2）从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力情感态度与价值观：（1）培养学生勇于探索，善于研究的精神（2）通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学氛围二、重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程的推导难点：（1）理解，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；（2）令的
2、思维过程，及焦点分别在x轴y轴上的标准方程形式三、教学设计（一）情境设置1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图2、初中代数中反比例函数的图象那么，双曲线是怎样形成的？（二）、探索定义1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就画出一条曲线（演示模拟实验）2、分析问题：（1）动点M与定点F1、F2的距离之差保持怎样的关系？ （2）这个常数与|F1F2|大小关系？ （3）|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系? 3、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等
3、于常数2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线定点F1、F2焦点距离|F1F2|=2c焦距思考题：由定义知|MF1|MF2|=2a(2a0),2c=|F1F2|若2a2c，点M的轨迹是什么？ 由模拟实验讨论，轨迹不存在（三）探求方程1、双曲线方程的推导解：建系设点 以F1、F2所在直线为x轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，写出轨迹上动点M的适合条件由定义可知M点满足列出方程 化简方程 移项 平方 整理得 ，即 由双曲线定义可知2a,即a,设=，方程整理得 这是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，其中，焦点在y轴上的双曲
4、线的标准方程为 2、判断下列双曲线方程焦点的位置 如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较 双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2 +b2 ,a0，b0；有别于椭圆方程中，c2=a2 -b2 ,ab0双曲线标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上（四）应用练习例1 填空题(1)已知双曲线方程，则a= ,b= ,c= 焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为 (2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a= 例2
5、 已知一动圆过定点M（-4，0）且与已知圆C：(x-3)2+y2=4相外切，求动圆圆心P的轨迹方程分析：根据双曲线的定义求解解：设动圆P的半径为r(r0)，圆 (x-3)2+y2=4的圆心为C (3,0),半径为2则|PM|=r |PC|=r+2 |PC|-|PM|=2|PM|P点的轨迹是以M、C为焦点的双曲线的左支则c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8P点的轨迹方程为 (x2c=|F1F2|” 教师：椭圆定义中和为常数，记为2a，双曲线中差的绝对值为常数，我们也记为2a；所不同的是双曲线中常数2a小于|F1F2|，椭圆中常数2a大于|F1F2|；同样这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间
6、的距离叫做双曲线的焦距，记为2c=|F1F2|教师：双曲线满足动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，用数学表达式表示为（板书）|MF1|MF2|=2a(2a0且2a2c=|F1F2|）教师：由定义知道，差的绝对值为常数2a2c，能否大于或等于2c呢？我们来讨论一下这三种情况的点的轨迹问题1、若2a2c，点M的轨迹是什么？ 学生7：是椭圆 教师：椭圆定义中是到两定点的距离“之和”为常数，我们这里是“之差”满不满椭圆定义？师生：不满足教师：不是椭圆， 教师：当2a2c时，既不构成三角形，又不共线那么师生：轨迹不存在（设计感悟：三个问题的设计，使学生对双曲线定义中2a与2c的关系，更进一步理解）教师
7、：复杂的曲线可以通过建立适当的坐标系得到简单对称的曲线方程，如椭圆的标准方程，那么双曲线方程如何？教师：我们用求曲线方程的一般步骤，类比于椭圆的标准方程推导过程，共同来推导双曲线的方程第一步是师生：建系设点教师：你准备如何建系？ 学生8：以F1、F2它们的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，教师：这样建系设点不仅满足双曲线的对称性，而且还使得所设未知数、参数尽可能少且具有直观性很好教师：第二步写出几何条件，第三步根据几何条件，以及两点间的距离公式列出方程，第四步化简方程请同学们类比于椭圆方程推导过程来完成（学生积极
8、思考，认真演算）教师：（在学生讨论过程中）对于这个方程的化简，主要任务是去掉什么？学生：去根号学生9：先移项，再平方 教师：含两个根式时，将一个移项，再平方学生9：再一次平方得：教师：很好在椭圆方程简化中我们也遇到了类似的一个方程，我们是怎么处理？师生：设字母b 教师：我们引入一个字母b(b0),使b2=a2 c2，因为椭圆中a大于c我们能否也引入一个量，哪位同学出出主意？学生10：设=教师：双曲线中a与c关系？学生10：c大于a教师：这个方法很可行，因为是一个正数，所以令=此时即可化简，结果是师生：教师：这个方程叫做双曲线的标准方程它所表示的双曲线焦点在X轴上，其中，（板书）标准方程，焦点在
9、x轴上 教师：如果我们以F1F2所在的直线为y轴，即焦点在y轴上，它的标准方程怎样？学生： 教师：与椭圆中类似，由坐标变换思想，互换x,y的位置即可得焦点在y轴上的方程（板书）焦点在y轴上， 教师：标准方程形式上与椭圆类似，右边为1，左边为平方差的形式；而椭圆左边为和的形式两个双曲线标准方程形式相似，但焦点的位置不同，如何判定焦点在哪条坐标轴上？判断下列双曲线方程焦点的位置 学生10：焦点在X轴上，焦点在y轴上教师：是标准方程吗？学生：不是标准方程教师：你能不能将它化为标准方程 学生10：同时乘-1，得就是方程教师：你能不能帮我们归纳一下，在双曲线标准方程中如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？学
10、生10：如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上教师：他给了我们一个判定双曲线焦点位置的方法，而椭圆标准方程中，通过比较a、b即分母大小，判定焦点的位置教师：把双曲线标准方程与椭圆标准方程作一下比较首先，从方程形式上看有什么不同？学生11：双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，教师：a、b、c三者关系有什么不同？学生11：双曲线中c2=a2 +b2 ,a0，b0；有别于椭圆方程中，c2=a2 -b2 ,ab0教师：焦点位置判定方法不同（设计感悟：学生自行推导方程教师进行指导，又推导焦点在y轴上的标准方程形式，进行区别，教师适时提出问题
11、：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？从而突破难点，正确区别两个不同的标准方程形式）教师：我们来做几个练习，熟悉双曲线的定义和标准方程例1 填空题(1)已知双曲线方程，则a= ,b= ,c= 焦点在 轴上，其坐标为 ，焦距为 (2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a= 教师：先看第1题，快速作答学生12：a=3, b=4，c=5,x轴，（-5，0）（5，0），焦距为10教师：接着计算一下第（2）题学生13：a=教师：双曲线焦点在哪个轴上？学生13：在x轴上教师：等于多少？教师：在椭圆的焦点也应在X轴上，那么等于学生13：=14-a2教师：14-a2等于5，则a2为9，a等于3，因为a大于0（设计感
12、悟：巩固双基，信息反缋）例3 已知一动圆过定点M（-3，0）且与已知圆C：(x-3)2+y2=4相外切，求动圆圆心P的轨迹方程学生：（思考）教师：点P是动点，M点和C点是两个定点，且在X轴上对称的两点；圆P和圆C相外切，两圆相外切，能得到什么条件？师生：圆心距等于半径之和教师：|PC|-|PM|=2即，P点到C点的距离之差是学生：是常数 教师：P点的轨迹是什么？学生：双曲线 教师：我们跟踪一下它的轨迹来看一看（演示跟踪轨迹）教师：当我们知道曲线的属性，就可以用待定系数法求方程，关键是求a,b学生14：c=3, a=1, b2 =c2 -a2=8，P点的轨迹方程为 教师：还需要什么条件？学生14
13、：X0教师：要注意讨论轨迹的范围教师：我们利用双曲线的定义得到了它的方程（设计感悟：更进一步的掌握双曲线的定义，用待定系数法求方程）教师：双曲线与椭圆有区别又有联系， 我们通过一个表格来比较异同点我们横向来填空（教师与学生一起来完成表格）椭圆双曲线定义图形标准方程焦点坐标焦点位置与标准方程的关系比较分母大小 若x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；若y2项的系数是正的，焦点在y轴上a、b、c关系c2=a2 -b2c2=a2 +b2（设计感悟：采用启发探求式数学方法，引导学生与椭圆方程类比完成，掌握两者的区别与联系，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法）教师：本课我们通过模拟拉链实
14、验，得出双曲线的定义，并与椭圆类比，得出双曲线的标准方程，以及方程中a、b、c的关系，同学们要注意使用类比的方法，依照椭圆中的探究思路来处理双曲线中的类似问题（设计感悟：一方面让学生再次回顾过程，另一方面是对探索过程的再认识，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训）设计理念1. 情景引入生活化 热电厂冷凝通风塔的轮廓抽象、拉链动画实验都来源于学生熟悉的现实生活，给学生以亲切感，并让教材内容生动活泼，能创设良好的教学氛围同时，让学生感知“数学来源于生活，又服务于生活”2. 知识建构序进化 以建构主义教育理论为指导由旧知向新知不断类比，在探究中不断发现新问题，解决新问题体现了层层递进的知识同化过程例题习题由易到难，循序渐进3. 学习过程自主化 创设良好的问题情境在教师调控下，让学生去探究、讨论、演算，形成“我问”、“我猜想”、 “我动手”、“我判断”的自主意识和学习行为培养学生主动面对各种困难的信心和勇气，以及分析问题、解决问题的能力和方法4. 电脑课件实用化 本课制作课件分四块有很好的实用价值，真正起到了突破重难点，引导学生探究、发现，激发学习兴趣，增大容量，充实信息，促进理解的作用课件的使用，很大程度上改变了以往单一教学方式和学习方式，提高了课堂教学效益
