1、数值分析期末考试复习题及其答案1.已知 X * = 325413, X * = 0.325413 都有 6 位有效数字，求绝对误差限.(4 分）12解：由已知可知，n=6X * = 0.325413106 , k = 6, k - n = 0, 绝对误差限e11= 1 100 = 0.52 分21X * = 0.325413 100 , k = 0, k - n = -6, 绝对误差限e22=10-62 分21002.已知 A = 024 求 A , A, A12（6 分)0- 2 4解:A= max1,4,8= 8,1 分1A= max1,6,6= 6,1 分()A =l2maxAT A1
2、分100 100100 ATA = 02- 2 024 = 080 2 分 044 0- 2 40032l( AT A) = max1,8,32= 321 分max322A= 423.设 f (x) = (x 2 - a)3（6 分) 写出 f(x）=0 解的Newton 迭代格式2 当 a 为何值时, x= j (x ) （k=0,1）产生的序列x 收敛于k +1kk解:f (x )(x 2 - a)35xax= x -k= x -k=k +Newton 迭代格式为:k +1kf (x )kk6xk(x 2 - a)2k66xk3 分j (x) = 5x + a66x10 - a12j(x)
3、 = 5 - a ,当j( 2 ) = 1,即- 2 a 22时迭代收敛3 分66x 24. 给 定 线 性 方 程 组 Ax=b ， 其 中 ： A = 32， b = 3 用 迭 代 公 式12-1x ( k +1) = x ( k ) + a (b - Ax ( k ) )（k=0，1）求解Ax=b，问取什么实数a ，可使迭代收敛(8 分）解:-aa1 - 2所给迭代公式的迭代矩阵为B = I -aA = 1 - 3a - 2a 2 分其特征方程为 lI - B = l - (1 - 3a)2a= 02 分al - (1 - 2a)即，解得l1= 1 - a, l2= 1 - 4a2 分
4、要使其满足题意，须使r (B) 1 ，当且仅当0 a 0.52 分12- 255. 设方程Ax=b,其中 A = 111 ，b = 6 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛 2217性，并建立GaussSeidel 迭代格式（9 分)解：A = L + D + U0- 22 B = -D -1 (L + U ) = - 10- 13 分J- 2- 20 lI - BJ= l3 = 0, l = l12= l = 02 分3即r (B ) = 0 1，由此可知Jacobi 迭代收敛1 分JGauss-Seidel 迭代格式:x(k +1) = 5 - 2x(k ) + 2x(k ) 123
5、x(k +1) = 6 - x(k +1) - x(k )（k=0,1，2,3）3 分 213x(k +1) = 7 - 2x(k +1) - 2x(k +1) 3126. 用 Doolittle 分解计算下列 3 个线性代数方程组： Axi= b （i=1，2,3）其中i211 4A = 232 ， b = 7, b = x , b = x（12 分）1 21322349解： Ax = b11211 232 x4= 7 1 2349100 211 A= 110 021 =LU3 分 111 00210044由 Ly=b1，即110 y= 7得 y= 31 分 111 92211 4由 Ux1
6、=y，即021 x1= 31得 x1= 12 分 00221 Ax = b22211 1232 x2= 1 234110011 由 Ly=b2=x1，即110 y= 1得 y= 01 分 111 10211 1 0.5由 Ux2=y,即021 x2= 0得 x2= 0 2 分 Ax = b3300200 211 0.5232 x3= 0 2340 1000.50.5 由 Ly=b3=x2，即110 y= 0 得 y= - 0.51 分111 0 0211 0.5 0.375 由 Ux3=y，即021 x3= - 0.5得 x3= - 0.252 分002007. 已知函数 y=f（x)有关数据
7、如下：要求一次数不超过 3 的 H 插值多项式,使H (x ) = y , H (x ) = y (6 分）解:作重点的差分表，如下：3ii3113 分H (x) = f x + f x , x (x - x) + f x, x , x (x - x )(x - x ) + f x, x , x , x (x - x )(x - x )23001001101011201=-1+（x+1）-x（x+1）+2x.x(x+1)= 2x3 + x 23 分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用 Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7 分)解：由已知条件可作差分表，3 分x = x
8、 + ih = i(i=0，1，2，3）为等距插值节点，则 Newton 向前插值公式为：i0(x - x)(x - x)(x - x )(x - x)(x - x )(x - x )N (x) = f +3001!hDf +002!h 21 D2 f +0013!h32 D3 f0=4+5x+x（x-1)= x 2 + 4x + 44 分9. 求 f（x）=x 在-1，1上的二次最佳平方逼近多项式P (x) ，并求出平方误差 （8 分）2解：令 P (x) = a20+ a x + a x 22 分12取 m=1, n=x， k= x 2,计算得：（m，m)= 11dx =0(m,n）=1
9、xdx =1（m,k)= 1 x 2 dx =0-1(n,k）= 1 x 3 dx =0。5(k，k)=-1-11 x 4 dx =0(m,y）=-1-11 xdx =1-1（n,y）= 1 x 2 dx =0（k,y)= 1 x 3 dx =0。5-1-1a = 1 1得方程组： a 0+ 0.5a2= 03 分0.5a = 0.51解之得a = c, a = 1, a = -2c （c 为任意实数，且不为零）012即二次最佳平方逼近多项式P (x) = c + x - 2cx 21 分2平方误差： d2 = f - p 2 = f 2 - a (j , y) =2 分2222 22ii3i
10、=010. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合 Simpson 公式计算p = 14dx 的近似值(保留小数点后三位)(8 分）0 1 + x 2解:用复合梯形公式：11131537 + f (1)816=3.13984828484 分11357113S = f (0) + 4 f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + 2 f ( ) + f ( ) + f ( ) + f (1)424=3.14288884244 分T = f (0) + 2 f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( )用复合Simpson
11、公式：p111. 计算积分 I = 2 sin xdx ,若用复合Simpson 公式要使误差不超过10-5 ，问区间02pp0,要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间0,应分为多少等22分？（10 分）解： 由 Simpson 公式余项及 f (x) = sin x, f ( 4) (x) = sin x 得p2ppp11R ( f ) ()4 max f (4) (x) =( )4 ( )4 10-52 分n180 4n0 xp360 4n22即n 4 665, n 5.08 ，取 n=62 分即区间0, p 分为 12 等分可使误差不超过 1 10-51 分22对梯形公式
12、同样max f (x) 1，由余项公式得p0 x2R ( f ) p21p() 10-52 分n12 2n2即n 254.2, 取n = 2552 分p1即区间0,分为510 等分可使误差不超过10-51 分22 y + y + y 2 sin x = 012. 用改进 Euler 格式求解初值问题：要求取步长 h 为 0.1，计算 y（1。 y(1) = 11）的近似值 （保留小数点后三位）提示：sin1=0.84，sin1.1=0。89（6 分）解：改进 Euler 格式为： y -= y + hf (x , y ) n+1nnn2 分h- y n+1= y + f (x , yn2nn)
13、 + f (x, yn+1)n+1于是有 - yn+1= y - 0.1( ynn+ y 2 sin x )nn-2(n=0,1，2）2 分 y= y - 0.05( y + y 2 sin x + y+ ysin x)n+1nnnnn+1n+1n+1由 y(1)= y 0=1,计算得 -2y = 1 - 0.1(1 + 1 1sin1) = 0.8162 分 y(1.1) y1= 0.838即 y(1.1）的近似值为 0。83813. 设f (x) C a, b, x0（4 分）证明： (a, b),定义：f x , x00 = lim f x, xx x00, 证明：f x , x00 =
14、 f x 0f x0 = limxx0f x - f x 0x - x0= lim f x, xx x00 = f x , x 004 分故可证出f x , x00 = f x 014. 证明：设 A Rnn ， 为任意矩阵范数，则r (A) A (6 分)证明：设l 为 A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有 Ax= l x1 分且r( A) = l ，若l 是实数,则 x 也是实数，得 l x = Ax 1 分而 lx = l x Ax A x ,故 l x A x 2 分由于 x 0，两边除以x 得到l A1 分故r ( A) A 1 分当l 是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立
