1、2018-2019学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，故选择C.2.已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：复数z满足，则，故选D考点：复数运算.3.已知中，则等于A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，结合大边对大角的性质即可确定出B的度数【详解】中，由正弦定理得：，则故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4
2、.已知随机变量服从正态分布则A. 0.89 B. 0.78 C. 0.22 D. 0.11【答案】D【解析】本题考查正态分布和标准正态分布的转化及概率的计算方法. 故选D5.已知向量， ，若，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选D.6.设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】an是等差数列Sm=0a1=am=(SmSm1)=2，又=3，公差=1，3=，=5，故选C视频7. 如图所示的程序框图，输出的S的值为()A. B. 2 C. 1 D.
3、 【答案】A【解析】k1时，S2，k2时，S，k3时，S1，k4，S2，所以S是以3为周期的循环故当k2 012时，S8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量
4、的关系，列方程(组)求解.视频9.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为（ ）A. 192里 B. 96里 C. 63里 D. 6里【答案】A【解析】设第一天走了里，则是以为首项，以为公比的等比数列，根据题意得：解得故选10.函数在区间，内是增函数， 则实数的取值范围是A. ， B. ， C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，根据函数单调递
5、增易得在内恒成立，即，解出即得结果.【详解】，函数在区间内是增函数，在内恒成立，即，故选B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为是解题的关键，属于中档题11.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为A. B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，从而，把代入得，所以的面积为，解得，所以离心率，故选D.考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛
6、物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，从而求得值，最后由离心率的定义求出其值.12.已知函数，为的零点，为图象的对称轴， 且在，上单调， 则的最大值为A. 11 B. 9 C. 7 D. 5【答案】B【解析】，则，得，又，则，得，当时，则，则，所以，在不单调；当，则，则，所以，在单调递减。故选B。点睛：由零点和对称轴判断得到，解得，由单调，得到区间长度，则，但本题四个选项都满足要求，则由大往小代入验证，得到选项B满足要求。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_
7、.【答案】【解析】试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以因此展开式的系数之和为考点：二项式系数性质14.已知实数，满足不等式组则的最小值为_【答案】【解析】做出约束条件的平面区域，如图所示：联立 解得： ，即 由图可知：当直线 过点 时有最小值：.故答案为 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.AB为过抛物线焦点F的一条弦，设，以下结论正确的是_，且的最小值为4以AF为直径的圆
8、与x轴相切【答案】【解析】【分析】可设直线AB的方程为，由，得，由韦达定理可判断正确；利用弦长公式表示出，由表达式可知正确；通过计算圆心到x轴的距离、半径可判断正确；【详解】因为直线AB过抛物线的焦点，故可设直线AB的方程为，由，得，则，故正确；由抛物线定义得，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，故正确；，则圆心，圆心到x轴的距离，直径，半径，所以以AF为直径的圆与x轴相切，故正确；故答案为：【点睛】本题考查抛物线的性质、方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生解决问题的能力16.当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：不等式变形为当时，故实数a的取值范围是；当时，记
9、，故函数递增，则，故；当时，记，令，得或（舍去），当时，；当时，故，则综上所述，实数的取值范围是考点：利用导数求函数的极值和最值三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角，的对边分别为，已知，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，得，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得，从而可得结果；（2）由，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由，得，即，由正弦定理，得，所以， ，因为，所以，所以因为，所以（2）在中，由余弦定理，得，又，所以，解得，所以的面积【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为
10、手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造
11、，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等
12、品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据直观图以及表格中所给数据，可完成列联表；根据列联表，利用公式可得，与临界值比较可得结果；（2）根据图和表可知，利用古
13、典概型概率公式可得设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为，比较合格率的大小即可得结果；（3）随机变量的取值为：，根据独立事件的概率公式计算出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.试题解析：（1）根据图3和表1得到列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将列联表中的数据代入公式计算得： .，有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（2）根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更
14、优.（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：，. ， ， ， ， .随机变量的分布列为：240300360420480 .【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到
15、的结论也可能犯错误.）19.如图，在直三棱柱侧棱和底面垂直的棱柱中，平面侧面，线段AC、上分别有一点E、F且满足，求证：；求点E到直线的距离；求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（1）过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，由已知条件推导出AD平面A1BC，由此能证明ABBC（2）以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线A1B的距离（3）分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角FBEC的平面角的余弦值（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作
16、ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，AD平面A1BC，又BC平面A1BC，ADBC三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1底面ABC，AA1BC又AA1AD=A，BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，ABBC（4分）（2）解：由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，E（1，2，0），F（0，1，1），=0，EFBA1，
17、点E到直线A1B的距离（8分）（3）解：，设平面BEF的法向量，则，取x=2，得=（2，1，1），由题意知平面BEC的法向量，设二面角FBEC的平面角为，是钝角，cos=|cos|=，二面角FBEC的平面角的余弦值为点评：本题考查异面直线的证明，考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（1）为坐标原点，求证：；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值【答案】（）见解析；（）时，四边形的面积最小，最小值是【解析】试题分析：（1）先利用已知条件设出直线AB的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定
18、理表示出向量的数量积，进而证明。（2）根据由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，得到四边形的面积等于，结合三角形面积公式得到。（）解：依题意，设直线方程为 1分将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得3分设，所以，=1，故6分（）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于8分因为9分，11分所以时，四边形的面积最小，最小值是 12分考点：本试题主要是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。21.定义在上的函数满足，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区
19、间；（3）如果、满足，那么称比更靠近当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）比更靠近【解析】试题分析：（1）两边求导，可建立关于，的方程组，求得其值，即可得到解析式；（2）求导，对的取值进行分类讨论，即可得到结论；（3）设，从而问题等价于，通过对的取值范围进行分类讨论，利用求导判断单调性求极值，即可得到结论试题解析：（1），即，又，；（2），当时，函数在上单调递增，当时，由得，时，单调递减；时，单调递增，综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）设，在上为
20、减函数，又，当时，当时，在上为增函数，又，时，在上为增函数，当时，设，则，在上为减函数，比更靠近，当时，设，则，在时为减函数，在时为减函数，比更靠近，综上：在，时，比更靠近考点：1利用导数判断函数的单调性求极值；2分类讨论的数学思想22.在直角坐标系中， 曲线的参数方程为为参数） ，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为为实数 （1） 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2） 若曲线与曲线有公共点， 求的取值范围 【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据将曲线的极
21、坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.试题解析：解：（）因为，所以由平方得：又两式相减得，故曲线的普通方程为，另由得的直角坐标方程为 （）如图，当直线过点时，；当直线与相切时，由得由得，从而，曲线与曲线有公共点时， 23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数，得的解集为；（2）由题意得，即，解得。试题解析：（1）依题意，故不等式的解集为（2）由（1）可得，当时，取最小值，对于恒成立，即，解之得，实数的取值范围是点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案。 - 19 - / 19
