1、苏北七市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数 学 I 2020.06.02 一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 1. 若集合 A = 1,0,1,B = 0,2, 则 AB =. 2. 设复数 z 满足 (3 i)z = 10, 其中 i 为虚数单位，则 |z| . 3. 执行下图所示的算法流程图，输出的 k 值为. 4. 某校高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 4 : 4 : 3. 为了解学生对 防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进 行问卷检测. 若高一年级抽取了 20 名学生， 则 n 的值是. 5. 今年我国中医药选出
2、的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注 射液: “三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某 医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的概率 是. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2=4x 的准线是双曲线 x2 a2 y2 2 = 1(a 0) 的左准线，则实数 a 的值是. 7. 已知cos(+)= 5 13,sin = 3 5, ,均为锐角， 则sin=. 8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的 中点截去 8 个一样的四面体得到的 (如图所示).
3、设石凳的体积为 V1， 正方体的体积为 V2，则 V1 V2 =. 9. 已知 x 1,y 1,xy = 10，则 1 lgx + 4 lgy 的最小值是. 10. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn. 若 4S2,S4,2S3成等差数列，且 a2+a3= 2，则 a6 的值是. 11. 海伦 (Heron，约公元 1 世纪) 是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦 公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a,b,c 计算其面积的公式 SABC= p(pa)(pb)(pc)，其中 p =a+b+c 2 . 若 a = 5,b = 6,c = 7，则借助“海
4、伦 公式”可求得ABC 的内切圆的半径 r 的值是. 12. 如图，ABC 为等边三角形，分别延长 BA,CB,AC 到点 D,E,F，使得 AD = BE =CF. 若 # BA = 2# AD，且 DE = 13, 则# AF # CE 的值是. 13. 已知函数 f(x) = k 1 2 x ,x b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线交椭圆于 M, N 两点. 已知椭圆的短 轴长为 22，离心率为 6 3 . (1) 求椭圆的标准方程； (2) 当直线 MN 的斜率为 5 时，求 F 1M+F1N 的值; (3) 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(
5、t,0)，求实数 t 的取值范围. 江苏省 2020 届高考备考系列资料第 3 页 (共 4 页) 19. (本小题满分 16 分) 已知是 an 各项均为正数的无穷数列，数列 bn 满足 bn= anan+k(n N)，其中常数 k 为正整数 (1) 设数列 an 前 n 项的积 Tn= 2 n(n1) 2 ，当 k = 2 时，求数列的 bn 通项公式； (2) 若 an 是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且 b2b1= 4，求数列 bn 的前 2020 项的和； (3) 若 bn 是等比数列，且对任意的 n N，anan+2k= a2 n+k，其中 k 2，试问：an 是等比数列
6、吗？请证明你的结论. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) = alnx x ,g(x) = x+lna ex ，其中 e 是自然对数的底数. (1) 若函数 y = f(x) 的极大值为 1 e ，求实数 a 的值; (2) 当 a = e 时，若曲线 y = f(x) 与 y = g(x) 在 x = x0处的切线互相垂直，求 x0的值； (3) 设函数 h(x) = g(x) f(x)，若 h(x) 0 对 x (0,1) 恒成立，求实数 a 的取值范围. 江苏省 2020 届高考备考系列资料第 4 页 (共 4 页) 苏北七市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数 学
7、 II（附加题） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题 第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。 5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加
8、粗。 21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 4 1: 矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知 m R, = 1 1 是矩阵 MMM = 1m 21 的一个特征向量，求 MMM 的逆矩阵 MMM1 B. 选修 4 4: 坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中，圆 C 的方程为= 2rsin(r 0). 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 x = 3+t y = 1+ 3t (t 为参数). 若直线
9、 l 与圆 C 恒有公共点，求 r 的取值范围 数学 II （附加题）第 1 页 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数 量获取相应奖励. 已知开每扇门相互独立，且规则相同. 开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥匙 (其中有且只有 1 把钥匙能打开门) 中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙 使用后不放回. 若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇 门，转为开
10、下一扇门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束. (1) 设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)； (2) 求恰好成功打开 4 扇门的概率. 23. (本小题满分 10 分) 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y2=2px(p0) 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 E. 过点 F 的直线与抛物 线相交于 A,B 两点，EA,EB 分别与 y 轴相交于 M,N 两点当 ABx 轴时，EA = 2. (1) 求抛物线的方程； (2) 设 EAB 的面积为 S1，EMN 面积为 S2，求 S1 S2 的取值范围. 数学 II （附加题）
11、第 2 页 数学参考答案与评分细则第 1页（共 8页） A1 C1 B A C D E B1 F 高三第三次调研测试数学参考答案数学参考答案 1 1 0 1 2 ，2. .13 54 555 3 5 627 33 65 8 5 6 9 9103211 2 6 3 12 9 2 13(27) ，14 1042)， 注：注：1327k 同样给分同样给分 15 【解】 （1）在ABC 中，因为 5(sinsin) 5sin8sin CB AB abc ， 所以由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得5()()(58 )bc cbaab， 即 2228 5 abcab， 4 分 所以由余弦
12、定理，得 222 4 cos 25 abc C ab 7 分 （2）因为 4 cos 5 C ，(0)C，所以 23 sin1cos 5 CC， 9 分 所以 24 sin22sincos 25 CCC 12 分 因为AC，所以 24 sinsin()sin()sin2 25 BACACC 14 分 注：注：(1)正弦定理正弦定理与与 sinsinsin abc ABC ，写一个不扣分，两者都不写，扣，写一个不扣分，两者都不写，扣 2 分；分；余弦定理余弦定理同样；同样； (2)只要有只要有sin sin()BAC ，就不扣分，否则扣，就不扣分，否则扣 2 分分 16 【证】 （1）在直三棱柱
13、 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC， 因为AC 平面ABC，所以 1 CCAC 2 分 又因为ACBC， 1 BCCCC， 1 BCCC ，平面 11 BCC B， 所以AC 平面 11 BCC B. 4 分 因为AC 平面ACD， 所以平面ACD 平面 11 BCC B 6 分 （2） （方法一）取 AC 的中点 F，连结 DF，EF 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，F是AC的中点， 所以 EFAB，且 1 2 EFAB 8 分 因为 D 是 11 AB的中点，所以 111 1 2 B DAB 又因为在棱柱 111 ABCABC中，AB 11 AB，且 11 ABAB，
14、 所以 EFDB1，且 EF =DB1， 10 分 数学参考答案与评分细则第 2页（共 8页） A1 C1 B A C D E B1 G 所以四边形 1 EFDB是平行四边形，所以 B1EFD 12 分 因为 1 B E 平面 ADC，FD 平面 ADC， 所以 1 B E平面ACD 14 分 （方法二）取 AB 的中点 G，连结 EG，B1G 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，G是AB的中点， 所以 EGAC 因为GE 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 EG平面 ACD 8 分 在棱柱 111 ABCABC中，ABA1B1，且 AB =A1B1， 因为 D 是 11 AB的中点
15、，G 是 AB 的中点， 所以 AGDB1，且 AG =DB1， 所以四边形 1 AGB D是平行四边形，所以 B1GAD 因为 1 BG 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 B1G平面 ACD 10 分 又因为 EG平面 ACD，BGGE ，平面 B1GE， 1 BGGEG， 所以平面 B1GE平面 ACD 12 分 因为 B1E平面 B1GE， 所以 1 B E平面ACD 14 分 注：少一个条件注：少一个条件 2 分全扣分全扣； （1）中没有）中没有“在直三棱柱在直三棱柱 111 ABCABC中中”全扣全扣(突然死亡法突然死亡法) 17 【解】过点O作ODBC于点D，则D为BC的中
16、点 又ABC 为等腰三角形，所以AOD， ，三点共线， 所以AOBAOC 所以 22 1 111 211sin2sin2 222 S， 2 分 2 1 21 2sin2sin0 22 S ， 4 分 注：只要有注：只要有 S1结果的就给结果的就给 2 分；同样只要，有分；同样只要，有 S2结果的就给结果的就给 2 分；分； （1）当 3 时， 21 1 2sinsin2 2 SS A BC O 2 D 数学参考答案与评分细则第 3页（共 8页） 12 2sinsin 3323 5 3 43 答：当 3 时， 21 SS的值为 5 3 43 cm2 6 分 （2）设 21 1 ( )2sin+s
17、in20 22 fSS ， 所以 2 ( )2cos1cos22 cos+cos1f 8 分 令( )0f，得 51 cos 2 ， 51 cos 2 （舍） ， 记 0 51 cos 2 ， 0 0 2 10 分 所以当 0 51 cos 2 时，( )f取得最大值，此时 21 SS的值最大 答：当纪念章最美观时， 51 cos 2 14 分 注：一个答案注：一个答案 1 分，写成分，写成“所以所以”不扣分；答案中没有单位不扣分；答案中没有单位 cm2的，扣的，扣 1 分分 18 【解】 （1）设椭圆的焦距为2c，所以 222 22 2 6 3 b c a abc ， ， ， 解得 2 6a
18、 ， 2 2b ， 2 4c 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 62 y x 3 分 （2）因为直线MN的斜率为5，且过点 2(2 0) F，所以直线MN的方程为5(2)yx 由 2 2 5(2) 1 62 yx y x ， +， 得 2 830270xx，解得 39 24 xx， 所以 53 () 22 M， 59 () 44 N， 所以 22553 693 ()() 42424 MN 6 分 又因为 12121 ()()4 6MFMFNFNFMFNFMN， 所以 11 13 6 4 MFNF 8 分 （3）设 11 ()M xy， 22 ()N xy，又( 0)P t，2t ， 0 (0)
19、， 0 0 () 2 ， ( )f 0 ( )f 极大值 数学参考答案与评分细则第 4页（共 8页） 所以 1122 ()()PMxtyPNxty ， 又因为点P在以MN为直径的圆上，所以PMPN ， 所以 1212 ()()0PM PNxt xty y ， 所以 2 121212 ()0x xt xxty y 10 分 当直线MN倾斜角为0时，(6 0)N ，( 6 0)M，所以6t 当直线MN倾斜角不为0时，设直线MN方程为2xmy 由 2 2 2 1 62 xmy y x ， +， 消去x，得 22 3420mymy()所以 22 122 122 168(3)0 4 3 2 . 3 mm
20、 m yy m y y m ， ， 所以 1212 (2)(2)x xmymy 2 1212 2 ()4m y ym yy， 1212 ()4xxm yy 12 分 所以 22 1212 (1)(2)()440my ymtm yytt， 所以 2 2 2 31210 0 6 tt m t ， 14 分 解得 6 62 3 t或 6 62 3 t（舍去） 综合得，实数t的取值范围是 6 62+ 3 ， 16 分 19 【解】 （1）2n时， 1 1 2n n n n T a T ， 1n 时， 11 1aT，符合上式，(没有验证的，扣没有验证的，扣 1 分分) 2 分 所以 1 2n n a ，
21、Nn ，所以 2 4n nnn ba a ， 所以数列 n b的通项公式为4n n b 3 分 （2）因为 111 1 k ba akd ， 222 (1) 1 (1) k baadkd ， 21 4bb， 所以 2 21 4(1)2(1)2bbkdddkd 因为k N，0d，且d Z，所以(1)2dkd， 所以1d 所以 2 42 1(1) 1k ，则1k 7 分 数学参考答案与评分细则第 5页（共 8页） (只要出现只要出现 1d ， 1k ，就各得，就各得 2 分分) 从而 n an， 1 (1) nnn ba an n ，所以 111 1 n bnn ， 所以 122020 111 b
22、bb 11111 (1)()() 22320202021 12020 1 20212021 9 分 （3）设等比数列 n b的公比为 q，显然 q0 由 nnn k baa ， 2n kn knk baa ， 得， 2kn kn knk nnn k baa q baa 因为 2 2nnkn k aaa ，所以 2n knk nn k aa aa ，即 2 kn k n a q a ， 所以 2 k n k n a q a （正常数） 12 分 由 nnn k baa ， 111nnn k baa ， 得， 111nnn k nnn k baa q baa （*） 14 分 因为 2 k n k
23、 n a q a ，所以 1 1 nkn k nn aa aa ，将 11nnk nn k aa aa 代入（*）式，得到 2 1n n a q a ， 即 1 1 2 n n a q a （正常数） ，所以 n a为公比为 1 2 q的等比数列 16 分 20 【解】 （1）因为 ln ( ) ax f x x ，所以 2 (1ln ) ( ) ax fx x 1 分 令( )0fx，得ex ，因为0a ，列表如下： 所以 lne1 ( )(e) ee a f xf 极大值 ，所以1a 3 分 （2）当ea 时， eln ( ) x f x x ，则 2 e(1ln ) ( ) x fx x
24、 ， 1 ( ) ex x g x ，则( ) ex x g x 曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直， 所以 00 ()()1fxg x ，即 0 00 2 0 e(1ln) 1 ex xx x ， 5 分 x(0 e)，e(e)， ( )fx +0 ( )f x 极大值 数学参考答案与评分细则第 6页（共 8页） 整理得 0 00 eelne=0 x xx设( )eelne x r xxx，则 e ( )(1)exr xx x 因为0x ，所以( )0r x， 所以( )eelne x r xxx在(0) ，上单调递增 7 分 又因为(1)0r，且 0 ()0r
25、x，所以 0 1x 8 分 （3） lnln ( ) ex xaax h x x ，设( )ee x m xx，则( )ee x m x令( )0m x，得1x 列表如下： 所以( )(1)0m xm 最小值 所以ee x x，所以lneln(e ) x x，即1lnxx，即ln1xx 10 分 注：主要出现上面一行内容，就给注：主要出现上面一行内容，就给 2 分分 1 e a时，ln1a又因为01x，所以ln0x 22 1(ln )(1ln )1(1) 1ln ( ) eee xx xaaxx x h x xx 2 1(1) 2 ee x x x x 22 (2)(1) 22 0 e ee
26、x x xx x xx 所以( )h x在(0 1)，上单调递减，所以 1ln ( )(1)0 e a h xh 14 分 当 1 0 e a时， 1ln (1)0 e a h ，ln0a ，e1 a ， 所以 (1e )ln ln ( )ln0 eeee a aaaa a aaaa h aa ， 又( )h x在(0 1)，上图象不间断，所以存在(0 1)t，使( )0h t ，不合题意 综上，a 的取值范围为 1 e ， 16 分 附加题参考答案附加题参考答案 x(1)，1(1)， ( )m x 0 ( )m x 极小值 数学参考答案与评分细则第 7页（共 8页） 21A 【解】因为是矩阵
27、的一个特征向量， 所以存在非零实数，使得， 所以，即解得则 5 分 设，则，即，所以 解得所以 10 分 B 【解】将直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt ， （t 为参数）化为普通方程为320xy 3 分 由2 sin (0)rr，得 2 2sinr， 所以圆 C 的直角坐标方程为 222 ()xyrr 6 分 因为直线l与圆 C 恒有公共点，所以 22 2 ( 3)( 1) r r ，解得2r. 所以实数 r 的取值范围是2) ， 10 分 C 【证】因为1x ，1y ，且4xy，由柯西不等式得， 2 2 (1)(1) 11 y x xy xy 2 2 2 2 11()16 11
28、y x xyxy xy ， 8 分 即 2 2 216 11 y x xy ，所以 2 2 8 11 y x xy . 10 分 22 【解】 （1）X 的可能取值为 1，2，3，4， 1 (1) 6 P X ， 511 (2)= 656 P X ， 5411 (3)= 6546 P X ， 543154321 (4)+ 654365432 P X ，(每个每个 1 分分) X1234 数学参考答案与评分细则第 8页（共 8页） 所以 X 的分布列为 所以 1111 ()12343 6662 E X (1 分) 5 分 （2） （法一）记成功打开一扇门的事件为 A， 则 11154312 (
29、) 66665433 P A ， 8 分 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B， 则 44 5 2180 ( )( ) ( ) 33243 P BC 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243 10 分 （法二）记成功打开一扇门的事件为 A，则 54322 ( )1= 65433 P A 8 分 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B，则 44 5 2180 ( )( ) ( ) 33243 P BC. 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243 (答案不写扣 1 分) 10 分 23 【解】 （1）当ABx轴时，AFp，EFp， 所以22EAp，即2p ，所以抛物线的方程为 2 2
30、 2yx 2 分 （2）设直线AB的方程为 2 2 xmy，由 2 2 2 2 2 yx xmy ， ， 得 2 2 220ymy 设 11 ()A xy， 22 ()B xy，所以 12 2 2yym， 12 2y y ， 直线AE方程为 1 1 2 2 2 2 y yx x 令0x ，得 11 1 1 22 22 22 2 M yy y my x ，同理 22 2 2 22 22 22 2 N yy y my x ， 4 分 所以 1212 1212 2() 22 22 22(2)(2) MN yyyy yy mymymymy ， 6 分 其中 2 1212 2 ()2m y ym yy 222 24222mmm ， 则 12 1 2 1 2 1 2 MN EF yy S S EO yy 2 444m ，因此 1 2 S S 的取值范围为4 ， 10 分 P 1 6 1 6 1 6 1 2
