1、一、归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？二、归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后
2、，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？例2 小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？三、和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千
3、克，求三袋化肥各重多少千克。例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？四、和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍
4、少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？五、差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？六、倍比问题【含义】 有两个已
5、知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？七、相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相
6、对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。八、追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题
7、就叫做追及问题。例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲
8、乙两站的距离。例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。九、植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽
9、，一共要栽多少棵垂柳？例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？十、年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。例1 爸爸今年35岁，亮
10、亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？十一、行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】 （顺水速度
11、逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速2逆水速逆水速水速2逆水速船速2顺水速顺水速水速2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 32081525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？解由
12、题意得 甲船速水速3601036甲船速水速3601820可见 （3620）相当于水速的2倍，所以， 水速为每小时 （3620）28（千米）又因为， 乙船速水速36015，所以， 乙船速为 36015832（千米）乙船顺水速为 32840（千米）所以， 乙船顺水航行360千米需要360409（小时）答：乙船返回原地需要9小时。例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？解 这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（57624）31656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？1656（57624）2.
13、76（小时）列成综合算式（57624）3（57624）2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76小时。十二、列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行
14、多少米？ 90032700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米）答：这列火车长300米。例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是2分5秒125秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200米桥长），所以，桥长为8125200800（米）答：大桥的长度是800米。例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）
15、米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为（225140）（2217）73（秒）答：需要73秒。例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150（223）6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的
16、时间内行驶了（20001250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（20001250）（8858）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为 25581250200（米）答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。十三、时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与
17、分针重合？解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那
18、么分针就要比时针多走（5415）格。再根据1分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。（5415）（11/12） 6（分）（5415）（11/12） 38（分）答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56）（11/12） 33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。十四、盈亏问题【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题
19、。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？ 3121147（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修30
20、0米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（26083004）（300260）22（天）这条路全长为 300（224）7800（米）答：这条路全长7800米。例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（300）（4540）6（辆）（2）有多少人？ 40630270（人）答：有6 辆车，有270人。十五、工程问题【含义】
21、 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做
22、需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：两队合做需要6天完成。例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8
23、），二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（个）（2）这批零件共有多少个？7（1/61/8）168（个）答：这批零件共有168个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7所以，这批零件共有 241/7168（个）例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必
24、须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做还需要（6052）（64）5（小时）答：还需要5小时才能完成。例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就
25、是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（145），2个进水管15小时注水量为（1215），从而可知每小时的排水量为 （1215145）（155）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 1451515又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 12，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？ （1512）（12）8.59（
26、个）答：至少需要9个进水管。十六、正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解
27、决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度1（13）14312现已修长度总长度1（12）13412比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答： 这条公路总长3600米。例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分
28、钟可以做X应用题 则有 28491X28X914 X91428 X13答：91分钟可以做13道应用题。例3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有 2436X1536X2415 X10答：10天就可以看完。例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A252036B16解 由面积宽长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A36
29、2016 25B2016解这两个比例，得 A45 B20所以，大矩形面积为 453625202016162答：大矩形的面积是162.十七、按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是
30、多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 474845140一班植树 56047/140188（棵）二班植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？解 34512 603/1215（厘米）604/1220（厘米）605/1225（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
31、例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到1/21/31/996296217 179/179176/176 172/172答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？人 数80人一共多少人？对应的份数12881221解 80（128）（81221）820（人
32、）答：三个车间一共820人。十八、百分数问题【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之
33、几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了10%，剩下90%。例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以 （525420）5250.220%或者 14205250.220%答：男职工人数比女职工少20%。例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几
34、？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此（525420）4200.2525%或者 52542010.2525%答：女职工人数比男职工多25%。例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解 （1）男职工占 420（420525）0.44444.4%（2）女职工占 525（420525）0.55655.6%答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100%合格率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤人数应出勤人
35、数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%十九、“牛吃草”问题【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】 草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1 一块草地，10头牛20天可以
36、把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解 草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以11020原有草量20天内生长量同理 11510原有草量10天内生长量由此可知 （2010）天内草的生长量为110201151050因此，草每天的生长量为 50（2010）5（2）求原有
37、草量原有草量10天内总草量10内生长量11510510100（3）求5 天内草总量5 天内草总量原有草量5天内生长量10055125（4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125525（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1
38、）求每小时进水量因为，3小时内的总水量1123原有水量3小时进水量10小时内的总水量1510原有水量10小时进水量所以，（103）小时内的进水量为 1510112314因此，每小时的进水量为 14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233小时进水量362330（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（172），所以17人淘完水的时间是30（172）2（小时）答：17人2小时可以淘完水。二十、鸡兔同笼问题【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知
39、鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数
40、共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解 假设35只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡23只，有兔12只。例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数（9121
41、6）（3512）10（亩）答：白菜地有10亩。例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本）日记本数451530（本）答：作业本有15本，日记本有30本。例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？解 假设100只全都是鸡，则有兔数（210080）（42）20（只）鸡数1002080（只）答：有鸡80只，有兔20只。例5 有100个馍100个和尚吃，
42、大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？解 假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）75（人）共有大和尚 1007525（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。二十一、方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）
43、4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解 10（1032）84（人）答：
44、全方阵84人。例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解 （1）中空方阵外层每边人数524114（人）（2）中空方阵内层每边人数28416（人）（3）中空方阵的总人数141466160（人）答：这队学生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数4913（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只）（3）原有棋子数77940（只）答：棋子有40只。例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵
