1、一、黎曼积分1. 设函数则的一个原函数是( B ).(A) （B）(C) (D) 2. 设函数,则( D ).(A) 为的一个原函数. (B) 在上可微,但不是的原函数.(C)在上不连续 (D) 在上连续,但不是的原函数.(注: 因为是的第一类跳跃间断点,因而不可能在包括点在内的区间上有原函数,因此(A)不正确.当有第一类间断点,但在与内连续时,函数在区间内连续,因此(C)也不正确,而导函数不可能有第一类间断点,故(B)不正确,因而正确选项为(D).3. 设函数则在内( A ).(A) 不连续且不可微, 可微,且为的一个原函数.(B) 不连续,不存在原函数,因而不是的原函数.(C) 与均为可微
2、函数,且为的一个原函数.(D) 连续且.(注: 可以验证为的第二类间断点,且为的一个原函数). 4. 的全体原函数为( C )(A) (B) (C) (D) 5. 设,则与的关系是( A )(A) , (B) , (C) , (D) 不确定.(注: 令,即)6（ C ）（A）；（B）；（C）；（D）。7. 已知,则( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .8. 若,则( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .9. 设是的一个原函数,则( B )(A) ; (B); (C) ; (D) .10. 若是的一个原函数,则正确的是( B )(A) ; (B) ; (C) ;
3、 (D) .11. ( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .12. 若是函数的原函数,那么的另一个原函数是( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .13. 若和是函数的任意两个原函数,则( B )成立,其中是任意常数.(A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上都不对.14. ( D )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .15. 设,则( B )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .16. 设,为可导函数且,又,则( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .17. 设,则与的关系是( A )(A) , (B) , (C) , (D
4、) 不确定.18. 设,则与的关系是( B )(A) , (B) , (C) , (D) 不确定.19*. 已知,则(D) (A) (B) (C) (D) 20. 积分的值为(A)(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定21. 积分的值为(B)(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定22. 积分的值为(A)(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定23 积分(D)(A) (B) (C) 1 (D) 0(注: 因为与在上于所对应的积分和式可以取成绝对值相等,符号相反.另外,也可用变量替换证明)24. 把时的无穷小量排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小
5、量,则正确的排列次序是(B)(A) (B) (C) (D) 25. 已知连续曲线关于点对称,则对,( D )(A), (B) , (C) , (D)0.(注: 由初等函数的性质可知,是关于变量的奇函数.事实上.令,曲线关于点对称,则,即为的奇函数,因此对,均有).26. 设函数在上连续且无零点,则方程在内根的个数恰为( B )(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3 .(注: 由于在上连续,则在上连续且可导,.因为在上连续无零点,所以在上不变号,再由积分的保号性,必有,于是在内至少有一个零点.另外,有.再次由不变号可知,在上定号,因此,在上单调,在内最多有一个零点.) 27. 设为
6、可导奇函数,为的反函数,则(A)(A) (B) (C) (D) .(注: 令,令,则,于是其中).28. 设在上连续,则极限( D )(A) (B) (C) 0 (D).(注: 方法1 设为的一个原函数,则方法2 令,令,则,令,并应用洛比达法则,得)29. 设在上可导,则(B)(A) (B) (C) (D) .(注: 原式=). 30. 极限(B)(A) 1 (B) 0 (C) (D) 不存在(注: 由初等函数的性质可知,存在,使当,且时,有由积分的保序性及比较性质得到)31* 设在上连续,对,.则由已知函数表示出的(C)(A) (B) (C) (D) (注: 因连续,则可导且,于是,用数学
7、归纳法可得)32. 设为上的连续函数,积分,则(A)（A） (B) (C) (D) (注: 令,则,于是 33. 极限(A)(A) 0 (B) 1 (C) (D) 不存在(注: ) 34. 设存在连续的导数,且当时,与是同阶无穷小量,则(C) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(注: 因为,所以不等于零或无穷大,并注意到连续且,故)35. 设则函数在上(B)(A) 不连续 (B) 连续但不处处可导 (C) 可导,但导函数不一定连续 (D) 导函数连续36. 设为上的连续函数,则 (D)(A) (B) (C) (D) (注: 令,所以)二、广义积分问题37. 设,则在区间上( C )
8、(A) 黎曼可积,广义积分发散 (B) 黎曼可积,广义积分收敛(C) 黎曼不可积,广义积分收敛 (D) 黎曼不可积,广义积分发散.38. 设与为实常数,广义积分收敛性的结论是(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 收敛性与参数的取值有关 (D) 发散(注: ,故广义积分绝对收敛)三、定积分的应用39. 曲线与轴所围部分的面积为(B)(A) (B) (C) (D) 40. 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(A) (B) (C) (D) (注: 双纽线方程的极坐标形式为.因为区域关于轴和轴都对称,所以)四、数项级数 41. 若,且级数收敛,则(A)(A) 收敛 (B) 发散
9、(C) 不定 (D) 敛散性与的正负有关(注: 由收敛,记,则其中,则.所以收敛)42. 级数(常数) (C)(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(注: 因为,而收敛,所以收敛,故原级数绝对收敛)43. 设常数,则级数(C)(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛或发散与的取值有关44. 设,考虑以下四个级数(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,则下列选项中错误的是(D)(A) 若(2)收敛,则(1),(3),(4)必然均收敛(B) 若(3),(4)收敛,则(1),(2)必然均收敛(C) 若(1),(3)收敛,则(2),(4)必然均收敛
10、(D) 若(3),(4)发散,则(1),(2)必然均发散 45. 设级数,则必然收敛的级数为(D)(A) (B) (C) (D) (注: 取,则(B),(C)均为发散;取,则(A)发散;又,都收敛,由收敛级数的运算性质,知(D)正确) 46. 已知级数,则级数(C)(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(注: ,.所以)47. 设常数,则级数(B)(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与的取值有关(注: 是绝对收敛级数, 为条件收敛级数,故其和为条件收敛的级数) 48. 设为常数,则级数(C)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与的
11、取值有关(注: 绝对收敛,而发散,由级数运算性质得,应选(C) 49. 设,且,则级数(C)(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定(注: .又由知,所以,即原级数收敛.又因为,且级数发散,由比较判别法可得也发散,故原级数条件收敛) 50. 设常数,且级数收敛,则级数(C)(A)发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(注: 由平均值不等式得,而与均收敛,故原级数绝对收敛) 51. 设,则有(C)(A) 与都收敛 (B) 与都发散(C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛(注: ,且,故交错级数收敛,而,所以发散)52. 设,级数收
12、敛,则级数(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定(注: ,收敛,故该级数绝对收敛) 53. 设常数,级数收敛,则级数(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关(注: 首先,由正项级数收敛,则级数的部分和序列单调增加且有上界,因此收敛.其次,由正项级数的比较判别法,考察,所以级数绝对收敛,故选(A) 54. 设参数,则(B)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与参数的取值有关(注: 单调递减趋于零,因此条件收敛)55. 设函数在区间上连续,则级数(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D
13、) 收敛性与的增减性有关(注: 由积分中值定理, ,而收敛)56. 设,收敛,则(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定(注: )57. 级数(B)(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 无法判断 58. 设有三阶连续导数,常数,且,则级数 (B)(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 不定(注: 在与之间.由于有三阶连续导数,则存在,使在某邻域内有而收敛,故应选(B)59. 设,则极限(A)(A) (B) (C) 不存在,也不为 (D) (注: 因为)五、幂级数60. 设幂级数时条件收敛,则其在处(A)(A) 发散 (B) (条
14、件收敛) (C) 绝对收敛 (D) 敛散性无法确定(注: 幂级数的条件收敛点只能在收敛区间端点,于是该级数收敛半径为为收敛区间的中点,位于收敛区间之外.由阿贝尔定理知,此幂级数在处发散). 61. 若的收敛半径为1,记级数的收敛半径为,则必有(C)(A) (B) (C) (D) 不能确定(注: 取,则的收敛半径为,而级数的收敛半径也是1,考虑,则的收敛半径,故选(C)62. 设幂级数在点处条件收敛,则幂级数在点的收敛情况是(C)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 与参数取值有关(注: 显然,级数的收敛半径为1,又级数在处为条件收敛,故必为收敛区间的端点.由,可知必在收敛域
15、之外,与的取值当然无关)63. 若级数在处条件收敛,则级数(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定(注: 条件收敛处只能在收敛区间的端点,而该级数收敛区间的中点为,由此得知其收敛半径,相应于在处的数项级数,而,所以级数绝对收敛)64. 级数的和为(D)(A) (B) (C) (D) 65. 级数的和为(C)(A) (B) (C) (D) 66. 级数的和为(A)(A) (B) (C) (D) (注: 取,收敛域为,于是)67. 级数的和为(B)(A) (B) 0 (C) (D) (注: )68. 级数的和为( D ).(A); (B); (C); (D).69. 级数的和为( C ).(A); (B); (C); (D).六、傅立叶级数 70. 若将函数展开成周期为的正弦级数,则和函数在处的值为(C)(A) 0 (B) (C) (D) 1(注: 对此类问题,无需做傅立叶级数展开计算,直接通过的奇延拓即可判断和函数的取值.在一个周期内的奇延拓函数为由于周期,所以,而为的第一类间断点,应为在处左右极限之和的一半,而,所以)
