1、江苏省20XX年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（四）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、下列极限存在的是（）A、B 、C 、D 、2、函数在则处（）A、连续 B 、不连续 C 、可导 D 、可微3、函数在闭区间上的最大值为（）A、B、C、D、4、不定积分（）A、B、C、D、5、方程的特解形式为（）A、B、C
2、、D、6、直线与平面的的位置关系是（）A、垂直B、平行 C、夹角为D、夹角为二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、已知为常数，则。8、。9、的拐点是 。10、定积分。11、幂级数的收敛域是_。12、设，则_。三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限。14、已知摆线的参数方程，求。15、求不定积分。16、计算定积分。17、计算，其中由在第一象限所围的区域。18、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求。19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。20、求过点，平行于直线且垂直于平面的平面方程。四、证明
3、题（每小题9分，共18分）21、证明：当时，。22、设在上有连续导数，且，证明：五、综合题（每小题10分，共20分）23、 计算与直线之间位于第一象限内的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积。24、在半径为的半圆内作内接梯形，何时面积最大？江苏省20XX年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（四）高等数学一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、下列极限存在的是（）A、 B 、C 、 D 、解析：求极限时，先判断极限类型，若是或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。不过，在求极限时
4、应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。极限存在是指它的极限为一个有限的数值，无穷或振荡均属极限不存在情况。（最高次系数比值）,故本题答案选B2、函数在则处（）A、连续 B 、不连续 C 、可导 D 、可微解析：本题考查可导与连续之间的关系。也可从几何直观上加以解释。连续是指曲线在该点没有断开，可导是在连续的基础上考查曲线在该点的光滑性（“尖”点处没有导数）。连续是可导的必要而非充分条件。故本题答案选A3、函数在闭区间上的最大值为（）A、 B、 C、 D、解析：本题考查闭区间上连续函数最值求法。先求区间内部的可能极值点（驻点、不可导点
5、），再将它们所对应的函数值与区间端点的函数值进行比较即可。又，在闭区间上单调递增，故在处取得最大值，最大值，故本题答案选C4、不定积分（）A、B、C、D、解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。求的不定积分就是找那些导数为的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。,故本题答案选B5、方程的特解形式为（）A、B、C、D、解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。（1）齐次方程，其中为常数。求解步骤：1）特征方程，求根。2）互异实根，；，。（2）非齐次方程，通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解。第一种：，其中表示次多项式。解结构：齐次
6、方程通解特解。特解形式设定如下： （1）识别；（2）考查作为特征根的重数个数；（3）特解可设为，其中表示次多项式。第二种：，其中，表示次多项式。解结构：齐次方程通解特解。特解形式设定如下： （1）识别；（2）计算，和特征根相等个数，。（3）特解可设为，其中为次多项式。其中故本题答案为C:，其中待定系数。6、直线与平面的的位置关系是（）A、垂直 B、平行 C、夹角为D、夹角为解析：考查直线与平面之间的位置关系，主要是平面的法向量与直线的方向向量之间的关系。直线的方向向量为，平面的法向量为；显然，即，故直线平行于平面或在平面内。又直线上点不满足平面方程，所以，该直线平行于已知平面。故本题答案选B二
7、、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、已知为常数，则。解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限，只需比较分子与分母的次数即可，先判断极限类型，若是或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。；故,故本题答案选B8、。解析：该题考查微分的形式不变性，常规凑微分方法。9、的拐点是 。解析：曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在的点或不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。令，得，此时。又时，；时，。故拐点为。10、定积分。解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的
8、积分性质以及定积分的几何意义。；这里因为函数是奇函数，故积分为零，积分表示半径为的上半圆的面积。11、幂级数的收敛域是_。解析：对于幂级数，如果，则收敛半径，收敛区间为。再将代入级数具体考查。若幂级数缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将当作常量转化为常数项级数处理。本题，所以，时，级数收敛，时，级数发散，故收敛域为。对于幂级数只需作变量代换即可。12、设，则_。解析：由方程决定隐函数。求偏导公式为：，（也可方程或等式两边直接对某个变量求偏导，将看作该变量的一元函数，另外一个变量当作常量），。三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限。解析：（当时，
9、与为等价无穷小量，与为等价无穷小量）14、已知摆线的参数方程，求。解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式15、求不定积分。解析：该题使用凑微分法，是经常遇见的固定类型=16、计算定积分。解析：该题使用第二类换元法，作三角代换令，且时，；时，；所以17、计算，其中由在第一象限所围的区域。解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；否则，往
10、往用直角坐标计算。 17题1。17、解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿-莱布尼兹公式：，所以18、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求。解析：该题型是几乎每年必考，需要认真掌握。第一步：变量的关系网络图其中1，2分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。解析：导数的几何意义表示曲线在该点切线的斜率，由此先建立微分方程。一阶线性非齐次方程 的通解为本题且，即， 通解 由于 得所以，曲线方程为20、求过点，平行于直线且垂直于平面的平面方程。解
11、析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量。平面上的定点已知，直线的方向向量，平面的法向量；由条件容易得到，故可取平面点法式方程为：，即。四、证明题（每小题9分，共18分）21、证明：当时，。解析：函数不等式的证明方法很多，其中利用单调性证明不等式是经常使用的一种方法。可使用单调性证明的问题通常形式为或时，证明；通常设辅助函数，证明是单调的。设，当时，是严格单调递减的，即。22、设在上有连续导数，且，证明：。解析：定积分是一个值，计算的基本方法是牛顿-莱布尼兹公式。本题被积函数为抽象函数，一般使用定积分的分部积分法。五、综合题（每小题10分，共20分）23、 计算与直线
12、之间位于第一象限内的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积。解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。首先画出图形，根据图形，写处体积微元则由题意，可得24、在半径为的半圆内作内接梯形，何时面积最大？解析：将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优化问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。分析问题的流程为：（1）适当假设求解变量；（2）函数关系确定；（3）求解，交待最大、最小的理由；（4）合理分析。注：第二步是整个问题的关键步骤，中的理由部分可能是容易疏忽之处。设上底长度为，即，如图所示，由解得（舍去）因为为唯一驻点，即为所求（或）此时。
