1、第第4.24.2节节 中心极限定理中心极限定理二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、动画演示一、动画演示一、基本定理一、基本定理定理定理4.6（林德贝格（林德贝格-列维中心极限定理）列维中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布
2、函数定理定理4.64.6表明表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxte).(d2122 从而知当n充分大时，近似服从正态分布 nnXnkk 1)1,0(N nkkX1近似服从正态分布),(2 nnN xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(d21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证明证明 根据第三章第二节例题可知根据第三章第二节例题可知,1 nkknX 分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相
3、互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理4.8(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理),)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk 根据定理根据定理4.6得得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxte).(d2122 定理定理4.84.8表明表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大充分大时时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的
4、逼近正态分布是二项分布的逼近.中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实.二、典型例题二、典型例题.,),(,),(的的近近似似值值求求记记上上服服从从均均匀匀分分布布且且都都在在区区间间机机变变
5、量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随个个噪噪声声电电压压一一加加法法器器同同时时收收到到105VPVV1002021kV20201kkk 解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk由定理由定理4.6,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),例例12012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02d2112tet)387.0(1 .348.0 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,
6、已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,).31,90000(bX且且例例2所求概率为所求概率为3050029500 XPkkkk 9000
7、03050029501323190000分布律为分布律为kXP kkk 90000323190000.90000,1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(30500)1(295002221pnpnppnpnpdtet )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 三、小结三、小结三个中心极限定理三个中心极限定理 林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限
8、定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn:6 June 1857 in Yaroslavl,RussiaDied:3 Nov 1918 in Odessa,Russia德莫佛资料德莫佛资料Abraham de MoivreBorn:26 May 1667 in Vitry(near Paris),F
9、ranceDied:27 Nov 1754 in London,England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn:23 March 1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5 March 1827 in Paris,France 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年
10、内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017.0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例32001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分
11、别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求求参加会议的家长数参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名名家长来参加会议的学生数不多于家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解,)400,2 ,1()1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例4 的分布律为的分布律为则则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易知易知)400,2,1(,19.0)(kXDk ,4001 kkXX而
12、而根据根据定理定理4.6 19.04001.1400 4001 kkX随机变量随机变量 19.04001.1400 X),1,0(N近似服从正态分布近似服从正态分布 19.04001.140045019.04001.1400 XP450 XP于是于是 147.119.04001.14001 XP;1357.0)147.1(1 ,)2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8.0,400(bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,340 YP 2.08.04008.04003402.08.04008.0400 YP 5.22.08.04008.040
13、0 YP.9938.0)5.2(.,1,),2,1()1,1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证),2,1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE)(iXD,31 22)()()(iiiYEYEYD 24)()(iiYEXE 例例5 1144d21)(iiixxXE因为因为,51 23151)(iYD所以所以,454 ,21相互独立相互独立因为因为nXXX .,21相互独立相互独立所以所以
14、nYYY根据根据定理定理4.6 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故,0|1,),2,1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量李雅普诺夫李雅普诺夫定理定理4.7*(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnn xtxte).(d2122 定理定理4.74.7表明表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理下面介绍的定理4.8是定理是定理4.6的特殊情况的特殊情况.
