1、1 江苏省苏北七市 2020 届高三第三次调研考试 数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A1，0，1，B0，2，则 AB 2设复数 z 满足(3i)z10，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是 3右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 4某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的 掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测若高一年级抽取了 20 名学生，则 n 的值是 5 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效
2、果， 功不可没 “三药” 分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿 败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 概率是 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y24x 的准线是双曲线 22 2 1 2 xy a (a0)的左准 线，则实数 a 的值是 7已知 5 cos() 13 ， 3 sin 5 ，均为锐角，则sin的值是 8公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的 四面体得到的 （如图所示） 设石凳的体积为 V1， 正方体的体积为 V2， 则 1 2 V V
3、 的值是 9已知 x1，y1，xy10，则 14 lglgxy 的最小值是 10已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 2 4S， 4 S， 3 2S成等差数列，且 23 2aa， 2 则 6 a的值是 11海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海 伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的 公式 SABC()()()p pa pb pc，其中 2 abc p ，若 a5，b6，c7， 则借助“海伦公式”可求得ABC 的内切圆的半径 r 的值是 12如图，ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，
4、AC 到点 D，E，F，使得 ADBE CF若BA2AD，且 DE13，则AF CE的值是 13已知函数 2 2 (1), 0 ( ) 2 , 0 kx f xx xk x ，若函数( )()( )g xfxf x有且仅有四个不同的 零点，则实数 k 的取值范围是 14 在平面直角坐标系xOy中， 过点P(2， 6)作直线交圆O： x2y216于A， B两点， C( 0 x， 0 y)为弦 AB 的中点，则 22 00 (1)(3)xy的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分
5、） ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 若 5(sinCsinB)5sinA8sinB abc （1）求 cosC 的值； （2）若 AC，求 sinB 的值 16 （本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC， D， E 分别是 A1B1， BC 的中点求证： （1）平面 ACD平面 BCC1B1； （2）B1E平面 ACD 3 17 （本题满分 14 分） 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1cm，2cm 的两个同心圆的圆 心，等腰ABC 的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直
6、线 BC 的同侧 若线段 BC 与劣弧BC所围成的弓形面积为 S1， OAB 与OAC 的面积之和为 S2， 设BOC2 （1）当 3 时，求 S2S1的值； （2）经研究发现当 S2S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的 值 （求导参考公式：(sin2x)2cos2x，(cos2x)2sin2x） 18 （本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线交椭圆于 M，N 两点已知椭圆的短轴长为2 2，离心率为 6 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线 MN 的斜
7、率为5时，求 F1MF1N 的值； 4 （3）若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(t，0)，求实数 t 的取值范围 19 （本题满分 16 分） 已知 n a是各项均为正数的无穷数列，数列 n b满足 nnn k baa (nN)，其中常数 k 为正整数 （1）设数列 n a前 n 项的积 (1) 2 2 n n n T ，当 k2 时，求数列 n b的通项公式； （2）若 n a是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且 21 bb4，求数列 1 n b 的前 2020 项的和； （3） 若 n b是等比数列， 且对任意的 nN， 2 2nnkn k aaa ， 其中 k2
8、， 试问： n a 是等比数列吗？请证明你的结论 20 （本题满分 16 分） 已知函数 ln ( ) ax f x x ， ln ( ) ex xa g x ，其中 e 是自然对数的底数 （1）若函数( )f x的极大值为 1 e ，求实数 a 的值； （2） 当 ae 时， 若曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直， 求 0 x的值； 5 （3）设函数( )( )( )h xg xf x，若( )h x0 对任意的 x(0，1)恒成立，求实数 a 的 取值范围 6 江苏省七市 2020 届高三第三次调研考试 数学附加题 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，
9、请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知 mR， 1 1 是矩阵 M 1 2 1 m 的一个特征向量，求 M 的逆矩阵 1 M B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C 的方程为2 sinr(r0)以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt (t 为参数)若直线 l 与圆 C 恒 有公共点，求 r 的取值范围 C选修 45：不等式选讲 已知 x1，y1，且 xy4，求证： 22 8 11 yx xy 7 【必做题】第 22 题、第 23
10、 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量 获取相应奖励已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥 匙（其中有且只有 1 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放 回若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇 门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束 （1）设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)； （2）求恰好成功打
11、开 4 扇门的概率 23 （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线与 x 轴的 交点为 E过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，EA，EB 分别与 y 轴相交于 M，N 两 点，当 ABx 轴时，EA2 （1）求抛物线的方程； （2）设EAB 的面积为 S1，EMN 面积为 S2，求 1 2 S S 的取值范围 8 江苏省苏北七市 2020 届高三第三次调研考试 数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A1，0，
12、1，B0，2，则 AB 答案：1，0，1，2 考点：集合的并集运算 解析：集合 A1，0，1，B0，2， AB1，0，1，2 2设复数 z 满足(3i)z10，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是 答案：1 考点：复数 解析：(3i)z10， 3 1010 i 1010 z ， 22 3 103 10 ()()1 1010 z 3右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 答案：5 考点：程序框图 解析：k4 时， 2 40kk，k5 时， 2 450kk，故输出的 k 的值是 5 4某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的 掌握情况，现采用分层抽样的方
13、法抽取 n 名学生进行问卷检测若高一年级抽取了 20 名学生，则 n 的值是 答案：55 考点：分层抽样 解析： 20 (443)55 4 9 5 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没 “三药” 分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿 败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 概率是 答案： 3 5 考点：随机事件的概率 解析：P 11 33 2 6 3 5 C C C 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y24x 的准线是双曲线 22 2 1 2 xy a (a
14、0)的左准 线，则实数 a 的值是 答案：2 考点：抛物线与双曲线的简单性质 解析： 2 2 1 2 a a ，解得 a2 7已知 5 cos() 13 ， 3 sin 5 ，均为锐角，则sin的值是 答案： 33 65 考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正弦公式 解析：，均为锐角，(0，)，从而sin()0，cos0， 5 cos() 13 ， 3 sin 5 ， 12 sin() 13 ， 4 cos 5 ， sinsin()sin()coscos()sin 1245333 13513565 8公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样的 10 四面
15、体得到的 （如图所示） 设石凳的体积为 V1， 正方体的体积为 V2， 则 1 2 V V 的值是 答案： 5 6 考点：空间几何体的体积 解析：设正方体的棱长为 2a， 则 V28a3， V1V2 2333 11420 88 3233 aaaaa， 故 3 1 3 2 20 5 3 86 a V Va 9已知 x1，y1，xy10，则 14 lglgxy 的最小值是 答案：9 考点：基本不等式 解析：xy10，lglg1xy， 1414lg4 lg () ( lglg)5 lglglglglglg yx xy xyxyxy 52 49 ，当且仅当 1 3 10x 时取“” 10已知等比数列
16、n a的前 n 项和为 n S，若 2 4S， 4 S， 3 2S成等差数列，且 23 2aa， 则 6 a的值是 答案：32 考点：等比数列的简单性质，等差中项 解析： 2 4S， 4 S， 3 2S成等差数列，2 4 S 2 4S 3 2S，2q ， 11 又 23 2aa，则 2 2a ， 4 62 32aa q 11海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海 伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的 公式 SABC()()()p pa pb pc，其中 2 abc p ，若 a5，b6，c7， 则借助
17、“海伦公式”可求得ABC 的内切圆的半径 r 的值是 答案： 2 6 3 考点：解三角形 解析： 567 9 22 abc p ，SABC9 (9 5) (96) (97)6 6， 22 6 62 6 5673 S r abc 12如图，ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，AC 到点 D，E，F，使得 ADBE CF若BA2AD，且 DE13，则AF CE的值是 答案： 9 2 考点：平面向量数量积 解析：易知：DEF 也为等边三角形，设 ADx，则 BD3x， BDE 中，由余弦定理得： 22 13103xx，解得 x1， 故 BD3，则 9 AF CE3 3 cos120 2 13
18、已知函数 2 2 (1), 0 ( ) 2 , 0 kx f xx xk x ，若函数( )()( )g xfxf x有且仅有四个不同的 零点，则实数 k 的取值范围是 12 答案：(27，) 考点：函数与方程 解析： 2 2 2 , 0 ( )4 , 0 2 , 0 k xk x x g xk x k xk x x ， 当 k0 时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故 k0， 观察解析式，可知函数( )g x有且仅有四个不同的零点， 可转化为 2 2 ( ), 0 k g xxk x x 有且仅有两个不同的零点， 当 k0，函数( )g x在(0，)单调递增，最多一个零点，不符题意，舍；
19、当 k0， 3 2 2() ( ), 0 xk g xx x ， x (0， 1 3 k) 1 3 k ( 1 3 k，) ( )g x 0 ( )g x 单调递减 单调递增 要使( )g x在(0，)有且仅有两个不同的零点， 则 12 33 min1 3 2 ( )()0 k g xg kkk k ，解得 k27， 综上所述，实数 k 的取值范围是(27，) 14 在平面直角坐标系xOy中， 过点P(2， 6)作直线交圆O： x2y216于A， B两点， C( 0 x， 0 y)为弦 AB 的中点，则 22 00 (1)(3)xy的取值范围是 答案：10，42) 考点：直线与圆综合 解析：C
20、 在以 OP 为直径的圆： 22 (1)(3)10xy上，且 C 在圆 O 内， 13 22 22 46 6 (1)(3)10 5 16122 6 5 x xy xy y 或 46 6 5 122 6 5 x y 22 46 6122 6 (1)(3)42 55 ， 数形结合知，所求取值范围是10，42) 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 若 5(sinCsinB)5sinA8sinB abc （1）求 cosC
21、的值； （2）若 AC，求 sinB 的值 解： （1）由正弦定理： sinsinsin abc ABC ，得 5()58cbab abc ， 整理得：5(a2b2c2)8ab，故由余弦定理： 222 4 cos 25 abc C ab ； （2）由（1） 4 cos 5 C ，又 C 为ABC 内角，故 sinC 2 3 1 cos 5 C， AC，则 24 sinsin()sin()sin22sincos 25 BACACCCC 16 （本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC， D， E 分别是 A1B1， BC 的中点求证： （1）平面 ACD平面 BC
22、C1B1； （2）B1E平面 ACD 14 证明： （1）直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，又 AC底面 ABC 故 ACCC1，又因为 ACBC，CC1BCC CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1 所以，AC平面 BCC1B1，又因为 AC平面 ACD 所以，平面 ACD平面 BCC1B1； （2）取 AC 中点 F，连结 EF，DF 因为 E，F 分别为 BC，AC 中点 所以，EFAB，EF 1 2 AB 三棱柱 ABCA1B1C1中，AB/ A1B1，ABA1B1 又因为 D 为 A1B1中点，所以 B1DAB，B1D 1 2 AB 所以，EFB1D，EF
23、B1D 因此，四边形 B1DFE 为平行四边形 所以 B1E/DF，又因为 DF平面 ACD，B1E平面 ACD 所以，B1E平面 ACD 17 （本题满分 14 分） 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1cm，2cm 的两个同心圆的圆 心，等腰ABC 的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直线 BC 的同侧 若线段 BC 与劣弧BC所围成的弓形面积为 S1， OAB 与OAC 的面积之和为 S2， 设BOC2 （1）当 3 时，求 S2S1的值； （2）经研究发现当 S2S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的 值 （求导
24、参考公式：(sin2x)2cos2x，(cos2x)2sin2x） 15 解：由题意知：BOC2(0, )，故(0,) 2 1 11 21 1sin2sincos 22 SOB OC 2 11 (2cos )2sin (2cos )2sinsincos 22 SBCOBOBOB （1） 3 时， 1 3 34 S ， 2 5 3 4 S ，故 21 3 3 23 SS ， 答：当 3 时，求 S2S1的值为 3 3 23 (cm2)； （2） 21 2sinsin2SS，(0,) 2 令( )2sinsin2f，(0,) 2 2 ( )4 cos2 cos3f 令( )0f，得 113 cos
25、 4 （舍负） ： 记 0 113 cos 4 ， 0 (0,) 2 (0， 0 ) 0 ( 0 ， 2 ) ( )f 0 ( )f 单调递增 极大值 单调递减 16 故 0 = ，即 113 cos 4 时，( )f最大，即 S2S1的值最大， 答：纪念章最美观时，cos的值为 113 4 18 （本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线交椭圆于 M，N 两点已知椭圆的短轴长为2 2，离心率为 6 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线 MN 的斜率为5时，求 F1MF1N
26、的值； （3）若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(t，0)，求实数 t 的取值范围 解： （1）设焦距 2c， 2222 22 2 6 6 3 b baca c a ，2b， 故椭圆的标准方程为： 22 1 62 xy ； （2）由（1）知，c2，则 F2(2，0) 22 9 5(2)4 536 4 x yx xy y 或 3 2 5 2 x y 17 即 9535 ( ,),( ,) 4422 MN，或 9535 ( ,),( ,) 4422 NM， 因此， 2222 11 953513 6 ( 2)(0)( 2)(0) 44224 FMFN ； （3）MN 斜率不存在时，M
27、N：x2，MN 2 2 3 ， 以 MN 为直径的圆方程为： 22 2 (2) 3 xy 其与 x 轴相交的右焦点为( 6 2 3 ，0)，即 6 2 3 t ； MN 的斜率存在时，设 MN：(2)yk x，M( 1 x， 1 y)，N( 2 x， 2 y) 2222 22 (2) (31)121260 36 yk x kxk xk xy 2 24(1)k ， 2 1,2 2 6 31 k x k 故 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k x x k ， 则 2 2 12121212 2 2 (2) (2)2()4 31 k y yk xk xkx xx
28、x k P 在以 MN 为直径的圆上，则0PM PN， 1212 ()()0xt xty y 2 121212 ()0x xt xxty y 222 2 222 126122 0 313131 kkk tt kkk 222 (31210)6ttkt P 是右交点，故 t2，因此 22 2 (6)(31210)0 t ttt ， 18 解得： 6 6,2 3 t 19 （本题满分 16 分） 已知 n a是各项均为正数的无穷数列，数列 n b满足 nnn k baa (nN)，其中常数 k 为正整数 （1）设数列 n a前 n 项的积 (1) 2 2 n n n T ，当 k2 时，求数列 n
29、b的通项公式； （2）若 n a是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且 21 bb4，求数列 1 n b 的前 2020 项的和； （3） 若 n b是等比数列， 且对任意的 nN， 2 2nnkn k aaa ， 其中 k2， 试问： n a 是等比数列吗？请证明你的结论 解： （1）因为 (1) 2 2 n n n T ，所以 (2)(1) 2 2(2) nn n Tn ， 两式相除，可得 (1) (1)(2) 1 2 22(2) n nnn n n an ， 当 n1 时， 1 1 11 12aT ，符合上式，所以 1 2() n n anN ， 当 k2 时， 11 2 224
30、nnn nnn baa ； （2）因为 nnn k baa ，且 1 1a ， 所以 1111kk ba aa ， 2221 (1)() kk ba adad ， 所以 2 211 (1)4 k bbdd a ， 因为 d，k 均为正整数，所以 d1，所以 12 12 k aad ， 所以 22 1 (1)43 k dd add ，解得 d1，所以 d1，即 n an 所以 2 11 (1)42 kk dd aa ，即 1 2 k a ，解得 k1， 所以 1 (1) nnn ba an n ，则 111 1 n bnn ， 记 n b的前 n 项和为 n S， 则 11111111 1()(
31、)()1 2233411 n S nnn ， 19 所以 2020 12020 1 20212021 S ； （3）因为 n b成等比数列，设公比为 q2，则对任意 nN， 2 2 k n kn knk nnn k baa q ba a ， 因为0 n a ，且 2 2nnkn k aaa ，所以 2n knk nn k aa aa ，所以 k n k n a q a ， 因为 2 22 11111 2 () k nnnknn k nnn knn baaaqa q ba aa qa ，所以 1n n a q a ， 所以数列 n a是等比数列 20 （本题满分 16 分） 已知函数 ln (
32、) ax f x x ， ln ( ) ex xa g x ，其中 e 是自然对数的底数 （1）若函数( )f x的极大值为 1 e ，求实数 a 的值； （2） 当 ae 时， 若曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直， 求 0 x的值； （3）设函数( )( )( )h xg xf x，若( )h x0 对任意的 x(0，1)恒成立，求实数 a 的 取值范围 解： （1）因为 ln ( ) ax f x x ，则 2 (1 ln ) ( ) ax fx x ， 因为 ln ( ) ex xa g x ，所以 a0， 则当 x(0，e)时，( )0fx，( )f x单
33、调递增， 当 x(e，)时，( )0fx，( )f x单调递减， 所以当 xe 时，( )f x的极大值 1 (e) ee a f，解得 a1； （2）当 ae 时， eln ( ) x f x x ， 1 ( ) ex x g x ， 20 则 2 e(1 ln ) ( ) x fx x ，( ) ex x g x ， 由题意知， 0 00 00 2 0 e(1 ln) ()()1 ex xx fxg x x ， 整理得 0 00 eelne x xx， 设( )eeln x xxx，则 e ( )(1)e0 x xx x ，所以( ) x单调递增， 因为(1)e，所以 0 1x ； （3）
34、由题意可知， lnln ( )0 ex xaax h x x 对任意 x(0，1)恒成立， 整理得 ln( e )ln e x x ax ax 对任意 x(0，1)恒成立， 设 ln ( ) x H x x ，由（1）可知，( )H x在(0，1)上单调递增， 且当 x(1，)时，( )0H x ，当 x(0，1)时，( )0H x ， 若e1 x ax ，则( e )0( ) x H aH x， 若0e1 x a， 因为( e )( ) x H aH x， 且( )H x在(0， 1)上单调递增， 所以exax， 综上可知，exax对任意 x(0，1)恒成立，即 ex x a ， 设( )
35、ex x G x ，x(0，1)，则 1 ( )0 ex x G x ，所以( )G x单调递增， 所以 1 ( )(1) e G xGa，即 a 的取值范围为 1 e ，) 21 江苏省七市 2020 届高三第三次调研考试 数学附加题 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知 mR， 1 1 是矩阵 M 1 2 1 m 的一个特征向量，求 M 的逆矩阵 1 M 解：设 1 1 是属于特征值 n 的一个特征向量，则 Mn， 因为 1 11 2 11 3 mm M
36、， 1 1 n nn n ， 所以13mn， 解得2m， 所以矩阵 M 1 2 2 1 ，设矩阵 M 的逆矩阵 1 M a b c d ， 22 则 M 1 1 2 2 21 0 M 2 1 2 20 1 a bac bd c dacbd 所以 21 20 20 21 ac bd ac bd ，解得 1 3 2 3 2 3 1 3 a b c d ， 1 M 12 33 21 33 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C 的方程为2 sinr(r0)以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt (t 为参数)若直线 l
37、与圆 C 恒 有公共点，求 r 的取值范围 解：因为圆 C 的极坐标方程为2 sinr，所以 2 2sinr， 因为 222 xy，siny，所以 22 2xyry，整理得 222 ()xyrr， 即圆 C 是圆心为(0，r)，半径为 r 的圆， 因为直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt ，消去 t， 整理可得直线 l 的普通方程为320xy， 因为直线 l 和圆 C 有公共点，所以圆心 C 到直线 l 的距离 2 3 1 r dr ， 解得 r2 C选修 45：不等式选讲 已知 x1，y1，且 xy4，求证： 22 8 11 yx xy 证明： 设1xm ，1yn ， 因为x，1y
38、， 所以m，0n， 且22mnxy， 当且仅当1mn，即2xy时，上述等号成立，原命题得证 23 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量 获取相应奖励已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥 匙（其中有且只有 1 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放 回若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇 门；直至 5 扇门都
39、进行了试开，活动结束 （1）设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)； （2）求恰好成功打开 4 扇门的概率 解： （1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，4， 则 1 (1) 6 P X ， 511 (2) 656 P X ， 5411 (3) 6546 P X ， 543154321 (4) 654365432 P X ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 6 1 2 所以随机变量的数学期望 E(X) 1111 12343 6662 ； （2）由（1）可知，每扇门被打开的概率 P 54322
40、 1 65433 ， 设恰好成功打开四扇门为时间 A，则 44 5 2180 ( )( ) 33243 P AC 23 （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线与 x 轴的 交点为 E过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，EA，EB 分别与 y 轴相交于 M，N 两 点，当 ABx 轴时，EA2 （1）求抛物线的方程； （2）设EAB 的面积为 S1，EMN 面积为 S2，求 1 2 S S 的取值范围 24 解： （1）当 ABx 轴时，AFp，EFp， 所以 EA2p2，即2p ，所以抛物线的方程为 y222x；
41、 （2）设直线 AB 的方程为 2 2 xmy，由 2 2 2 2 2 yx xmy ， 得 2 2 220ymy， 设 A( 1 x， 1 y)，B( 2 x， 2 y)，所以 12 2 2yym， 12 2yy 直线 AE 方程为 1 1 2 () 22 2 y yx x ， 令 x0，得 11 1 1 22 22 22 2 M yy y my x ，同理 22 2 2 22 22 22 2 M yy y my x ， 所以 12 12 1212 22 2()22 22 2222(2)(2) MN yy yy yy mymymymy 其中 2222 1212 2 ()224222m y ym yymmm ， 则 12 2 1 2 1 2 444 1 2 MN EF yy S m S EO yy ，因此 1 2 S S 的取值范围为4，)
