1、2020年四川省成都市金牛区中考数学一诊试卷解析版一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）ABCD【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：故选：B【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图2（3分）已知x：y3：2，则下列各式中正确的是（）ABCD【分析】根据比例性质，可设x3k、y2k，代入分式求值后作出判断即可【解答】解：设x3k，y2k，A、，故本选项正确；B、，故本选项错误；C、，故本选
2、项错误；D、，故本选项错误；故选：A【点评】此题考查了比例线段的性质，用一个常数表示x、y是解答本题的关键3（3分）RtABC中，C90，AC，AB4，则cosB的值是（）ABCD【分析】首先利用勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案【解答】解：C90，AC，AB4，BC1，cosB，故选：D【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握余弦：锐角B的邻边a与斜边c的比叫做B的余弦，记作cosB4（3分）由二次函数y3（x4）22可知（）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x4C其顶点坐标为（4，2）D当x3时，y随x的增大而增大【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最
3、值及增减性，可求得答案【解答】解：y3（x4）22，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x4，故B正确；当x4时，y有最小值2，故C不正确；当x4时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在ya（xh）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴xh5（3分）书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（）ABCD【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率【解答】解：用列表法列出所有可能出现的情况如下：共有20种等可能的情况，其中两本都是古
4、典名著的有6种，P（两本古典名著），故选：C【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件6（3分）如图，ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则ADE的面积为（）A6B5C4D3【分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DEBC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：点D、E分别是边AB、AC的中点，DEBC，ADEABC，点D、E分别是边AB、AC的中点，SADE：SABC1：4ABC的面积为12，SADE3故选：D【点评】本题考查了中位线定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点7（
5、3分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DEAC，AEBD则四边形AODE一定是（）A正方形B菱形C矩形D不能确定【分析】根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出ACBD，即AOD90，继而可判断出四边形AODE是矩形【解答】解：DEAC，AEBD，四边形AODE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，AODAOD90，四边形AODE是矩形，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解决问题的关键8（3分）已知反比例函数y下列结论：其中正确的结论有（）个图象必经
6、过点（1，1）；图象分布在第二，四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大A3B2C1D0【分析】根据反比例函数的性质，可得答案【解答】解：当x1时，y1，即图象必经过点（1，1），正确；k10，图象在第二、四象限内，正确；k10，每一象限内，y随x的增大而增大，正确；故选：A【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键9（3分）由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中确的是（）A23（1+a%）240B23（1a%）240C23（1+2a%）40D23（12a%）40【分析】可先用
7、a%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于a%的方程【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%23（1+a%）223（1+a%）240故选：A【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于40即可10（3分）如图，在O中，点C为弧AB的中点若ADC（为锐角），则APB（）A180B1802C75+D3【分析】连接BD，如图，由于点C为弧AB的中点，根据圆周角
8、定理得到BDCADC，然后根据圆内接四边形的对角互补可用表示出APB【解答】解：连接BD，如图，点C为弧AB的中点，BDCADC，APB+ADB180，APB1802故选：B【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半二、填空题（本大题共4小题，共54分）11（4分）将抛物线yx2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是y（x+3）22（结果写成顶点式）【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出平移后的解析式即可【解答】解：将抛物线yx2向左平移3个单位，得到y（x+3）2，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是
9、：y（x+3）22故答案为：y（x+3）22【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键12（4分）已知m、n是一元二次方程x22x30的两根，则m+n+mn1【分析】根据根与系数的关系得到m+n2，mn3，再利用整体代入的方法计算【解答】解：m，n是一元二次方程x22x30的两根，m+n2，mn3，则m+n+mn231，故答案为：1【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x213（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OC2cm，ABO30，则菱形 ABCD的面积是8cm2【
10、分析】求出OB长，则SBOC可求出，则菱形的面积可求出【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABOCBO30，BOC90，OC2cm，OB2cm，cm2菱形ABCD的面积为2cm2故答案为：8cm2【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键14（4分）如图，ABC与ADB中，ABCADB90，CABD，AC5cm，AB4cm，AD的长为【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【解答】解：ABCADB90，CABD，ACBABD，ADcm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型三.解答题
11、15（12分）（1）计算：tan45+20190+4sin60（2）解方程：2x23x10【分析】（1）将特殊锐角三角函数值代入、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）利用公式法求解可得【解答】解：（1）原式12+1+412+1+22；（2）a2，b3，c1，（3）242（1）170，则x，即x1，x2【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键16（6分）先化简，再求值：已知x，y1，求的值【分析】原式利用除法法则变形，约分后利
12、用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值【解答】解：原式+x+1，当x，y1时，原式1+【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17（8分）如图，在1010的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，ABC的三个顶点均在格点上，（1）若将ABC沿x轴对折得到A1B1C1，则C1的坐标为（4，1）；（2）以点B为位似中心，将ABC各边放大为原来的2倍，得到A2BC2，请在这个网格中画出A2BC2；（3）在（2）的条件下，若小明蒙上眼睛在一定距离外，向1010的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入A2BC2的概率是多少？（未
13、掷入图形内则不计次数，重掷一次）【分析】（1）直接利用关于x轴对称图形的性质得出得出对应点位置即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用A2BC2的面积除以总面积进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求，则C1的坐标为：（4，1）；故答案为：（4，1）；（2）如图所示：A2BC2，即为所求；（3）6412，向1010的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入A2BC2的概率是：【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键18（8分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度如图，小组成员选
14、择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为42，测得楼AB的底部B处的俯角为30已知D处距地面高度为12m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数，参考数据：tan420.90，tan481.11，1.73）【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形本题涉及到两个直角三角形AED、CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案【解答】解：如图，过点D作DEAB于点E依题意得：ADE42，CBD30，CD12m可得四边形DCBE是矩形BEDC，DECB在直角CBD中，tanCBD，DECB在直角ADE中，ta
15、nADEAEDEtan42AEtan4218.68（米）ABAE+BE31（米）答：楼AB的高度约为31米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题19（10分）如图已知点A（4，a）、B（10，4）是一次函数ykx+b图象与反比例函数y图象的交点，且一次函数与x轴交于C点（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接AO，求AOB的面积；（3）在y轴上有一点P，使得SAOPSAOC，求出点P的坐标【分析】（1）点A（4，a）、B（10，4）代入y求得m40，a10，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）求得C点的坐标，
16、然后根据SAOBSAOC+SBOC求得即可；（3）由SAOC30，则OPxA30，求得OP，即可求得；【解答】解：（1）点A（4，a）、B（10，4）是一次函数ykx+b图象与反比例函数y图象的交点，4，m40，反比例函数为y，把A（4，a）代入得，a10，A（4，10），把A（4，10），B（10，4）代入ykx+b得，解得，一次函数的解析式为yx+6；（2）在yx+6中，令y0，求得x6，C（6，0），SAOBSAOC+SBOC42；（3）SAOC30，SAOPSAOC，OPxA30，即OP430，OP15，P（0，15）或（0，15）【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数
17、法求解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键20（10分）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与O交于点F，延长BA到点G，使得BGFGBC，连接FG（1）求证：FG是O的切线；（2）若O的半径为4当OD3，求AD的长度；当OCD是直角三角形时，求ABC的面积【分析】（1）连接AF，分别证BGF+AFG90，BGFAFB，即可得OFG90，进一步得出结论；（2）连接CF，则ACFABF，证ABOACO，推出CAOACF，证ADOCDF，可求出DF，BD的长，再证ADBFDC，可推出ADCD7，即AD27，可写出AD的长；因为ODC为
18、直角三角形，DCO不可能等于90，所以存在ODC90或COD90，分两种情况讨论：当ODC90时，求出AD，AC的长，可进一步求出ABC的面积；当COD90时，OBC是等腰直角三角形，延长AO交BC于点M，可求出MO，AM的长，进一步可求出ABC的面积【解答】（1）证明：连接AF，BF为O的直径，BAF90，FAG90，BGF+AFG90，ABAC，ABCACB，ACBAFB，BGFABC，BGFAFB，AFB+AFG90，即OFG90，又OF为半径，FG是O的切线；（2）解：连接CF，则ACFABF，ABAC，AOAO，BOCO，ABOACO（SSS），ABOBAOCAOACO，CAOACF
19、，AOCF，半径是4，OD3，DF1，BD7，3，即CDAD，ABDFCD，ADBFDC，ADBFDC，ADCDBDDF，ADCD7，即AD27，AD（取正值）；ODC为直角三角形，DCO不可能等于90，存在ODC90或COD90，当ODC90时，ACOACF，ODDF2，BD6，ADCD，ADCDAD212，AD2，AC4，SABC4612；当COD90时，OBOC4，OBC是等腰直角三角形，BC4，延长AO交BC于点M，则AMBC，MO2，AM4+2，SABC4（4+2）8+8，ABC的面积为12或8+8【点评】本题考查了圆的有关概念及性质，切线的判定定理，相似三角形的判定及性质，直角三角
20、形的存在性质等，解题关键是在求直角三角形的存在性及三角形ABC的面积时注意分类讨论思想的运用等一、填空题（每小题4分，共20分21（4分）若x2是关于x的一元二次方程ax2+bx80（a0）的解，则代数式2020+2a+b的值是2024【分析】根据x2是关于x的一元二次方程ax2+bx80（a0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入代数式2020+2a+b，即可求得所求式子的值【解答】解：x2是关于x的一元二次方程ax2+bx80（a0）的解，4a+2b80，4a+2b8，2a+b4，2020+2a+b2020+（2a+b）2020+42024，故答案为：2024【点评】本题考查一元二次方程的
21、解，解答本题的关键是明确题意，求出2a+b的值22（4分）若关于x的方程（a2）x2+（2a3）x+a+10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a且a2【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程（a2）x2+2ax+a+10有两个不相等的实数根，解得a且a2故a的取值范围是a且a2故答案为：a且a2【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式0，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键23（4分）如图，正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上，点F在AC边上，反比例函数y的图象
22、经过点A、E，且SOAE3，则k6【分析】设A（a，a），E（a+b，b），由S梯形ACDESAOE+SEODSAOCSAOE可知S梯形ACDE（a+b）b3，根据反比例函数系数k的几何意义，SEOD（a+b）b|k|，即可得出3|k|，从而求得k的值【解答】解：设A（a，a），E（a+b，b），反比例函数y的图象经过点A、E，且正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上，SEODSAOC|k|，S梯形ACDESAOE+SEODSAOCSAOE3，（a+b）b3，SEOD（a+b）b|k|，3|k|，在第一象限，k6，故答案为6【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的
23、性质，根据题意得出3|k|是解题的关键24（4分）在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其全部相同现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为P（m，n21），则点P落在抛物线yx2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是【分析】画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可【解答】解：抛物线yx2+4x（x2）2+4，顶点坐标为（2，4），与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0），且过点（1，3）、（3，3），其图象如图所示：当 n0、1、2、3、4时，
24、n211、0、3、8、15，所有点P（m，n21），所有可能出现的情况如下：共有20种可能出现的情况，其中点P落在抛物线yx2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）的有6种，P点P落在抛物线yx2+4x与x轴所围成的区域内（含边界），故答案为：【点评】此题考查了几何概率，二次函数的图象与性质，综合性很强，不仅要求学生掌握概率公式，更要求学生熟悉二次函数的图象及性质利用数形结合是解题的关键25（4分）如图，二次函数yx2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为【分析】根据题意和函数解析式，可以分别求得点A
25、、B、C、D的坐标，然后作AECD，即可得到PE与PC的关系，再根据锐角三角函数和两点之间线段最短可以求得PC+PD的最小值，本题得以解决【解答】解：yx2+2x+3（x3）（x+1）（x1）2+4，当x0时，y3，当y0时，x3或x1，该函数的对称轴是直线x1，二次函数yx2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，0），连接CD，作AECD于点E，交y轴于点P，OD1，OC3，COD90，CDsinOCD，即sinPCE，PEPC，点A和点D关于点O对称，PE+PD的
26、最小值就是AE的长，EAD+EDADCO+EDA90，EADDCO，sinEAD，cosEAD，AD2，AE2，即PC+PD的最小值为，故答案为：【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答二、解答题（本大题共3小题，共30分）26（8分）成都市某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件，这种纪念品的销售单价为x（元）（1）试确定日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2
27、）若要求每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元，则当销售单价定为多少时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为多少？【分析】（1）根据实际销售量等于200减去5（x30），化简即可；（2）设销售利润为w元，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质及题中对销售量及每件纪念品利润的约束条件，可求得答案【解答】解：（1）由题意得：y2005（x30）5x+350每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式为：y5x+350；（2）设销售利润为w元，由题意得：w（x20）（5x+350）5（x45）2+3125，解得：50x6750，抛物线的对称轴为直线x50抛物线
28、开口向下，在对称轴的右侧，w随x的增大而减小当x50时，w取最大值为2000答：当销售价格定为50元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为2000元【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键27（10分）如图，在ABCD中，AB4，B45，ACAB，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将PCE折叠得到PCF，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G（1）求证PHPF；（2）当BP3PC时，求AE的长；（3）当AP2AHAB时，求AG的长【分析】（1）先求出PCF135，进而判断出点F在AC的延长线上，进而判
29、断出PAPF，PAPH，即可得出结论；（2）先求出BMCM，AM，进而求出MP，AP，再判断出APE是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出APHABP，进而判断出BPAB4，再判断出CPGCAP，求出CG，即可得出结论【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，B+PCE180，B45，PCE135，由折叠知，PCFPCE135，ACAB，ACB45，ACB+PCF180，点F在AC的延长线上，CEG+CGE90，CGEPGA，CEG+PGA90，PAG+PGA90，PECPAG，PECF，PAFF，PAPF，CAP+PAH90，F+PHA90，PAHPHA，PAPH，PF
30、PH；（2）过点A作AMBC于M，ABAC，AB4，BMCM2，AM2，BC3CP，MP，AP，由折叠知，PEPF，由（1）知，PAPF，APPE，APE90，APE是等腰直角三角形，AE2；（3）AP2AHAB，PAHPAB，APHABP，APHB45，PAFF22.5，BPABAP67.5，BPAB4，PC44，EPCFPCACPF22.5，GPCPAC，APCAPC，CPGCAP，CP2CGCA，CG128，AG88【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出PAPH是解本题的关键28（12分
31、）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（1，0），点C（0，2），且ACB90（1）求抛物线的解析式（2）点P是线段AB一动点，过P作PDAC交BC于D，当PCD面积最大时，求点P的坐标（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当ABC恰好等于BCM中的某个角时，求点M的坐标【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为ya（x+1）（x4），将点（0，2）代入求出a，然后化为一般式即可；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的
32、坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况求解：当BCMABC时和当CBMABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标【解答】解：（1）A（1，0），C（0，2），OA1，OC2，ACB90，由射影定理可得：OC2OAOB，OB4，点B（4，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x4），将点（0，2）代入上式得：a1（4）2解得：a，抛物线的解析式为y；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），设直线BC的解析式为ykx+b，把B（4，0），C（2，0）代入得，直线BC的解析式为yx+2，同样的方法可求得直线AC的解析
33、式为y2x+2，可设直线PD的解析式为y2x+b，把P（m，0）代入得b2m，联立，解得，故当m时，S最大，此时P（，0）（3）由题意知，BMCABC，当BCMABC时，CMAB，如图2，点C与点M关于抛物线的对称轴对称，M（3，2）；当CBMABC时，如图3，过M作MFBC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，CBMABC，BFMBGF，MFKFGB，同理可证：MBFMFKFBGCBO，设G（n，0），则F（n，+2），KF，M（），代入抛物线解析式可解得，n，n4（舍去），）综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法第 27 页 共 27 页
