1、1第十章第十章 级数级数 第一节第一节 数项级数数项级数第二节第二节 幂级数幂级数第三节第三节 傅立叶级数傅立叶级数2第一节第一节 数项级数数项级数 10.1.1 级数的概念及其基本性质级数的概念及其基本性质 10.1.2 正项级数正项级数 10.1.3 任意项级数任意项级数3 10.1.1 级数的概念及其基本性质级数的概念及其基本性质一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,这个和逼近于圆的面积 A.0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则
2、圆内接正边形面积为n234定义定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加,简记为,lim存在若SSnn收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作51nnuS当级数收敛时,称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散.显然0limnnr6级数举例 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn调和级数 )1(1 321211)1(11 nnnnn
3、)1(1 321211)1(11 nnnnn )1(1 321211)1(11 nnnnn 20 nnnaqaqaqaaq 20 nnnaqaqaqaaq几何级数 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppnpnn级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p级数 7例例1.讨论等比级数(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q,0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,li
4、mnnS则部分和因此级数发散.其和为82).若,1q,1时当qanSn因此级数发散;,1时当qaaaaan 1)1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则,级数成为,a,0不存在,因此级数发散.9例例2.判别下列级数的敛散性:.)1(1)2(;1ln)1(11nnnnnn解解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和23ln34lnnn1ln10(2)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)
5、收敛,其和为 1.31214131111nn技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和11二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数1nnu收敛于 S,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛,证证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛,其和为 c S.nnSclim说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.12性质性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S证证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu
6、 也收敛,其和为.S13说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都发散,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如,)1(2nnu取,)1(12 nnv0nnvu而(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)14性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数15性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原
7、级数的和.证证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列),2,1(mm为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如16例例3.判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散,从而原级数发散.nn12117设收敛级数,1nnuS则
8、必有.0limnnu证证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,1)1(544332211nnn其一般项为1)1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当性质性质5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)18注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.2119 1
9、0.1.2 正项级数正项级数若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2,1(n有界.若1nnu收敛,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界,故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”20,Zn,nnvku 都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1)若级数1nnv则级数1nnu(2)若级数1nnu则级数1nnv证证:设对一切和令nSn则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和,则有nnvku 是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛
10、散性,故不妨21(1)若级数1nnv则有nn lim因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有(2)若级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明级数1nnv也发散.knSnk也收敛.发散,收敛,级数22例例1.讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若,1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散.发散,pn123,1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审
11、敛法知 p 级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若24调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu25证明级数1)1(1nnn发散.证证:因为2)1(1)1(1nnn),2,1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.26定理定理3.(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=,1发散时且nnv.1也发散n
12、nu证证:据极限定义,0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1)当 0 l 时,时当Nn 27nnnvluvl)()(,l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散;)(Nn),()(Nnvlunn利用(3)当l=时,ZN存在,时当Nn,1nnvu即nnvu 由定理2可知,若1nnv发散,;1也收敛则nnu(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知1nnv收敛,若.1也发散则nnu28,nunv,limlvunnn是两个正项级数正项级数,(1)当 时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv 可得如下结论:对正项级数,nu,1p l0limpnnn ul,1
13、p l0发散nu(2)当 且 收敛时,0lnv(3)当 且 发散时,lnv也收敛;nu也发散.nu收敛nu29的敛散性.nnn1lim例例3.判别级数11sinnn的敛散性.解解:nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4.判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn30nnnuu1lim由定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 nu为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1证证:(1),1时当11nnuunnuu)(
14、112)(nu1)(NNnu,1使取收敛,.收敛nu时,级数收敛;或时,级数发散.,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知31,1时或,0,NuZN必存在,11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn 当时(2)当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.从而32解解 (1)1lim0,1nn11!nn11(1)!limlim1!nnnnunun例例5.判别下列级数的敛散性故收敛.11(1)!10limlim10!nnnnnnunu
15、n(2)1lim10nn 1!10nnn故发散.33解解 (3)11(21)2nnn1limnnnuu故收敛.(21)2lim1(21)(22)nnnnn比值审敛法失效,改用比较审敛法211,(21)2nnn211nn由于而收敛,34对任意给定的正数,limnnnu定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1)1(级数收敛时当.,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示:,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,)1(1111数,且35时,级数可能收敛也可能发散.1例如,p 级数:11pnnpnn
16、nnu1)(1n说明说明:,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.36例例6.证明级数11nnn收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr21)1(1)1(1nnnn1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和 Sn 近 37 10.1.3 任意项级数任意项级数一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321)1(称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nu
17、unn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS 其余项满足.1nnur,2,1,0nun设38证证:)()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S,且,1uS:的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S39收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(1041031021
18、01)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 !)1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 40二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数,1nnu若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn,!)1(1)1(11nnn1110)1(nnnn1nnu收敛,1nnu数1nnu为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.41定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证证:设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv
19、1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛,令42例例7.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nnnnennn证证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.43(2)令,2nnenu nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.44其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.证明从略)*定理定理9.(
20、绝对收敛级数的乘法).S则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为需注意条件收敛级数不具有这两条性质.45练习练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.1.462.),3,2,1(0nun设,1limnunn且则级数).()1(11111nnuunn(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:,1limnunn由,11nun知(B)错;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)()1(1111nnuun11111)1(nunu47解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法01 nnuu11 nnuu？0)()(xfnfun考察考察？
