1、2021年新高考数学模拟试卷（38）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D2（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD43（5分）已知命题P：x1，2xlog2x1，则p为（）Ax1，2xlog2x1Bx1，2xlog2x1:Cx1，2xlog2x1Dx1，2xlog2x14（5分）甲、乙两家企业1至10月份的收入情况统计如图所示，下列说法中错误的是（）A甲企业的月收入比乙企业的月收入高B甲、乙两企业月收入差距的最大值在7月份C甲企业4月到7
2、月份收入的平均变化量比乙企业7月到10月份收入的平均变化量低D甲企业1月到10月份收入的平均变化量比乙企业1月到10月份收入的平均变化量高5（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个323的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）：A528B514C29D126（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD7（5分）长方体的长宽高分别为3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（）A6，22B3，22C6，11D3，118（5分）若关于x的不等式lnxax20的解集中有唯一的整数解，则实数a的取值范围是（）
3、A（ln39，ln24Bln39，ln24）C（，ln39（ln24，+）D（，ln39）ln24，+）二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）下列说法正确的是（）A“a3b3“是“ac2bc2“的充要条件B若角的终边经过点（1，2），则tan（+4）3C若直线ax+2y10与直线2xy+30垂直，则a1D已知随机变量X服从正态分布N（4，2），若P（X5），则P（X3）10（5分）如图，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，M在双曲线C上，且MF1x轴，直线MA，MB与y轴分别交于P，Q两点，若|OP|e|OQ|
4、（e为双曲线C的离心率），则下列说法正确的是（）Ae=2+1B|AF1|AO|=3C直线OM的斜率k2D直线 AM的斜率k311（5分）将函数f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（）Af（x）的最大值为1-3Bg（x）2cosx】C函数f（x）的图象关于直线x=512对称D函数g（x）的图象关于点（-2，0）对称12（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与C
5、D所成的角为3CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量a=(3，2)，b=(-2，1)，c=(4，3)，若(a+b)c，则实数 14（5分）曲线f（x）2x3x1在点（0，f（0）处的切线在x轴上的截距为 15（5分）四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线yx2上，BAD60，对角线AC平行x轴，且AC平分BAD，若BD=2，则ABCD的面积为 16（5分）已知函数f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，38），点O为坐标原点，点Pn（n，f（n）（nN*），向量m=（1，0），n是向量OPn与
6、m的夹角，则使得tan1+tan2+tann127128的n的最小值为 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）求角C的大小；。（2）若c3，求a+b的取值范围18（12分）已知数列an中，对任意的nN*，都有an0，an+1an3，a2与a7的等比中项为10，数列bn为等比数列，b1a1，b4a61（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列1anan+1+abn的前n项和Tn19（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，且与侧面ABB1A1垂直，AB=
7、12AB11，BB1=5（1）求证：AB1A1C1；（2）若直线AC1与平面ABB1A1所成角的正切值等于32，求二面角CABC1的余弦值20（12分）已知函数f(x)=12x2-kx-2lnx（）求函数f（x）的极小值点；（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（0x1x2）为函数yf（x）图象上的任意两点，f（x）为函数f（x）的导函数，求证：f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2+x12)21（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值22（12分）绿水青山就是金山银山近
8、年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走
9、照片的可能性平均增加，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价2021年新高考数学模拟试卷（38）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）已知集合Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则AB（）A（2，3）B（2，3）C（2，2）D#【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2，AB（2，3）故选：A2（5分）已知复数z满足z+2iR，z的共轭复数为z，则z-z=（）A0B4iC4iD4【解
10、答】解：z+2iR，设z+2iaR，则za2i，则z-z=a2i（a+2i）4i|故选：C3（5分）已知命题P：x1，2xlog2x1，则p为（）Ax1，2xlog2x1Bx1，2xlog2x1Cx1，2xlog2x1Dx1，2xlog2x1【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可即x1，2xlog2x1，故选：D4（5分）甲、乙两家企业1至10月份的收入情况统计如图所示，下列说法中错误的是（）A甲企业的月收入比乙企业的月收入高B甲、乙两企业月收入差距的最大值在7月份C甲企业4月到7月份收入的平均变化量比乙企业7月到10月份收入的平均变化量低D甲企业1月到10月份收入的平均
11、变化量比乙企业1月到10月份收入的平均变化量高【解答】解：在A中，由题图可知，甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高，故A正确；在B中，由题图知，甲、乙两企业月收入差距为： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8. 9 10 差距 200 300 200 100 300 300 600 400 300 300差距的最大值在7月份，为600，故B正确；在C中，甲企业4月到7月份收入的平均变化量为800-3003167，乙企业7月到10月收入的平均变化量为500-2003=100，(167100，故C错误；在D中，甲企业1月到10月收入的平均变化量为800-400944，乙企业1月到10月收放的平均变
12、化量为500-200933，4433，故D正确故选：C5（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个323的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A528B514C29D12、【解答】解：最近的行走路线就是不走回头路，不重复，共有A88种，向上攀登共需要3步，向左向前共需要5步，不连续向上攀登，向上攀登的3步，要进行插空，共有A55A63种，其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为：P=A55A63A88=514故选：B6（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）AB(CD【解答】解：当x时，ex0+，x-1
13、x+1=1-2x+11+，所以f（x）0+，排除C，D；因为x+时，ex+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）+，因此排除B，故选：A7（5分）长方体的长宽高分别为3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（）A6，22B3，22C6，11D3，11【解答】解：长方体的长宽高分别为3，2，1，长方体的体积为：V3216，长方体的表面积为：S2（32+31+21）22故选：A8（5分）若关于x的不等式lnxax20的解集中有唯一的整数解，则实数a的取值范围是（）A（ln39，ln24Bln39，ln24）C（，ln39（ln24，+）D（，ln39）ln24，+）【解答】解：由题意可得，
14、lnxx2a，令f（x）=lnxx2，x0，则f(x)=1-2lnxx3，当0xe时，f（x）0，函数单调递增，当xe时，f（x）0，函数单调递减，故当x=e时，函数取得最大值f（e）=12e，因为lnxax20的解集中有唯一的整数解，结合图象可知，只能是x2，故ln39aln24，故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分），9（5分）下列说法正确的是（）A“a3b3“是“ac2bc2“的充要条件B若角的终边经过点（1，2），则tan（+4）3C若直线ax+2y10与直线2xy+30垂直，则a1D已知随机变量X服从正态分布N（4，2），若P（X5），则P（X3）【解答】解：Aa3b3
15、ab，且c0时得不出ac2bc2，a3b3不是ac2bc2的充要条件，该说法错误；B若角的终边经过点（1，2），则tan2，tan(+4)=tan+tan41-tantan4=2+11-21=-3，该说法正确；C由两直线互相垂直得，-a22=-1，解得a1，该说法错误；？D由随机变量X服从正态分布N（4，2），可得4，P（X5），P（4X5）P（X5）P（X4），由对称性可得，P（3X4），P（X3）P（X4）P（3X4），该说法正确故选：BD10（5分）如图，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，M在双曲线C上，且MF1x轴，
16、直线MA，MB与y轴分别交于P，Q两点，若|OP|e|OQ|（e为双曲线C的离心率），则下列说法正确的是（）Ae=2+1B|AF1|AO|=3C直线OM的斜率k2D直线 AM的斜率k3【解答】解：根据题意得A（a，0），B（a，0），F1（c，0），M（c，b2a），根据BOQBF1M，则OPF1M=OAF1B，所以OQ=b2a+c，由AOPAF1M，可得OQF1M=OBF1B，所以OP=b2c-a，根据OPeOQ，即b2c-a=eb2a+c，整理可得a+ce（ca），即1+ee（e1），即e22e1，因为e1，解得e=2+1，故A正确又AF1AO=c-aa=e1=2，故B错误，因为MF1=b
17、2a，所以直线OM的斜率k=-b2ac=-b2ac=a2-c2ac=1e-e2，故C正确，、直线AM的斜率k=-MF1AF1=-b2ac-a=-c+aa=-（e+1）=-2-2，故D不正确故选：AC11（5分）将函数f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（）Af（x）的最大值为1-3Bg（x）2cosxC函数f（x）的图象关于直线x=512对称D函数g（x）的图象关于点（-2，0）对称【解答】解；f（x）sin2x23cos2x+3=sin2x-3cos2x2sin（2x-3）， 将函
18、数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数h（x）f（12x）2sin（x-3）的图象，再将函数图象向右平移6个单位，可得函数g（x）h（x-6）2sin（x-6）-32cosx的图象A选项，函数f（x）的最大值为2，故该项不正确；B选项g（x）2cosx，故该项不正确；C选项，令2x-3=k+2，解得x=k2+512，故该项正确；D选项，显然g（x）2cosx，其图象的对称中心为（k+2，0），当k1时，图象的对称中心为（-2，0），故该项正确故选：CD12（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E
19、，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为3CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDEEF，PC平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，EFPC，|四边形ABCD是正方形，AFFC，AEEP，故A正确；在B中，CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，在RtPAB中，PAAB，PAB=4，PB与CD所成角为4，故C错误；在C中，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAACA
20、，BD平面PAC，故C正确；！在D中，设ABPAx，则VP-ABCD=13AB2PA=13x2x=13x3，VCBDEVEBCD=13SBCDAE=1312x212x=112x3VCBDC：VPABCD=112x3：13x3=1：4故D正确 故选：ACD三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知向量a=(3，2)，b=(-2，1)，c=(4，3)，若(a+b)c，则实数10【解答】解：根据题意，a=（3，2），b=（2，1），则a+b=（32，2+1），【若(a+b)c，则有3（32）4（2+1）0，解可得：10；故答案为：10，14（5分）曲线f（x）2x3x1在点（0，f
21、（0）处的切线在x轴上的截距为1【解答】解：f（x）6x21，kf（0）1，而f（0）1，切线方程为y+1x，令y0得x1，故答案为：115（5分）四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线yx2上，BAD60，对角线AC平行x轴，且AC平分BAD，若BD=2，则ABCD的面积为36【解答】解：设A(t，t2)，B(x1，x12)，D(x2，x22)，则kAB=t2-x12t-x1=t+x1=33，kAD=t2-x22t-x2=t+x2=-33，BD2=(x1-x2)2+(x12-x22)2=(x1-x2)21+(x1+x2)2=2，由+，可得，x1+x2=-2t，x1-x2=233，将代入，可得
22、43(4t2+1)=2，解得t=24，则|AC|=2t=22，SABCD=12|AC|yB-yD|=24|x12-x22|=2423322=36故答案为：3616（5分）已知函数f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，38），点O为坐标原点，点Pn（n，f（n）（nN*），向量m=（1，0），n是向量OPn与m的夹角，则使得tan1+tan2+tann127128的n的最小值为8【解答】解：函数f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，38），解得a=12，所以f（x）=x2x，点Pn（n，f（n），所以向量OPn=(n，n2n)，所以cosn=OPnm|OPn|m|=nn2+(n2
23、n)2，sinn=1-cos2n=n2nn2+(n2n)2，所以tann=12n，所以tan1+tan2+tann=12+122+12n=121-(12)n1-12=1-12n，因为tan1+tan2+tann127128，所以1-12n127128，解得n7，因为nN*，所以n的最小值为8故答案为：8四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）求角C的大小；（2）若c3，求a+b的取值范围【解答】解：（1）由sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，则c-ab-a=ba+c，
24、可得：a2+b2c2ab，、所以：cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，而C（0，），故C=3（2）由a2+b2c2ab，且c3，可得：（a+b）22ab9ab，可得：(a+b)2-9=3ab3(a+b2)2，可得：（a+b）236，所以a+b6，-又a+bc3，所以a+b的取值范围是（3，618（12分）已知数列an中，对任意的nN*，都有an0，an+1an3，a2与a7的等比中项为10，数列bn为等比数列，b1a1，b4a61（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列1anan+1+abn的前n项和Tn【解答】解：（1）依题意，由an+1an3，可知数列an是公差为3的
25、等差数列，a2与a7的等比中项为10，a2a7102100，即a2（a2+53）100，整理，得a22+15a21000，解得a25，或a220，an0，nN*，a25，ana2+（n2）35+（n2）33n1，nN*设等比数列bn的公比为q，则q3=b4b1=a6-1a1=36-1-131-1=8，解得q2，b1a13112，bn22n12n，nN*（2）由（1）知，1anan+1=1(3n-1)(3n+2)=13（13n-1-13n+2），abn=3bn132n1，记数列1anan+1的前n项和为Pn，数列abn的前n项和为Qn，则Pn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=13（12-
26、15）+13（15-18）+13（13n-1-13n+2）=13（12-15+15-18+13n-1-13n+2）=13（12-13n+2）=n2(3n+2)，Qn=ab1+ab2+abn（3211）+（3221）+（32n1）3（21+22+2n）n32-2n+11-2-n6（2n1）n，TnPn+Qn=n2(3n+2)+6（2n1）n19（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，且与侧面ABB1A1垂直，AB=12AB11，BB1=5（1）求证：AB1A1C1；（2）若直线AC1与平面ABB1A1所成角的正切值等于32，求二面角CABC1的余弦值【解答】解：（1）证明
27、：由已知得平面BCC1B1平面ABB1A1C1B1BB1又因为平面BCC1B1平面ABB1A1BB1，C1B1平面BCC1B1，所以C1B1平面ABB1A1又因为AB1平面ABB1A1，所以C1B1AB1在AA1B1中，A1B1=AB=12AB1=1，AA1=BB1=5|A1B12+AB12=AA12，A1B1AB1C1B1A1B1B1，所以AB1平面A1B1C1结合A1C1平面A1B1C1AB1A1C1（2）由（1）知C1B1平面ABB1A1C1AB1为AC1与平面ABB1A1所成的角tanC1AB1=C1B1AB1=32，C1B13因为A1B1AB1，所以以B1为原点，建立如图所示的空间直
28、角坐标系|则A1（1，0，0），A（0，2，0），B（1，2，0），C1（1，2，3）AB=(-1，0，0)，AC1=(0，-2，3)，AC=(-1，0，3)设平面ABC1的法向量m=(x，y，z)，则mAB=0mAC1=0，即x=0-2y+3z=0，令y=3，得m=(0，3，2)再设平面ABC的法向量n=(x，y，z)，nAB=0nAC=0，即x=0x+3z=0，令y1，得n=(0，1，0)所以|cosm，n|=|mn|m|n|=31313，由图可知二面角CABC1的平面角为锐角所以二面角CABC1的余弦值为3131320（12分）已知函数f(x)=12x2-kx-2lnx（）求函数f（x）
29、的极小值点；&（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（0x1x2）为函数yf（x）图象上的任意两点，f（x）为函数f（x）的导函数，求证：f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2+x12)【解答】解：（）函数的定义域为（0，+），f(x)=x-k-2x=x2-kx-2x，令f（x）0，解得x3=k-k2+820，x4=k+k2+820，易知当x（0，x4）时，f（x）0，当x（x4，+）时，f（x）0，故函数f（x）在（0，x4）单调递减，在（x4，+）上单调递增，f（x）的极小值点为x4=k+k2+82；（）证明：f(x2)-f(x1)x2-x1=x1+x22-k-2(lnx2-lnx1)
30、x2-x1，f(x1+x22)=x1+x22-k-2x1+x22，f(x2)-f(x1)x2-x2f(x1+x22)等价于ln(x2x1)-2(x2-x1)x2+x10，即证ln(x2x1)-2(x2x1-1)x2x1+10，令t=x2x11，即证lnt-2(t-1)t+10，令h(t)=lnt-2(t-1)t+1(t1)，则h(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20，h（t）在（1，+）上单调递增，故h（t）h（1）0，lnt-2(t-1)t+10，原命题得证21（12分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)过点M（1，1）离心率为22（1）求的方程；（2）如图，若菱
31、形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）由题意，1a2+1b2=1ca=22a2=b2+c2，解得a2=3，b2=32.椭圆的方程为x23+2y23=1；（2）菱形ABCD内接于椭圆，由对称性可设直线AC：yk1x，直线BD：yk2x联立x2+2y2=3y=k1x，得方程（2k12+1）x230，xA2=xC2=32k12+1，|OA|OC|=1+k1232k12+1同理，|OB|OD|=1+k2232k22+1又ACBD，|OB|OD|=1+1k1232k12+1，其中k10从而菱形ABCD的面积S为：S2|OA|OB|21+k1232k12+11+1k1232k1
32、2+1，整理得S612+1(k1+1k1)24，其中k10当且仅当1k1=k1时取“”，当k11或k11时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为422（12分）绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有
33、三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为： Y1 155 P E（Y1）1551（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为+10，不被带走的概率为，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为： Y2 55 P E（Y2）553（元），则5000个游客的平均利润为5000315000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元（2）设降价x元，则0x15，照片被带走的可能性为+，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为： Y 15x5 P + E（Y）（15x）（+）5（）69（x7）2，当x7时，E（Y）有最大值元，当定价为13元时，日平均利润取最大值为500017250元
