1、2009年福建省专升本高等数学试卷解答一、 单项选择题1下列四组函数中，相同的是（ ）A. B. C. D. 函数相同函数的定义域和函数解析式均相同 选项，的定义域的定义域为 选项，函数解析式不相同 选项，和的定义域均为，且 选项， ，函数解析式不相同答案选2当时，下列四组函数中为等价无穷小的是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和答案B【解析】根据等价无穷小定义，当时，称是等价无穷小，记作 选项，是的低价无穷小； 选项，是的等价无穷小； 选项，是的同阶无穷小 选项， ，是的同阶无穷小答案选3点是函数的（ ）A可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D.振荡间断点答案A【解析】
2、可化为 为可去间断点4函数在处连续是在该点处可导的（ ）A充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件答案B【解析】连续可导，而可导一定连续答案选B5设函数在点处可导，则值为（ ）A B. C. D. 答案A【解析】根据可导的定义， 答案选C6已知函数，则为（ ）A. B. C. D.答案D【解析】 答案选D7设函数的原函数为，则的导函数为（ ）A. B. C. D. 答案D【解析】根据题意知， 答案选D8 设函数在上连续，在内可导，且，那么（ ）A. B. C. D. 答案D【解析】根据题意，在内可导，并且导数大于零 可知，在内是单调递增函数，又在连续 答
3、案选D9在空间直角坐标系中，点与点（ ）A. 关于面对称 B. 关于面对称 C. 关于面对称 D. 关于原点对称答案C【解析】 二维平面内，若两点关于 轴对称，则对称两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数。拓展到三维空间中：又两点只有坐标互为相反数，则说明两点关于平面对称。10微分方程的阶数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D.5答案A【解析】根据微分方程阶数的定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。 而题目中，未知函数最高阶导数为，所以该微分方程阶数为二阶。二、填空题11已知，其中为常数，则 答案2【解析】 又12 答案【解析】，属于型，利用洛必达法则原式 =13已知函数，则 答案
4、【解析】 14已知函数，则 答案 【解析】 15曲线在 处存在倾斜角为的切线答案 【解析】曲线方程为 曲线的切线方程为 又已知切线的倾斜角为 16函数在上满足拉格朗日中值定理的点 答案 【解析】在1,4内是连续的，在（1,4）内是可导的满足拉格朗日中值定理的条件在（1,4）内至少存在一点，有又17函数在内的拐点的横坐标为 答案 【解析】是初等函数，必存在二阶导数根据拐点的定义，函数在拐点的一边上凸、在另一边下凸 而函数的凸性由其二阶导数和零的大小关系决定 由18 答案 4【解析】原式19已知向量的模为2，向量的模为1，它们的夹角为，则 _ 答案6【解析】 又， 原式20二阶常系数齐次微分方程的
5、通解 答案 【解析】微分方程的特征方程为 特征根为二重根 通解为（为任意常数）三、 计算题21求极限【解析】是型，利用洛必达法则 又为变上限积分 又 原式22已知分段函数，讨论函数在点处的连续性。【解析】分段函数 每一段函数均为初等函数，在其定义域上是连续的 （ 当时，是无穷小量，是有有界量，） 在处连续。23设函数由参数方程确定，求。【解析】参数方程为 24设函数由方程确定，求和。【解析】 25求不定积分【解析】令 原式 将代入，得：原式（为任意常数）26求定积分【解析】利用分部积分计算得： 27已知直线过空间中的点且与平面及平面都平行，求该直线的对称式方程。【解析】已知两平面和，其法向量和
6、不平行 可知，两平面相交 又所求直线均要求平行于两已知平面 所求直线两平面的交线 所求直线的法向量交线的法向量 设法向量 ，的值可以用平面方程的一次项系数构成的矩阵行列式得到： ， 又所求直线过点 所求直线的对称式方程为28求一阶线性微分方程满足初始条件的特解。【解析】是一阶线性非齐次方程 利用常数变易法，先求解其齐次线性微分方程：那么非齐次线性方程的通解设为， ，代入原方程得：与原方程对比可知通解为（C为任意常数）又初始条件为，那么特解为四、应用题29将一段长的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形和圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？【解析】设铁丝截成两端的长度分别为（围成正方形）和（围成圆形） 正方形的边长为，圆形的半径为（） ，又要求正方形和圆形的面积之和最小 令 要最小求的极小值 最小值为30求抛物线与直线所围成的平面图形的面积。【解析】由图像可知， 直线与抛物线所围成图形的交点为和 上曲线为，下曲线为 五、 证明题31证明方程至少有一个小于1的正实数根。【解析】方程为 令，显然函数在连续，而且 根据零点存在定理，在上必存在一点，使得，证毕。
