1、2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1己知集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则AB=（）Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x或x22复数z=（aR）在复平面内对应的点在第三象限，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da03命题p：xN，x3x2；命题q：a（0，1），函数f（x）=logax在其定义域内单调递减，则真命题是（）AqBpqCpqDp（q）4各项均为正数的等差数列an中，2a6+2a8=a72，则a7=（）A2B4C16D05如图给出的是计算1+的值的一
2、个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）Ai1008？Bi1008？Ci1009？Di1009？6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8+B8+4C16+4D16+7设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb8已知tan=2，则sin2=（）ABCD49双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）ABCD10已知kZ， =（k，1），=（k2，3），若|，则ABC是直角的概率是（）ABCD11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥
3、的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）ABCD12数列an满足a1=1，anan1+2anan1=0（n2），则使得ak的最大正整数k为（）A5B7C8D10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为_14若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则抛物线的准线方程为_15曲线f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，曲线f（x）的解析式为_16已知曲线f（x）=与曲线g（x）=log2x有两个交点，则k的取值范围为_三、解答题：写出文宇说明，证明过程或演算过程17在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C
4、的对边，cos2A=cosA（）求角A；（）当a=2，SABC=时，求边c的值和ABC的面积18为了调查某中学学生在周日上网的瞬间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80人 数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间 （分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80人数1020402010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生
5、周日上网时间与性别有关”？（3）从表3的男生“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取2人，求至少有一人上网时间不少于60分钟的概率表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图，三棱锥OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=，ABC为等边三角形
6、，M为ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=MP，PA=PB（1）证明：AB平面POC；（2）求三棱锥APBC的体积20已知曲线C1：=1（a0，b0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点21已知函数f（x）=x2alnxx（a0）（1）若f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若a0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是函数f（x）图象上的任意两点，记直线AB的斜率
7、为k，求证：f（）k选做题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一个题目计分)选修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP（1）证明：ADE=AED；（2）证明PC=PA选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，曲线C2：（为参数），曲线C3：（cos2sin）=7（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程
8、；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）a+2xx2在R上恒成立，求实数a的取值范围2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1己知集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则AB=（）Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x或x2【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【
9、解答】解：由A中不等式变形得：2x1=20，得到x0，即A=x|x0，由B中不等式变形得：（x1）（x2）0，解得：x1或x2，即B=x|x1或x2，则AB=x|0x1或x2，故选：C2复数z=（aR）在复平面内对应的点在第三象限，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da0【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z=3ia在复平面内对应的点在第三象限，a0，解得a0故选：A3命题p：xN，x3x2；命题q：a（0，1），函数f（x）=logax在其定义域内单调递减，则真命题是（）AqBpqCpqDp（q）【考点】
10、复合命题的真假【分析】命题p：如图所示，利用几何画板即可判断出真假命题q：利用对数函数的单调性即可判断出真假【解答】解：命题p：如图所示，可知：函数y=x3与y=x2有且只有两个交点，（0，0），（1，1），因此：不存在xN，x3x2，命题p是假命题命题q：a（0，1），函数f（x）=logax在其定义域内单调递减，是真命题只有pq是真命题故选：C4各项均为正数的等差数列an中，2a6+2a8=a72，则a7=（）A2B4C16D0【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的性质即可得出【解答】解：由等差性质有a6+a8=2a7，2a6+2a8=a72，4a7=，a70，解得a7=4故选：
11、B5如图给出的是计算1+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）Ai1008？Bi1008？Ci1009？Di1009？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，计算出S的值，再根据已知判断退出条件【解答】解：框图首先给累加变量S赋值为0，给循环变量i赋值1判断，判断框中的条件满足，执行S=0+1，i=1+1=2；判断，判断框中的条件满足，执行S=0+1+，i=2+1=3；判断，判断框中的条件满足，执行S=0+1+，i=3+1=4；依此类推，令2017=2i1，知i=1009，可得：i=1009，判断，判断框中的条件满足，执行S=1+，i=1010
12、，此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是：i1009故选：C6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8+B8+4C16+4D16+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，圆柱的底面圆半径是1、母线长是1，长方体的长、宽、高分别是4、2、2，该几何体的体积V=121+422=16+，故选：D7设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb【考点】对数值大小的比较【分析
13、】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小【解答】解：1log372，b=21.12，c=0.83.11，则cab，故选：B8已知tan=2，则sin2=（）ABCD4【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：tan=2，则sin2=，故选：A9双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到a，b的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x2y+1=0平行知，双曲线的渐近
14、线方程为x2y=0，即y=x，双曲线的渐近线为y=，即=，离心率e=，故选：B10已知kZ， =（k，1），=（k2，3），若|，则ABC是直角的概率是（）ABCD【考点】几何概型；平面向量数量积的运算【分析】根据向量模长公式求出满足条件的k的个数，再根据古典概型的计算公式进行求解【解答】解：丨丨17，kZ，知k4，3，2，1，0，1，2，3，4，由=（k，1），=（k2，3），且垂直，k=1，3，ABC是直角的概率是故答案选：C11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）ABCD【考点】球
15、的体积和表面积【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r则AB=r，四棱锥的体积为=，解得r=，四棱锥的外接球的体积为：V=，故选：B12数列an满足a1=1，anan1+2anan1=0（n2），则使得ak的最大正整数k为（）A5B7C8D10【考点】数列递推式【分析】由anan1+2anan1=0（n2），变形为： =+1，变形为=1=2，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由anan1+2anan1=0（n2），变形为： =+1，变形为=1=2，数列是
16、等比数列，首项为2，公比为2+1=2n，an=，又a10=，a11=，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=2x+z由图形可知当直线y=2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大解方程组，得B（1，2）z的最大值为z=21+2=4故答案为：414若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则抛物线的准线方程为x=2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点F
17、为（，0），双曲线y2=1的左焦点F2（2，0），可得=2，即可得到结果【解答】解：抛物线的焦点F为（，0），双曲线y2=1的左焦点F2（2，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，=2，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=215曲线f（x）=sin（x+）（xR，0，|）的部分图象如图所示，曲线f（x）的解析式为f（x）=sin（2x）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据周期求出，根据五点法作图求出，从而求得函数的解析式【解答】解：由T=（）=，解得：=2，又f（x）=sin（2x+）过点（，），sin（2+）=，由五点法作图可得2+
18、=，解得=，曲线f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x）故答案为：f（x）=sin（2x）16已知曲线f（x）=与曲线g（x）=log2x有两个交点，则k的取值范围为（，）【考点】对数函数的图象与性质【分析】先作出当x1时，f（x）=x24x+3与g（x）=log2x的图象如图，此时满足f（x）与g（x）有两个交点，则条件转化为当x1时，函数f（x）=k（x1）与g（x）没有交点，求函数的导数，利用导数和数形结合进行求解即可【解答】解：先作出当x1时，f（x）=x24x+3与g（x）=log2x的图象如图：此时f（x）与g（x）有两个交点，则当x1时，函数f（x）=k（x1）与g（x）没有
19、交点，当k0时，满足条件，当k=0时，f（x）=0，满足条件当k0时，当直线y=k（x1）与g（x）在（1，0）处相切时，则g（x）=，则g（1）=，此时k=，若当x1时，函数f（x）=k（x1）与g（x）没有交点，在0k，综上所述，k，故答案为：（，）三、解答题：写出文宇说明，证明过程或演算过程17在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA（）求角A；（）当a=2，SABC=时，求边c的值和ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知可得2cos2AcosA1=0，解得cosA的值，结合A的范围，即可得解A的值（）由已知及余弦定理化简可得sinC=cos
20、C，由cosC0可求tanC，解得C，结合正弦定理求得c的值，进而求得sinB，利用三角形面积公式即可得解（或由正弦定理得b=2，由4SABC=a2+b2c2得SABC=）【解答】（本题满分为12分）解：（）由cos2A=cosA，得2cos2AcosA1=0，所以cosA=或cosA=1因为0A，所以cosA=，所以角A为，（）由4SABC=a2+b2c2及SABC=absinC，有2absinC=a2+b2c2即sinC=，由余弦定理有sinC=cosC，显然cosC0有tanC=，C=，又由正弦定理有： =，得c=2，又sinB=sin（）=，所以ABC的面积S=acsinB= （或由正
21、弦定理得b=2，由4SABC=a2+b2c2得SABC=）18为了调查某中学学生在周日上网的瞬间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80人 数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间 （分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80人数1020402010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（3）从
22、表3的男生“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取2人，求至少有一人上网时间不少于60分钟的概率表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，列出，即可求解
23、，上网时间不少于60分钟的人数（2）根据题目所给数据填写列联表，求出K2，判断是否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”（3）求出男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，上网时间少于60分钟的有3人，记为A，B，C，上网时间不少于60分钟的有2人，记为D，E，从中取2人，总的基本事件数，“至少有一人上网时间不少于60分钟”的事件数，即可求概率【解答】解：（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，解得x=180，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是180，（2）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟
24、合计男生6040100女生7030100合计13070200其中K2=2.1982.706 故不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” （3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，所以5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为A，B，C，上网时间不少于60分钟的有2人，记为D，E，从中取2人，总的基本事件为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10个，其中“至少有一人上网时间不少于60分钟”包含有7个事件，所以所求概率为0.7 19如图，三棱锥OABC的三条棱OA，O
25、B，OC两两垂直且OA=OB=OC=，ABC为等边三角形，M为ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=MP，PA=PB（1）证明：AB平面POC；（2）求三棱锥APBC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明ABOC，ABPO，即可证明AB平面POC；（2）利用等体积转换，即可求三棱锥APBC的体积【解答】（1）证明：因为三棱锥OABC的三条棱OA，OB，OC，所以OCOA，OCOB，因为OAOB=O，所以OC平面OAB，而AB平面OAB，所以ABOC 取AB中点D，连结OD，PD由OA=OB有ABOD由PA=PB有ABPD 因为ODPD=D，所以AB
26、平面POD，而PO平面POD，所以ABPO 因为OCOP=O，所以AB平面POC，（2）解：由已知可得VCOAB=，且AB=AC=BC=2SABC= 设点O、P到平面ABC的距离分别为h1，h2，由VOABC=VCOAB得， SABCh1=，则h1= =，h2= VAPBC=VPABC=SABCh2= 20已知曲线C1：=1（a0，b0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点【考点】双曲线的简单性
27、质；椭圆的简单性质【分析】（）由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为，利用曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，求出a，b，即可求曲线C1的方程；（）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k无关），可证直线AC恒过定点就可解决【解答】（）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，=即a2=b2，a=b=1，曲线C1的方程为x2y2=1； （）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+ 与双曲线方程x2y2=1联立，可得（n21）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），
28、则y1+y2=，y1y2=，由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：yy2=（x） 令y=0，可得x= 直线AC过定点（，0） 21已知函数f（x）=x2alnxx（a0）（1）若f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若a0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是函数f（x）图象上的任意两点，记直线AB的斜率为k，求证：f（）k【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导数，利用f（x）在x=处取得极值，即可求实数a的值；（2）欲证f（）k，只须证明：，又ln 即需证明（1+）ln2（1）0，令=t（0，1），得到新函数，求导数，即可
29、证明结论【解答】（1）解：f（x）=，f（x）在x=处取得极值，a=0，解得a= 经检验，当a=时，函数f（x）在x=处取得极小值a=；（2）证明：f（x）=，f（）=x1+x21由题，k=（x1+x2）1 因为a0，故欲证f（）k，只须证明：又ln 即需证明（1+）ln2（1）0 令=t（0，1），则g（t）=（1+t）lnt2t+2，g（t）=lnt+1，g（t）=0，g（t）在（0，1）上递减，g（t）g（1）=0g（t）在（0，1）上递增，g（t）g（1）=0，（1+）ln2（1）0成立，即f（）k选做题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一个题目计分)选
30、修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP（1）证明：ADE=AED；（2）证明PC=PA【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）根据弦切角定理，得到BAP=C，结合PE平分APC，可得BAP+APD=C+CPE，最后用三角形的外角可得ADE=AED；（2）通过内角相等证明出APCBPA，根据AC=AP得到APC=C，结合（I）中的结论可得APC=C=BAP，再在APC中根据直径BC得到PAC=90+BAP，利用三角形内角和定理可得C=APC=BAP=30利用直角三角形中正切的定义，得到=
31、，即可证明结论【解答】证明：（1）PA是切线，AB是弦，BAP=C又APD=CPE，BAP+APD=C+CPEADE=BAP+APD，AED=C+CPEADE=AED； （2）由（1）知BAP=C，又APC=BPA，APCBPA，AC=AP，BAP=C=APC，由三角形的内角和定理知：C+APC+PAC=180，BC是圆O的直径，BAC=90C+APC+BAP=90，C=APC=BAP=30，在RtABC中， =，=，PC=PA 选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，曲线C2：（为参数），
32、曲线C3：（cos2sin）=7（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，利用cos2t+sin2t=1可得参数方程由曲线C2：（为参数），利用平方关系消去参数，可得普通方程由曲线C3：（cos2sin）=7，利用y=sin，x=cos即可化为直角坐标方程（2）设Q（4cos，3sin），Q到曲线C3的距离为d=（其中tan=）利用三角函数的单调性与值域即可得出【解答】解：（1）
33、由曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，可得参数方程： （t为参数）由曲线C2：（为参数），消去参数，可得普通方程： =1由曲线C3：（cos2sin）=7，可化为直角坐标方程：x2y7=0（2）设Q（4cos，3sin），Q到曲线C3的距离为d=（其中tan=）0，2），当sin（）=1时取得最大值，d的最大值为选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）a+2xx2在R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得|x1|+|x+1|2x+x2a 恒成立，令g（x）=|x1|+|x+1|+x22x，依据单调性求得g（x）的最小值，可得a的范围【解答】解：（1）原不等式等价于，或，或解x求得，解求得 x，解求得 x，不等式的解集为x|x，或 x（2）f（x）a+2xx2在R上恒成立，即|x1|+|x+1|2x+x2a 恒成立，令g（x）=|x1|+|x+1|+x22x=，当x（，1时，g（x）单调递减，当x1，+）时，g（x）单调递增，所以当x=1时，g（x）的最小值为1由题意可得1a，即a1，实数a的取值范围是（，1）21
