1、2015-2016学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1+2iBi1C1iD12i2设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）可能为（）ABCD3已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点是圆x2+（y3）2=4的圆心，则抛物线的方程是（）Ay2=6xBx2=6yCy2=12xDx2=12y4已知ABC中，A=30，B=60，求证ab证明：A=30，B=60，AB，ab，画线部分是演绎推理的是（）A大前提B小前提C结论D三段论5已知两直线y=ax+2和y=（a+
2、2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D16函数y=x2lnx的单调递减区间为（）A（1，1B（0，1C1，+）D（0，+）7若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则|PF1|PF2|的值是（）ABCbnDam8设点P是曲线y=x32x2+（4）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A，）B（，C0，），）D0，），）9已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D +110设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，
3、类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD11定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）20，f（0）=3，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，0）（3，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（3，+）12如图，已知椭圆+=1（ab0），点P是椭圆上位于第一象限的点，点F为椭圆的右焦点，且|OP|=|OF|，设FOP=且，则椭圆离心率的取值范围为（）A1，B2，C1，D2，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设函数f
4、（x）=exe2x，则f（x）的最小值为14过P（8，3）作双曲线9x216y2=144的弦AB，且P为弦AB中点，那么直线AB的方程为15如果P1，P2，P3是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3F是抛物线C的焦点，若x1+x2+x3=10，则|P1F|+|P2F|+|P3F|=16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的“拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有“拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且“拐点
5、”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称；存在三次函数y=f（x），f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的对称中心；存在三次函数的图象不止一个对称中心；若函数g（x）=x3x2，则g（）+g（）+g（）+g（）=1008其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17已知椭圆C的两个焦点分别为F1（，0），F2（，0），短轴的两个端点分别为B1、B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且l的斜率为1，求|
6、PQ|的长18设函数f（x）=x3x2+2x+a（1）当a=时，求函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程；（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取值范围19已知圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（mR）（1）求证：直线l过定点A（3，1），且直线l与圆C 相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克（1）求a的
7、值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值21已知椭圆C经过点（1，）和（2，），求（1）椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由22已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x33a2x，（a0）（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围2015-2016学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小
8、题，每小题5分，满分60分）1复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1+2iBi1C1iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z=+i3=i=（i1）i=12i，其共轭复数为1+2i，故选：A2设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）可能为（）ABCD【考点】函数的图象；导数的运算【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（，0）上递增；在（0，+）上先增再
9、减再增在区间（，0）上f（x）0，在（0，+）上先有f（x）0再有f（x）0再有f（x）0故选D3已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点是圆x2+（y3）2=4的圆心，则抛物线的方程是（）Ay2=6xBx2=6yCy2=12xDx2=12y【考点】抛物线的简单性质【分析】结合题目所给条件，得出抛物线的焦准距，即可得出答案【解答】解：抛物线的焦点是圆x2+（y3）2=4的圆心，抛物线的焦点为（0，3），又抛物线的顶点为坐标原点，=3，p=6，抛物线的方程为x2=12y故选：D4已知ABC中，A=30，B=60，求证ab证明：A=30，B=60，AB，ab，画线部分是演绎推理的是（）A大前提B小前提C结
10、论D三段论【考点】演绎推理的意义【分析】首先把求证：ab写成三段论形式，即可看出证明画线部分是演绎推理的小前提【解答】解：“求证：ab”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：而A=30，B=60，则AB结论：所以ab故证明画线部分是演绎推理的小前提故选：B5已知两直线y=ax+2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】先求出求出两直线的斜率，利用两直线垂直，斜率之积等于1 求得a值【解答】解：直线y=ax+2的斜率等于a，y=（a+2）x+1 的斜率为 （a+2），两条直线y=ax+2和y=（a+2）x+1
11、互相垂直，a（a+2）=1，解得 a=1，故选：D6函数y=x2lnx的单调递减区间为（）A（1，1B（0，1C1，+）D（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由y=x2lnx得y=，由y0即可求得函数y=x2lnx的单调递减区间【解答】解：y=x2lnx的定义域为（0，+），y=，由y0得：0x1，函数y=x2lnx的单调递减区间为（0，1故选：B7若椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则|PF1|PF2|的值是（）ABCbnDam【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合|PF1|PF2|=，即可得到结论【解答】解：椭圆和双曲
12、线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，|PF1|+|PF2|=2，|PF1|PF2|=2，|PF1|PF2|=am故选D8设点P是曲线y=x32x2+（4）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A，）B（，C0，），）D0，），）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得函数的导数，设出切点P（m，n），可得切线的斜率，配方可得斜率的最小值，由正切函数的图象，即可得到所求范围【解答】解：y=x32x2+（4）x的导数为y=x24x+4=（x2）2，设P（m，n），可得切线的斜率为k=tan=（m2）2，即有tan，可得0，），）故选：D9已知P是抛物线y2=4x上
13、的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D +1【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x3）2+（y1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），N与F重合过圆（x3）2+（y1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1=3故选：A10设ABC的三边长分别
14、为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为R=故选C11定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（
15、x）20，f（0）=3，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，0）（3，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（3，+）【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】令F（x）=exf（x）2ex1，从而求导F（x）=ex（f（x）+f（x）2）0，从而由导数求解不等式【解答】解：解：令F（x）=exf（x）2ex1则F（x）=exf（x）+f（x）20，故F（x）是R上的单调增函数，而F（0）=e0f（0）2e01=0，故不等式exf（x）2ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+）故选：B12如图，已知椭圆+=
16、1（ab0），点P是椭圆上位于第一象限的点，点F为椭圆的右焦点，且|OP|=|OF|，设FOP=且，则椭圆离心率的取值范围为（）A1，B2，C1，D2，【考点】椭圆的简单性质【分析】通过设椭圆的左焦点为F，作点P关于原点对称的点B，连接PF、BF、PF、BF构造矩形PFBF，用的三角函数值表示|PF|、|BF|，进而利用离心率公式计算即得结论【解答】解：设椭圆的左焦点为F，作点P关于原点对称的点B，连接接PF、BF、PF、BF，则四边形PFBF为矩形因此|PB=|FF|=2c，|PF|+|BF|=2a，|PF|=2csin，|BF|=2ccos，2csin+2ccos=2a，e=，又，+，si
17、n（+），=sin（+），e1，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设函数f（x）=exe2x，则f（x）的最小值为e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可【解答】解：f（x）=exe2，令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（，2）递减，在（2，+）递增，f（x）f（2）=e2，故答案为：e214过P（8，3）作双曲线9x216y2=144的弦AB，且P为弦AB中点，那么直线AB的方程为3x2y18=0【考点】双曲线的简单性质【分析】设出A，B的坐标，代入双
18、曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P为弦AB中点，可得x1+x2=16，y1+y2=6，又9x1216y12=144，9x2216y22=144，相减可得，9（x1+x2）（x1x2）16（y1+y2）（y1y2）=0，即为9（x1x2）6（y1y2）=0，可得kAB=，则直线的方程为y3=（x8），即3x2y18=0故答案为：3x2y18=015如果P1，P2，P3是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3F是抛物线C的焦点，若x1+x2+
19、x3=10，则|P1F|+|P2F|+|P3F|=16【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线性质得|PnF|=xn+=xn+2，由此能求出结果【解答】解：P1，P2，P3是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，F是抛物线C的焦点，x1+x2+x3=10，|P1F|+|P2F|+|P3F|=（x1+2）+（x2+2）+（x3+2）=x1+x2+x3+6=16故答案为：1616对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的
20、“拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有“拐点”，任何三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心请你根据这一结论判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称；存在三次函数y=f（x），f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的图象的对称中心；存在三次函数的图象不止一个对称中心；若函数g（x）=x3x2，则g（）+g（）+g（）+g（）=1008其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）【考点】导数的运算；函数的值【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a
21、0）的对称中心；利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；由函数g（x）的对称中心是（，），得g（x）+（g（1x）=1，由此能求出答案【解答】解：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），f（x）=3ax2+2bx+c，f（x）=6ax+2b，f（x）=6a（）+2b=0，任意三次函数都关于点（，f（）对称，即正确；任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为y=f（x）的对称中心，即正确；任何三次函数都有且只有一个对称中心，故不正确；g（x）=x2x，g（x）=2x1，令g（x）=0，可得x=，g（）=，g（x）=x3x2
22、对称中心为（，），g（x）+g（1x）=1，g（）+g（）+g（）+g（）=11008=1008，故正确故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17已知椭圆C的两个焦点分别为F1（，0），F2（，0），短轴的两个端点分别为B1、B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且l的斜率为1，求|PQ|的长【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）利用椭圆的几何性质得出a，b，c之间的关系解出a，b，c即可；（2）联立直线方程与椭圆方程得出P，Q坐标的关系，代入弦长公式计算【解答】解：（1）设椭圆方程为，（ab0）椭圆焦点坐标
23、为F1（，0），F2（，0），c=，由椭圆的定义得B1F1=a，B1B2=2b，F1B1B2为等边三角形，解得a=2，b=1椭圆的方程为（2）直线l的方程为y=x联立方程组，得5x28x+8=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=|PQ|=18设函数f（x）=x3x2+2x+a（1）当a=时，求函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程；（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得f（x）的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点坐标，运用点斜式方程可
24、得切线的方程；（2）求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，由题意可得f（x）的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求a的范围【解答】解：（1）当a=时，f（x）=x3x2+2x，导数f（x）=x23x+2，可得在点（3，f（3）处的切线斜率为k=99+2=2，切点为（3，0），可得函数y=f（x）图象上在点（3，f（3）处的切线方程为y=2（x3），即为2xy6=0；（2）函数f（x）=x3x2+2x+a的导数为f（x）=x23x+2，当1x2时，f（x）0，f（x）递减；当x2或x1时，f（x）0，f（x）递增可得f（x）在x=1处取得极大值，且为+a；f（x）在x=2处取得极小
25、值，且为+a由方程f（x）=0有三个不等实根，可得+a0，且+a0，解得a则a的取值范围是（，）19已知圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（mR）（1）求证：直线l过定点A（3，1），且直线l与圆C 相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）将点A的坐标代入直线l的方程，得出方程成立即可证明l过定点A；再由|AC|r，证明直线l与圆C相交；（2）由平面几何的知识得l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，由此求出直线l的方程【解答】解：（1）证明：将点A（3，1）代入直线l的方程，得左边=3（2m+1
26、）+（m+1）=7m+4=右边，所以直线l过定点A；又|AC|=5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交；（2）由平面几何的知识可得，l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，因为kAC=，所以直线l的斜率为kl=2，所以直线l的方程为y1=2（x3），即2xy5=0为直线l被圆C截得的弦长最短时的方程20某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x
27、的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）由x=5时，y=11，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【解答】解：（1）因为x=5时，y=11，y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数所以+10=11，故a=2；（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+10（x6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x3）+
28、10（x6）2=2+10（x3）（x6）2，3x6从而，f（x）=10（x6）2+2（x3）（x6）=30（x6）（x4），于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（3，4）4（4，6） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大21已知椭圆C经过点（1，）和（2，），求（1）椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线
29、PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将两点坐标代入椭圆的标准方程解方程组得出a，b；（2）设两条直线方程分别为y=kx+1，y=x+1，分别与椭圆方程联立解出P，Q坐标得出直线PQ的方程，即可得出定点坐标【解答】解：（1）设椭圆方程为（a0，b0且ab），解得a2=9，b2=1椭圆方程为：（2）椭圆的上顶点为B（0，1），由题意可知直线BP的斜率存在且不为0设直线BP的方程为y=kx+1，则直线BQ的方程为y=x+1联立方程组，得（1+9k2）x2+18kx=0，P（，），同理可得Q（，）直线PQ的斜率kPQ=，PQ的直线方程为y=（x），即y=
30、x直线PQ过定点（0，）22已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x33a2x，（a0）（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由导数求出函数的单调区间，由单调性求出函数的最大值；（2）由f（x1）g（x2）恒成立，等价于f（x1）maxg（x2）max，通过讨论a的范围，确定g（x）的单调区间，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围【解答】解：（1）f（x）=lnxx+1，x（0，+），f（x）=，当0x1时，f（x）0，当x1
31、时，f（x）0，f（x）f（1）=0，f（x）的最大值为0；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，依题意地f（x1）maxg（x2）max，其中x1（0，+），x21，2，由（1）知f（x1）max=f（1）=0而g（x）=3（xa）（x+a），（a0），0a1时，x1，2，g（x）0恒成立，g（x）在1，2递增，此时g（x）max=g（2）=86a2，由题意得，0a1；1a2时，x（1，a），g（x）0，x（a，2），g（x）0，g（x）在（1，a）递减，在（a，2）递增，g（x）max=maxg（2），g（1），若g（1）g（2），即13a286a2即a2，此时13a20不合题意；若g（1）g（2）即13a286a2，即a2，1a，由题意得，1a，a2时，x1，2，g（x）0恒成立，g（x）在1，2递减，g（x）max=g（1）=13a20不合题意，综上，a（0，2016年9月5日第17页 共17页
