1、 青海省西宁市高一下学期期末考试数学试题一、选择题1若，则下面一定成立的是( )A. B. C. D. 2把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 以上都不对3不等式表示的区域在直线的( )A. 右上方 B. 右下方 C. 左上方 D. 左下方4已知在等比数列中，则( )A. B. 3 C. D. 55下列叙述错误的是( )A. 若事件发生的概率为，则B. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C. 两个对立事件的概率之和为1D. 对于任意两个事件和
2、，都有6两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东，在的南偏东，则两灯塔之间距离为( )A. B. C. D. 7如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值分别为A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，78执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 59在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A. B. C. D. 10登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温181310山高24343864由表中数据，得到线性
3、回归方程为，由此估计山高为处气温的度数为( )A. B. C. D. 11已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组，所形成的区域为，在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率为( )A. B. C. D. 12若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为( )A. B. C. D. 二、填空题13为钝角三角形，且为钝角，则与的大小关系为_14将某班的60名学生编号为：01，02，03，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是_15已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列，则数列的通项公式为_16若，与的等差中项是5，则的最大值是_三、解答题
4、17为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18B362C54（）求，；（）若从高校抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校的概率.18袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？19已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)若等比数列满足，求数列的前项和.20某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100
5、名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.21在中，.(1)求的值；(2)若，求的面积.22设函数.(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若，求的最小值. 青海省西宁市高一下学期期末考试数学试题一、选择题1若，则下面一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】ab，故当c=0时，ac=bc=0
6、，故A不成立。当b=0时，显然B.C不成立。对于ab，由于c20，故有，故D成立。故选D.2把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 以上都不对【答案】C【解析】黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件故选：C3不等式表示的区域在直线的( )A. 右上方 B. 右下方 C. 左上方
7、D. 左下方【答案】A【解析】取坐标原点，可知原点在直线x+y1=0的左下方(0,0)代入，使得x+y10表示的平面区域在直线x+y1=0的右上方。故选A .4已知在等比数列中，则( )A. B. 3 C. D. 5【答案】B【解析】解答：设公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a1q4，即9=1q4，解得q2=3，a3=a1q2=3，故选B.5下列叙述错误的是( )A. 若事件发生的概率为，则B. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C. 两个对立事件的概率之和为1D. 对于任意两个事件和，都有【答案】D【解析】解答：根据概率的定义可得若事件A发生的概率为P(A)，则0P(
8、A)1，故A正确。根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，且两个对立事件的概率之和为1，故B.C正确。对于任意两个事件A和B，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)，只有当A.B是互斥事件时，才有P(AB)=P(A)+P(B)，故D不正确，故选D.6两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东，在的南偏东，则两灯塔之间距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示：易得ACB=90，AC=BC=a.在ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，所以AB=（km）.故选C .7如图所示的茎叶图记录了甲
9、、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值分别为A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7【答案】A【解析】由已知中甲组数据的中位数为，故乙数据的中位数为，即，可得乙数据的平均数为，即甲数据的平均数为，故 ，故选.【方法点睛】本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于难题.要解答本题首先要弄清中位数、平均数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据；（3）平均数既是样本数据的算数平均数 .8执行
10、下面的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】当输入时，由于，显然满足；，显然满足；，显然满足；，显然满足；，显然不满足输出S=2故选：A点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，由正弦定理得：，即，,C有两解，故选：B10登山族为了了解某山高与气温之间的关系，
11、随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温181310山高24343864由表中数据，得到线性回归方程为，由此估计山高为处气温的度数为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，=10，=40，代入到线性回归方程，可得=60，y=2x+60，由=2x+60=72，可得x=6，故选：C.11已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组，所形成的区域为，在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示,OAB对应的区域为1,OBC对应的区域为2，联立,解得C(1,2)，SOBC=31=,SOAB=33=，由几何概型可知,该点落在
12、区域2的概率P= =，故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率12若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于一切成立，则等价为a对于一切x(0,)成立，即ax对于一切x(0,)成立，设y=x,则函数在区间(0,上是增函
13、数x2=，a.故选：C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.二、填空题13为钝角三角形，且为钝角，则与的大小关系为_【答案】【解析】ABC为钝角三角形，且C为钝角cosC0cosC=，故答案为：14将某班的60名学生编号为：01，02，03，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是_【答案】【解析】用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，随机抽得的一个号码为04
14、则剩下的四个号码依次是16、28、40、52.故答案为：16、28、40、5215已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列，则数列的通项公式为_【答案】【解析】数列an是公差d0的等差数列，成等比数列，=a2a8，(2+3d)2=(2+d)(2+7d)，化为2d24d=0，解得d=2或d=0(舍).an=2+2(n1)=2n.故答案为：an=2n.16若，与的等差中项是5，则的最大值是_【答案】【解析】a0，b0，a与b的等差中项是5，可得a+b=10，由ab（）2=25，当且仅当a=b=5取得最大值25，故答案为：25点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满
15、足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误三、解答题17为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18B362C54（）求，；（）若从高校抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校的概率.【答案】()，；()【解析】试题分析：()利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；()利用列举法得到所有和符合题意的基本事件和基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解试题解析：（）由题意可得，.（）记从高校抽取的2
16、人为，从高校抽取的3人为，则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，共10种.设选中的2人都来自高校的事件为，则包含的基本事件有，共3种，因此，故选中的2人都来自高校的概率为.【考点】1.分层抽样；2.古典概型18袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，.【解析】试题分析：分别以A、B、C、D表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，
17、求解方程组得答案试题解析：解：设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为，则它们彼此是互斥事件.由题意得，又事件与事件对立，所以，而，所以，所以，所以，所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，.19已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)若等比数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：1）由n=1时，a1=S1；n2时，an=SnSn1，即可得到所求通项公式；（2）设等比数列bn的公比为q，运用等比数列的通项公式，计算可得公比q，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求和试题解析：解：(1)已知，当时，当时，也适合.所以数列的通项公式为.(2
18、)由(1)知，得，.设等比数列的公比为，则，得，所以.20某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】(1) ;(2) 20;(3) .【解析】试题分析：（）根据频率=组距高，可得分数小于70的概率为：1
19、（0.04+0.02）10；（）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等进而得到答案试题解析：(1)由频率分布直方图知，分数在的频率为，分数在的频率为，则分数小于70的频率为，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为.(2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间的人数为(人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间内的人数为(人)，设总体中分数在区间内的人数为，则，得，所以总体中分数在区间内的人数为2
20、0人.(3)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为(人)，已知分数不小于70的男女生人数相等，故分数不小于70分的男生人数为30人，又因为样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：，即女生的频率为：，即总体中男生和女生人数的比例约为：.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和21在中，.(1)求的值；(2)若，求的面积.【答案
21、】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可试题解析：(1)，由正弦定理得，.(2)，则，由(1)可得，.22设函数.(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由不等式f（x）0的解集（1，3）1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；（2）由f（1）=3，得到a+b=2，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值试题解析：(1)由的解集是知是方程的两根.由根与系数的关系可得，解得.(2)得，当且仅当时取得等号，的最小值是.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.第 20 页 共 20 页
