1、241 函数的零点函数的零点请先思考一个问题请先思考一个问题:已知二次函数已知二次函数y=x2x6，试问，试问x取哪些取哪些值时，值时，y=0?求使求使y=0的的x值，也就是值，也就是求二次方程求二次方程x2x6=0的所有根的所有根.解此方程得解此方程得x1=2，x2=3。这就是说，当这就是说，当x=2或或x=3时，这个函数时，这个函数的函数值的函数值y=0。画出这个函数的画出这个函数的简图，从图象上可以简图，从图象上可以看出，它与看出，它与x轴相交于轴相交于两点两点(2，0)、(3，0)。这两点把这两点把x轴分成三个区间轴分成三个区间(，2)、(2，3)、(3，+)。当当x(，2)时，时，y
2、0；当；当x(2，3)时，时，y0.二次方程二次方程x2x6=0的根的根2，3常称作函数常称作函数y=x2x6的零点。在坐标系中表示的零点。在坐标系中表示图象与图象与x轴的公共点轴的公共点是是(2，0)、(3，0)。零点的定义零点的定义：一般地，如果函数一般地，如果函数y=f(x)在实数处在实数处 的值的值等于等于0，即，即f()=0，则，则 叫做这个函数的零叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点轴的公共点是是(，0)。aaaa我们知道，对于我们知道，对于二次函数二次函数y=ax2+bx+c：当当=b24ac0时，方程时，方程ax2+bx+c=0有两有两个
3、不相等的实数根，这时说二次函数个不相等的实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c有有两个零点两个零点；当当=b24ac=0时，方程时，方程ax2+bx+c=0有有两个相等的实数根，这时说二次函数两个相等的实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c有一个有一个二重的零点二重的零点或说有或说有二阶二阶零点零点；当当=b24ac0时，方程时，方程ax2+bx+c=0没没有实数根，这时说二次函数有实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c没有零点没有零点；考虑函数考虑函数是否有零点是否有零点是研究函数性质和精是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步。确地画出函数图象的重要一步。例如求出例如求出二
4、次函数的零点二次函数的零点及其图象的及其图象的顶点顶点坐标坐标，就能确定二次函数的一些，就能确定二次函数的一些主要性质主要性质，并能并能粗略地画出函数的简图粗略地画出函数的简图。另外，我们还能另外，我们还能从二次函数的图象看到二次从二次函数的图象看到二次函数零点函数零点的性质：的性质：（1）当函数图象通过零点）当函数图象通过零点且穿过且穿过x轴时轴时，函函数值变号数值变号。如上例，函数。如上例，函数y=x2x6的图象的图象在零点在零点2的左边时，函数值取正号，当它通的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点过第一个零点2时，函数值由正变为负，再时，函数值由正变为负，再通过第二个零点通过第二个零
5、点3时，函数值又由负变正。时，函数值又由负变正。（2）两个零点把）两个零点把x轴分成三个区间：轴分成三个区间：(，2)、(2，3)、(3，+)，在每个区间上，所有函数值在每个区间上，所有函数值保持同号保持同号。例例1.求函数求函数y=x32x2x+2的零点，并画出的零点，并画出它的图象。它的图象。解：因为解：因为x32x2x+2=x2(x2)(x2)=(x2)(x+1)(x1).所以函数的零点为所以函数的零点为1，1，2.3个零点把个零点把x轴分成轴分成4个区间：个区间：(，1)、(1，1)、(1，2)、(2，+)。在这四个区间内，取在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，的一些值，以及零点，
6、列出这个函数的对应值表：列出这个函数的对应值表：x1.51 0.5 00.511.522.5y4.38 01.8821.1300.6302.63在直角坐标系内描在直角坐标系内描点连线，这个函数点连线，这个函数的图象如图所示。的图象如图所示。例例2求函数求函数f(x)=x3x的零点，并画出它的图的零点，并画出它的图象。象。解：解：x3x=x(x+1)(x1)，令，令f(x)=0，即，即x(x+1)(x1)=0，解得解得x1=0，x2=1，x3=1，所以函数，所以函数y=f(x)的零点有三个，为的零点有三个，为1，0，1，这三个点把这三个点把x轴分成四个区间，轴分成四个区间，(，1)、(1，0)、
7、(0，1)、(1，+)，在这四个区间，在这四个区间中取一些中取一些x的值，列出函数的对应值表：的值，列出函数的对应值表：x1.510.500.511.5y 1.87500.37500.37501.875在直角坐标系中描在直角坐标系中描点作图得到图象。点作图得到图象。f(x)=x3x思考问题：思考问题：1 1、在零点两侧附近函数值的符号怎样？、在零点两侧附近函数值的符号怎样？2 2、相邻两个零点之间的所有的函数值、相邻两个零点之间的所有的函数值符号有什么关系？符号有什么关系？二次函数零点的性质二次函数零点的性质1 1、当函数的图象通过零点时、当函数的图象通过零点时（），函数值变号。），函数值变号
8、。2 2、相邻两个零点之间的所有函数值保、相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。持同号。不是二重零点不是二重零点思考：思考：函数函数y =x2 2-2-2x+1+1在零点两侧附近函数值的在零点两侧附近函数值的符号怎样？符号怎样？猜想：猜想：二次函数有这样的性质对任二次函数有这样的性质对任意函数是否有同样的性质？意函数是否有同样的性质？xyx1x5x2x3x4结论：对任意函数，只要它的图象是连续结论：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立不间断的，上述性质同样成立 问题探究问题探究观察函数的图象观察函数的图象在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；f(a).f(b
9、)_0（或）（或）在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零零点；点；f(b).f(c)_ 0（或）（或）在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零零点；点；f(c).f(d)_ 0（或）（或）知识探究：知识探究：函数零点存在性原理函数零点存在性原理-15-43有有有有有有结结论论abxy0ab0yxab0yxab0yxabb bbb bbbbbbbbbbbbxy0思考：若函数思考：若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零内有零点，一定能得出点，一定能得出f(a)f(b)0的结论吗？的结论吗？思考：若函数思考：若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内满足内满足f(a)f(b)0且单
10、调，会有什么性质？且单调，会有什么性质？v如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数的，并且在闭区间的两个端点上的函数值值互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那那么这个函数在么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零内必有惟一的一个零点。点。abxy01.函数函数y=f(xy=f(x)在区间在区间a,ba,b 上的图象是连续不上的图象是连续不断的曲线，且断的曲线，且f(a)f(bf(a)f(b)0)0f(0)0，f(1)f(2)f(4)0f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是，则下列命题正确的是 （）A.A.
11、函数函数f(xf(x)在区间（在区间（0 0，1 1）内有零点）内有零点 B.B.函数函数f(xf(x)在区间（在区间（1 1，2 2）内有零点）内有零点 C.C.函数函数f(xf(x)在区间（在区间（0 0，2 2）内有零点）内有零点 D.D.函数函数f(xf(x)在区间（在区间（0 0，4 4）内有零点）内有零点D课堂练习：课堂练习：对于函数对于函数y=f(x),叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点使使f(x)=0的实数的实数x代数法代数法图像法图像法小小 结结 对于函数对于函数y=f(x)在实数在实数处的函数值等于处的函数值等于0 0，即，即 f()=0 则则叫做这个函数的零点。叫做这个函数的零点。v如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，的，并且在闭区间的两个端点上的函数值并且在闭区间的两个端点上的函数值互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。内必有惟一的一个零点。函数零点存在性原理函数零点存在性原理
