1、函数的奇偶性与单调性一选择题1已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）2已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）f（1）的实数x的取值范围是（）A（，2） B（2，+）C（，1）（1，2） D（，1）（2，+）3若函数y=f（x）+cosx在上单调递减，则f（x）可以是（）A1 Bsinx Ccosx Dsinx4已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos） Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（co
2、s） Df（sin）f（cos）5已知函数f（x）=x在0，1）上的最大值为m，在（1，2上的最小值为n，则m+n=（）A2 B1 C1 D26若xlog521，则函数f（x）=4x2x+13的最小值为（）A4 B3 C1 D0二填空题7已知y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=lnxax（a），当x（2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于 8设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）=0，则xf（x）0的解集是 9奇函数f（x）的定义域为（5，5），若x0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）0的解集为 10设f（x）的定义域为D，f（x）
3、满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，f（x）在a，b上的值域为a，b如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是 11如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”给出下列函数：y=x3+x+1； y=3x2（sin xcos x）；y=ex+1； f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为 12 已知函数f（x）=在区间（，a上单调递减，在（a，+）上单调递增，则实数a的取值范围是 1313若函数f（x）=|ex+|在0，1上单调递减，则实
4、数a的取值范围是 14已知函数为减函数，则a的取值范围是 15设奇函数f（x）在1，1上是增函数，f（1）=1若函数f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，则当a1，1时，t的取值范围是 三解答题16对于函数，定义已知偶函数g（x）的定义域为（，0）（0，+），g（1）=0；当x0，且x1时，g（x）=f2018（x）（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（ab）使得函数g（x）在a，b上的值域为mb，ma，求实数m的取值范围17已知f（x）的定义域为xR|x0，且f（x）是奇函数，当x0时f（x）=x2+bx+c，若f（1）=
5、f（3），f（2）=2（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x0时的表达式18已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=log（1x）（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式19已知函数f（x）=kx+log9（9x+1）（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数g（x）=log9（a3xa）的图象与f（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围20已知函数f（x）=exex（xR，e=2.71828）（）求证：函数f（x）为奇函数；（）t为实数，且f（xt）+f（x2t2）0对一切实数x都成立，求t的值21已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x（0，1）时，
6、f（x）=（1）求函数f（x）在（1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当取何值时，方程f（x）=在上（1，1）有实数解？22已知函数是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域23已知定义在R上的函数f（x）=2xa2x为奇函数（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；（2）t为实数，且f（xt）+f（x2t2）0对一切实数x都成立，求t的值24 如果奇函数f（x）是定义域（1，1）上的减函数，且f（1m）+f（1m2）0，求实数m的取值范围25已知定义在3，3上的函数y=f（x）是增函数（1
7、）若f（m+1）f（2m1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1026设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、bR，当a+b0时，都有（1）若ab，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x23x）+f（29xk）0对任意x0，+）恒成立，求实数k的取值范围27已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=2x（）求f（1）的值；（）求f（x）的解析式；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求实数k的取值范围28已知函数（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x
8、2+x+3）+f（2x2+4x7）0；（3）若函数g（x）=lnx（x1）在（1，+）上单调递减，比较f（2）+f（4）+f（2n）与2n（nN*）的大小关系，并说明理由29已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，yR，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（）求函数f（x）的解析式（）判断函数f（x）在（1，+）上的单调性，并加以证明（）若g（2a）g（a1）+2，求实数a的取值范围30己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og2（1x）（1）求函数f（x）及g（x）的解析式； （2）用函数单调性的定义
9、证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数； （3）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围函数的奇偶性与单调性参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+）递减，故只需令2|a1|即可【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，f（x）在（0，+）上单调递减2|a1|0，f（）=f（），2|a1|=2|a1|，解得故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶
10、性的性质，属于中档题2已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）f（1）的实数x的取值范围是（）A（，2）B（2，+）C（，1）（1，2）D（，1）（2，+）【分析】由f（x）为R上的减函数便可根据条件得出，这样解该不等式即可得出实数x的取值范围【解答】解：f（x）为R上的减函数；由得：；解得x1，或x2；x的取值范围是（，1）（2，+）故选D【点评】考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及分式不等式的解法3若函数y=f（x）+cosx在上单调递减，则f（x）可以是（）A1BsinxCcosxDsinx【分析】显然y=cosx在上没有单调性，从而说明y=1+cosx和y=2cosx在
11、上没有单调性，即说明选项A，C错误而f（x）=siinx时，可以得到y=，可换元令=t，可以说明在上单调递减，从而得出选项B正确，同样的方法说明选项D错误【解答】解：A若f（x）=1，则y=1+cosx，显然cosx在上没有单调性；y=1+cosx在上没有单调性，即该选项错误；B若f（x）=sinx，则y=sinx+cosx=sin（）；令，则：sint在上单调递增；y=在上单调递减；y=sinx+cosx在上单调递减，即该选项正确；C同A，可说明C选项错误，D同B可说明D选项错误故选B【点评】考查正、余弦函数的单调性，根据图象判断函数单调性的方法，要熟悉正余弦函数的图象，以及换元法判断函数单
12、调性4已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（sin）f（cos）【分析】由“奇函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数”可知f（x）在0，1上为单调递减函数，再由“、为锐角三角形的两内角”可得到+，转化为0，两边再取正弦，可得1sinsin（）=cos0，由函数的单调性可得结论【解答】解：奇函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数f（x）在0，1上为单调递减函数，f（x）在1，1上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，+，0，1sinsin（）=cos0，f
13、（sin）f（cos），故选：D【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性属中档题5已知函数f（x）=x在0，1）上的最大值为m，在（1，2上的最小值为n，则m+n=（）A2B1C1D2【分析】通过变形可知f（x）=1+sinx，进而可知当x0，1）时，函数g（x）=+sinx满足g（2x）=g（x），由此可知在区间0，1）（1，2上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论【解答】解：f（x）=x=1+sinx，记g（x）=+sinx，则当x0，1）时，g（2x）=+sin（2x）=sinx，即在区间0，1）（1，2上，函数f（x）关于点（1，1）中
14、心对称，m+n=2，故选：D【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题6（2017广西一模）若xlog521，则函数f（x）=4x2x+13的最小值为（）A4B3C1D0【分析】由条件求得xlog25，令t=2x（t），即有y=t22t3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值【解答】解：xlog521，即为xlog25，2x，令t=2x（t），即有y=t22t3=（t1）24，当t=1，即x=0时，取得最小值4故选：A【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题二填空题（共
15、9小题）7已知y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=lnxax（a），当x（2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1【分析】根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值【解答】解：f（x）是奇函数，x（2，0）时，f（x）的最小值为1，f（x）在（0，2）上的最大值为1，当x（0，2）时，f（x）=a，令f（x）=0得x=，又a，02，令f（x）0，则x，f（x）在（0，）上递增；令f（x）0，则x，f（x）在（，2）上递减，f（x）max=f（）=lna=1，ln=0，得a=1故答案为：1【点评】本题考查函
16、数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题8设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）=0，则xf（x）0的解集是（3，0）（0，3）【分析】由xf（x）0对x0或x0进行讨论，把不等式xf（x）0转化为f（x）0或f（x）0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果【解答】解：f（x）是R上的奇函数，且在（0，+）内是增函数，在（，0）内f（x）也是增函数，又f（3）=0，f（3）=0当x（，3）（0，3）时，f（x）0；当x（3，0）（3，+）时，f（x）0；xf
17、（x）0的解集是（3，0）（0，3）故答案为：（3，0）（0，3）【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题9（2017陕西校级模拟）奇函数f（x）的定义域为（5，5），若x0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）0的解集为（2，0）（2，5）【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在（5，0上的图象，这样根据f（x）在（5，5）上的图象便可得出f（x）0的解集【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f（x）在（5，0上的图象如下所示：f（x）0的解集为（2，0）（2，5）故答案为：（2，0）（2，5）【点评】考查奇函数的概念，奇函数
18、图象的对称性，由函数图象解不等式f（x）0的方法10设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，f（x）在a，b上的值域为a，b如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是【分析】函数f（x）=是，+）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）因此方程k=x在，+）上有两个不相等的实数根a、b最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：【解答】解：k是常数，函数y=是定义在，+）上的增函数，函数f（x）=是，+）上的增函数
19、，因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示），可得方程k=x在，+）上有两个不相等的实数根a、b令t=，得x=，设函数F（x）x=g（t），（t0）即g（t）=t2t，在t0，1时，g（t）为减函数1g（t）；在t1，+）时，g（t）为增函数g（t）1；当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x，当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：故答案为：【点评】本题以含有根式的函数为例，探求函数为闭函数时参数k的取值范围，着重考
20、查了函数的单调性、换元法讨论二次函数等知识点，属于中档题11如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”给出下列函数：y=x3+x+1； y=3x2（sin xcos x）；y=ex+1； f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（
21、x2）x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，不等式等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数对于y=x3+x+1；y=3x2+1，则函数在定义域上不单调；对于y=3x2（sinxcosx）；y=32（cosx+sinx）=32sin（x+）0，函数单调递增，满足条件；对于y=ex+1为增函数，满足条件；f（x）=，当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H函数”的函数为，故答案为：【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键12已知函数f（x）=在区间（，a上单调递减，在（a，+）上单调
22、递增，则实数a的取值范围是1，0【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可【解答】解：由y=x2在（，0）递减，故a0，由x+10，解得：x1，故a1，故答案为：1，0【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题13若函数f（x）=|ex+|在0，1上单调递减，则实数a的取值范围是（，e2e2，+）【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a0时，得出，求导数，根据题意f（x）0在x0，1上恒成立，从而得到ae2x在x0，1上恒成立，从而得出ae2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从
23、而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围【解答】解：（1）当a0时，；f（x）在0，1上单调递减；x0，1时，f（x）0恒成立；即x0，1时，ae2x恒成立；y=e2x在0，1上的最大值为e2；ae2；（2）当a=0时，f（x）=ex，在0，1上单调递增，不满足0，1上单调递减；a0；（3）当a0时，在R上单调递增；令得，；f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在0，1上为减函数；ae2；综上得，实数a的取值范围为（，e2e2，+）故答案为：（，e2e2，+）【点评】本题考查指数函数的值域，函数单调性和函数导数符号的关系，
24、考查增函数和减函数的定义、反比例函数的单调性、以及对数的运算性质14 已知函数为减函数，则a的取值范围是（0，【分析】由题意可知，y=ax递减，y=（a3）x+4a递减，且a0（a3）0+4a，由此可得关于a的不等式组，解出即可【解答】解：因为函数f（x）为减函数，所以y=ax递减，y=（a3）x+4a递减，且a0（a3）0+4a，所以，解得0a，故答案为：（0，【点评】本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题15设奇函数f（x）在1，1上是增函数，f（1）=1若函数f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，则当a1，1时，t的取值范围是t2或t=0或t2【分析】有f
25、（1）=1得f（1）=1，f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，只需要比较f（x）的最大值与t22at+1即可【解答】解：若函数f（x）t22at+1对所有的x1，1都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，1t22at+12att20，设g（a）=2att2（1a1），欲使2att20恒成立，则t2或t=0或t2答案：t2或t=0或t2【点评】本题把函数的奇偶性，单调性与最值放在一起综合考查，是道函数方面的好题三解答题（共15小题）16对于函数，定义已知偶函数g（x）的定义域为（，0）（0，+），g（1）=0；当x0，且x1时，g（x）=f2018（x）（1）求f2（x），f3（x），
26、f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（ab）使得函数g（x）在a，b上的值域为mb，ma，求实数m的取值范围【分析】（1）根据函数关系进行求解即可（2）根据函数奇偶性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可【解答】解：（1）因为，故对任意的nN，有f3n+i（x）=fi（x）（i=2，3，4），于是；由g（x）为偶函数，（6分）（2）由于y=g（x）的定义域为（，0）（0，+），又ab，mbma，可知a与b同号，且m0；进而g（x）在a，b递减，且ab0（8分）函数y=g（x）的图象，如图所示由题意，有（10分）故a，b是方程的两个不相等的负实数根，即方程mx2x1
27、=0在（，0）上有两个不相等的实根，于是（12分）综合上述，得：实数m的取值范围为（14分）注：若采用数形结合，得出直线y=mx与曲线有两个不同交点，并进行求解也可【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查学生的运算和推理能力17已知f（x）的定义域为xR|x0，且f（x）是奇函数，当x0时f（x）=x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x0时的表达式【分析】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值（2）当x0时，x是正数，代入题中正数范
28、围内的表达式得到f（x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x0时的表达式【解答】解：（1）f（1）=f（3），函数图象的对称轴x=2，得b=4又f（2）=4+42+c=2，c=2（2）由（1）得当x0时f（x）=x2+4x+2，当x0时，f（x）=（x）2+4（x）+2=x24x+2，f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=f（x）=x2+4x2【点评】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x0时的表达式着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法，属于基础题18已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=log（1x）（
29、1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式【分析】（1）利用函数的奇偶性的性质，求解函数值即可（2）利用函数的奇偶性以及已知条件真假求解函数的解析式即可【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=log（1x）f（0）=0，f（1）=f（1）=log（1+1）=1（2）f（x）是定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=log（1x）x0时，f（x）=f（x）=log（1+x）可得：f（x）=【点评】本题考查函数的性质，函数值以及函数的解析式的求法，考查计算能力19 已知函数f（x）=kx+log9（9x+1）（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数g（x
30、）=log9（a3xa）的图象与f（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解（2）根据函数g（x）和f（x）图象的交点个数进行讨论求解【解答】解：（1）f（x）是偶函数，由f（x）=f（x）得kx+log9（9x+1）=kx+log9（9x+1），整理得；（2）由题意知，方程只有一解，即有且只有一个实根，令t=3x，则t（0，+），从而方程有且只有一个正实根t，当a1=0时，（舍去），当a10时，若判别式=0，即+4a4=0，即4a2+9a9=0得a=3或a=，当a=时，t0，不满足条件舍去，若0，则t1t20，得，则a1，从而所求a的范围
31、是3（1，+）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数图象的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键考查学生的运算能力20 已知函数f（x）=exex（xR，e=2.71828）（）求证：函数f（x）为奇函数；（）t为实数，且f（xt）+f（x2t2）0对一切实数x都成立，求t的值【分析】（）求得f（x）的定义域，计算f（x）与f（x）的关系，即可得证；（）f（xt）+f（x2t2）0，即为f（x2t2）f（xt）=f（tx），判断f（x）在R上递增，去掉f，运用参数分离，求得右边二次函数的最小值，计算即可得到所求值【解答】解：（）证明：f（x）的定义域为R，f（x）=exex=（ex
32、ex）=f（x），即有函数f（x）为奇函数；（）f（xt）+f（x2t2）0，即为f（x2t2）f（xt）=f（tx），由f（x）=exex在R上为增函数，可得x2t2tx，即有t2+tx+x2，由x+x2=（x+）2，可得t2+t，即有（t+）20，但（t+）20，则t=【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用：解不等式，考查恒成立问题的解法，注意运用函数的性质和参数分离，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题21已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x（0，1）时，f（x）=（1）求函数f（x）在（1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3
33、）当取何值时，方程f（x）=在上（1，1）有实数解？【分析】（1）利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明（3）根据函数奇偶性和单调性的关系求出函数在（1，1）上的值域即可得到结论【解答】解：（1）函数f（x）是奇函数，f（0）=0，当x（1，0）时，x（0，1），则f（x）=f（x），则f（x）=x（1，0），故函数f（x）在（1，1）上的解析式为f（x）=；（2）设0x1x21，则f（x1）f（x2）=，0x1x21，2，20，则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），即函数f（x）在（0，1）上的单调递减；（3）f（x）在（0，1）上的单
34、调递减，当0x1时，f（1）f（x）f（0），即f（x），f（x）是奇函数，当1x0时，f（x），f（0）=0，在（1，1）上函数f（x）的取值范围是（，）（，）0，则若方程f（x）=在上（1，1）有实数解，则（，）（，）0【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的判断和应用，利用定义法以及函数单调性和值域之间的关系是解决本题的关键22（ ）已知函数是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域【分析】（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；（2）由（1）知，所以f（x）为增函数，任取x1x2
35、R，然后判定f（x1）f（x2）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；（3）令，求出2x，根据2x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，f（0）=0，a=1（2）由（1）知，所以f（x）为增函数证明：任取x1x2Rf（x1）f（x2）=11+=x1x2Rf（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）f（x）为R上的增函数（3）令则而2x01y1所以函数f（x）的值域为（1，1）【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题23 已知定义在R上的函数f（x）=2xa2x为奇函数（1）求a的值，并判断f（x）的单调性
36、（不用给证明）；（2）t为实数，且f（xt）+f（x2t2）0对一切实数x都成立，求t的值【分析】（1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（2）由奇函数f（x）的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值【解答】解：（1）f（x）=2xa2x为奇函数，f（0）=0，则1a=0，解得a=1，即f（x）=2x2x=2x，函数y=2x、y=在定义域上是增函数，f（x）=2x在R上单调递增；（2）f（x）是奇函数，且在R上是增函数，f（xt）+f（x2t2）0化为：f（x2t2）f（xt）=f（x+t），x2t2x+t，则x2+xt
37、2t0对一切实数x恒成立，=1241（t2t）0，则（2t+1）20，解得t=，t的值是【点评】本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题24 如果奇函数f（x）是定义域（1，1）上的减函数，且f（1m）+f（1m2）0，求实数m的取值范围【分析】根据定义域先建立两个不等关系式，再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式，解之即可【解答】解：因为函数f（x）的定义域是（1，1）所以有11m1 11m21 又f（x）是奇函数，所以f（1m）+f（1m2）0可变为f（1m）f（m21）又f（x）在（1，1）内是减函数，所以1mm21 由、得 【点评】本题主要考查了函
38、数单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解，属于中档题25已知定义在3，3上的函数y=f（x）是增函数（1）若f（m+1）f（2m1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+10【分析】（1）由题意可得，由此解不等式组求得m的范围（2）由题意可得f（x+1）f（2），所以，即可得出结论【解答】解：由题意可得，求得1m2，即m的范围是1，2）（2）函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，f（2）=f（2）=1，f（x+1）+10，f（x+1）1，f（x+1）f（2），3x2不等式的解集为x|3x2【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问
39、题的能力，正确转化是关键，属于中档题26设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、bR，当a+b0时，都有（1）若ab，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x23x）+f（29xk）0对任意x0，+）恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）由ab，得，所以f（a）+f（b）0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）f（b）（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x23x）+f（29xk）0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决【解答】解：（1）对任意a，b，当a+b0，都有，ab，ab0，f（a）+f（b）0，f（x）是定义在
40、R上的奇函数，f（b）=f（b），f（a）f（b）0，f（a）f（b）；（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f（9x23x）+f（29xk）0，得f（9x23x）f（29xk）=f（k29x），故9x23xk29x，即k39x23x，令t=3x，则t1，所以k3t22t，而3t22t=3在1，+）上递增，所以3t22t32=1，所以k1，即所求实数k的范围为k1【点评】本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想综合性强，是高考的重点，易出错解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用27已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=2x（）求f（1）的值；（）求f（x）的解析式；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求实数k的取值范围【分析】（I）根据题意得，f（1）=f（1），结合当x0时，f（x）=2x即可求出f（1）；（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0当x0时，f（x）=2x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=+2x，由此能求出f（x）
