1、选修2-21.5.3定积分的概念一、选择题1定积分(3)dx等于()A6B6C3D3答案A解析由积分的几何意义可知(3)dx表示由x1，x3，y0及y3所围成的矩形面积的相反数，故(3)dx6.2定积分f(x)dx的大小()A与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关C与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、区间a，b和i的取法都有关答案A解析由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确3下列说法成立的个数是()f(x)dx(i)f(x)dx等于当n趋近于时，f(i)无限趋近的值f(x)dx等于当n无限趋近于时，(i)无限趋
2、近的常数f(x)dx可以是一个函数式子A1B2C3D4答案A解析由f(x)dx的定义及求法知仅正确，其余不正确故应选A.4已知f(x)dx56，则()A.f(x)dx28B.f(x)dx28C.2f(x)dx56D.f(x)dxf(x)dx56答案D解析由yf(x)，x1，x3及y0围成的曲边梯形可分拆成两个：由yf(x)，x1，x2及y0围成的曲边梯形知由yf(x)，x2，x3及y0围成的曲边梯形f(x)dxf(x)dxf(x)dx即f(x)dxf(x)dx56.故应选D.5已知f(x)dx6，则6f(x)dx等于()A6B6(ba)C36D不确定答案C解析f(x)dx6，在6f(x)dx中
3、曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f(x)dx6f(x)dx36.故应选C.6设f(x)则1f(x)dx的值是()答案D解析由定积分性质(3)求f(x)在区间1,1上的定积分，可以通过求f(x)在区间1,0与0,1上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.7下列命题不正确的是()A若f(x)是连续的奇函数，则B若f(x)是连续的偶函数，则C若f(x)在a，b上连续且恒正，则f(x)dx0D若f(x)在a，b)上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b)上恒正答案D解析本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积
4、相等，故积分是0，所以A正确对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确C显然正确D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0的曲线围成的面积大答案B9利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分1(tanx)11(cosx)21dx()A2(tanx)11(cosx)21dxB0C2(cosx)21dxD2答案C解析ytanx为1,1上的奇函数，y(tanx)11仍为奇函数，而y(cosx)21是偶函数，原式1(cosx)21dx2(cosx)21dx.故应选C.10设f(x)是a，b上的连续函
5、数，则f(x)dxf(t)dt的值()A小于零B等于零C大于零D不能确定答案B解析f(x)dx和f(t)dt都表示曲线yf(x)与xa，xb及y0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置所以其值为0.二、填空题11由ysinx，x0，x，y0所围成的图形的面积可以写成_答案解析由定积分的几何意义可得12.(2x4)dx_.答案12解析如图A(0，4)，B(6,8)SAOM244SMBC4816(2x4)dx16412.13(2010新课标全国理，13)设yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N
6、个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为_答案分析本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖解析因为0f(x)1且由积分的定义知：f(x)dx是由直线x0，x1及曲线yf(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yif(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式
7、得：f(x)在x0到x1上与x轴围成的面积为1，即f(x)dx.三、解答题15利用定积分的几何意义，说明下列等式解析(1)2xdx表示由直线y2x，直线x0，x1，y0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S121，故2xdx1.(2)1dx表示由曲线y，直线x1，x1，y0所围成的图形面积(而y表示圆x2y21在x轴上面的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆，16利用定积分的性质求dx.解析y，ysin3x均为1,1上的奇函数，而对于f(x)，f(x)f(x)，此函数为奇函数S2(i)2n(n1)(2n1)Sli即2x2dx217已知函数f(x)，求f(x)在区间2,2上的积分解析由定积分的几何意义知24.18利用定积分的定义计算xdx.解析(1)分割：将区间a，bn等分，则每一个小区间长为xi(i1,2，n)(2)近似代替：在小区间xi1，xi上取点：ia(i1,2，n)Iif(i)xi.(3)求和：In(i)xi(ba)(4)求极限：xdxliInli(ba)(ba)(b2a2)
