1、The document was prepared on January 2, 2021高等代数试题及参考答案高等代数(一)考试试卷一、单选题(每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分)1. 以下乘积中( )是4阶行列式展开式中取负号的项.A、. B、. C、. D、.2行列式中元素的代数余子式是( ).A、. B、. C、. D、.3设都是阶矩阵,若,则正确的是( ).A、. B、. C、或. D、.4下列向量组中,线性无关的是( ).A、. B、. C、,其中. D、,其中任一向量都不
2、能表示成其余向量的线性组合.5设是阶矩阵且,则中( ).A、必有个行向量线性无关. B、任意个行向量线性无关. C、任意个行向量构成一个极大线性无关组. D、任意一个行向量都能被其它个行向量线性表出.6阶矩阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的( )条件.A、充要. B、充分非必要. C、必要非充分. D、非充分非必要.二、判断题(正确的打,错误的打,5小题,每小题2分,共10分).1若为阶矩阵,为非零常数,则. ( )2若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. ( )3对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. ( )4正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. ( )5任何数域都包含有理数域.
3、( )三、填空题(每空4分,共24分).1行列式 .2已知,则 , .3矩阵,则 .4设线性方程组有解,其系数矩阵与增广矩阵的秩分别为和,则与的大小关系是 .5设,则 .四、计算题(4小题,共42分)1计算行列式(1);(2).(每小题6分,共12分)2用基础解系表出线性方程组的全部解.(10分)3求与向量组等价的正交单位向量组.(10分)4求矩阵的特征根和特征向量.(10分)一、单选题(每题4分,共24分)题号123456答案BCADAB二、判断题(每题2分,共10分)题号12345答案三、填空题(每空4分,共24分)1; 2(1); (2);3; 4;5.四、计算题(共42分)1(12分,
4、每小题各6分)(1)解: .(3分) .(3分) 注:中间步骤形式多样,可酌情加分 (2)解: ,此行列式为范德蒙行列式 .(3分) 进而 .(3分)2(10分)解:用初等变换把增广矩阵化为阶梯形 .(3分)得同解方程组取为自由未知量,得方程的一般解为(其中为自由未知量)将代入得特解. .(3分)用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组仍取为自由未知量,得一般解,将和分别代入得到一个基础解系: .(3分)所以,原方程组的全部解为 ,为数域P中任意数。 .(1分)注:答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价。3(10分)解:因是线性无关向量组,现将 正交化,令, .(6分)再将向量组单位化,得,. 即就是与等价的正交单位向量组。 .(4分) 注:答案不唯一。4(10分)解:的特征多项式为所以的特征值为(2重). .(4分)对应的齐次线性方程组为它的基础解系是,()为的属于特征值的特征向量; .(3分)对应的齐次线性方程组为它的基础解系是;(不同时为零)为的属于特征值的特征向量. .(3分)注:答案不唯一.