1、鲁教版2019七年级数学第十章三角形的有关证明单元测试题（附答案）1如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DEAB交AC于点E，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有（）A3条 B4条 C5条 D6条2如图，ABC的面积为8cm2，AP垂直B的平分线BP于P，则PBC的面积为（ ）A3cm2 B4cm2 C5cm2 D6cm23如图，ABCD，BCAD，AB=CD，AE=CF，其中全等三角形的对数是（ ）A4 B3 C2 D14如图，若，则CD的长为( )A5 B6 C7 D85如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=
2、4，则PQ的最小值为( )A3 B4 C5 D66已知三角形三条边分别是1, ,2,则该三角形为( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D无法确定7已知：如图，ADECBF，若AD8 cm，CD5 cm，则BD的长为（ ）A2 B3 C4 D58如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，ABBCACBD，则ADC的大小为( )A120B135C145D1509AD是ABC中BC边上的中线，若AB4，AC6，则AD的取值范围是（ ）A B C D10如图，RtACB中，ACB=90，ABC的平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D过P作PFAD交A
3、C的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G则下列结论：APB=45；PF=PA；BDAH=AB；DG=AP+GH其中正确的是（）A1 B2 C3 D411在等腰三角形ABC中，则_12如图，AD是ABC的角平分线，AB：AC=3：2，ABD的面积为15，则ACD的面积为 13在RtABC中，锐角A的平分线与锐角B的平分线相交于点D，则ADB_14已知等腰三角形的周长为26cm，其中一条边的长为6cm，那么它的腰长为_cm.15如图，RtABC中，C=90，BC=15，斜边AB的垂直平分线与CAB的平分线都交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为_.16已知，在ABC中，AB，分
4、别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若CDE是等边三角形，则A=_17水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）若带子宽度为，水管直径为，则的余弦值为_18点D为等边ABC的边BC的中点，则AB：BD_19如图，在ABC中，AB=AC=2，BC=4点E为BC边上一动点，连接AE，作AEF=B，EF与ABC的
5、外角ACD的平分线交于点F当EFAC时，EF的长为_20如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，CD=4，cosA=， 那么BC=_21如图，AB与CB是两条公路，C，D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹)22如，已知AOB, 用三角尺和量角器画图(1)画AOB的平分线OC，并在OC上任取一点P；(2)过点P画一条平行于OB的直线；(3)过点P画PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.23如图，在RtABC中，B90，AB5，BC3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点
6、，试求CD的长.24(1) 知识储备如图 1，已知点 P 为等边ABC 外接圆的弧BC 上任意一点求证：PB+PC= PA.定义：在ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离(2)知识迁移我们有如下探寻ABC (其中A，B，C 均小于 120)的费马点和费马距离的方法：如图 2，在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC 的费马距离.在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出ABC 的费马点 P(要求尺规作图).(3)知识应用判断题（正
7、确的打，错误的打）：.任意三角形的费马点有且只有一个（_）；.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（_）.已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的边长 25如图1，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(a，0)、B(b，0)、C(0，b)，且a、b满足.(1) 求点A、B、C的坐标； (2)如图2， 若点P为x轴上一点，且点P在点B的右侧，点E在第四象限，且PEPC，PEPC，连接AE、CE，求PAE的度数；(3)如图3， 若点G为y轴正半轴上一动点，连BG，分别以BG、OB为边作等边BGD和等边OBH，使点D
8、、H都在第一象限内，连接DH并延长DH交y轴于点F，求的值26如图，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，AB=6，BC=8，若SABC=28，求DE的长27已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论 ；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请
9、写出结论并写出证明过程参考答案1D【解析】试题解析：等边中， 点D为BC的中点，DEAB，图中长度为1的线段有 故选D点睛：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.2B【解析】【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直B的平分线BP于P，即可求出ABPBEP，又知APC和CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积【详解】延长AP交BC于E，AP垂直B的平分线BP于P，ABP=EBP，又知BP=BP，APB=BPE=90，ABPBEP，SABP=SBEP，AP=PE，APC和CPE等底同高，SAPC=SPCE，SPBC=SPBE+SPCE=SABC=4cm2，故
10、选B【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点3B【解析】【分析】根据平行线的性质求出BAC=ACD，CAD=ACB，根据ASA推出ABCCDA，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BC，再根据SAS推出ABECDF，根据等式的性质得出AF=CE，根据SAS推出ADFCBE即可【详解】ABCD，BCAD，BAC=ACD，CAD=ACB在ABC和CDA中，ABCCDA（ASA），AD=BC在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）AE=CF，AF=CE在ADF和CBE中，ADFCBE（SAS），即有3对全等三角形故选B【点睛】本题
11、考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解答此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等4C【解析】分析：先根据全等三角形的对应边相等得出AB=BD=12，BC=DE=5，再由CD=BD-BC，将数值代入计算即可求解详解：ABCBDE，AB=12，ED=5，AB=BD=12，BC=DE=5，CD=BD-BC=12-5=7故选：C点睛：本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边5B【解析】【分析】由垂线段最短可知当PQOM时PQ最小，当PQOM时，则由角平分线的性质可
12、知PA=PQ，可求得PQ=4【详解】垂线段最短，当PQOM时，PQ有最小值，OP平分MON，PAON，PQ=PA=4，故选B【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键6B【解析】因为 ，根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，故选B.7B【解析】【分析】ADECBF，ADBC8cm，故BDBCCD，从而得到答案.【详解】ADECBF，ADBC8cm，故BDBCCD853cm，故答案选B.【点睛】本题主要考查了全等三角形的基本性质，解本题的要点在于求出BC的长度，故而可求出BD的长.8D【解析】【分析】先判断出ABC是等边三角形，根据等边三角形的每
13、一个内角都是60可得ABC60，再根据等腰三角形两底角相等表示出ADB、BDC，然后根据ADCADBBDC求解即可【详解】ABBCAC，ABC是等边三角形，ABC60，ABBCBD，ADB（180ABD），BDC（180CBD），ADCADBBDC，（180ABD）（180CBD），（180180ABDCBD），（360ABC），18060，150故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用9C【解析】如图，ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使ED=AD，连接CE，BD=CD，CDE=BCDA，DE=A
14、D，CDEBDA，CE=AB=4，在ACE中，AC+CEAE，AC-CE2AD，6-42AD，1AD5.故选C.点睛：三角形中，若已知两边长度分别为，则第三边上的中线x的长度满足：.10C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出CAP，再根据角平分线的定义ABP=ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；先求出APB=FPB，再利用“角边角”证明ABP和FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；根据直角的关系求出AHP=FDP，然后利用“角角边”证明AHP与FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；根据PFAD
15、，ACB=90，可得AGDH，然后求出ADG=DAG=45，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AFAP，从而得出本小题错误.【详解】解：ABC的角平分线BE和BAC的外角平分线，ABP=ABC，CAP=（90+ABC）=45+ABC，在ABP中，APB=180-BAP-ABP，=180-（45+ABC+90-ABC）-ABC，=180-45- ABC-90+ABC-ABC，=45，故本小题正确；PFAD，APB=45（已证），APB=FPB=45，PB为ABC的角平分线，ABP=FBP，在ABP和F
16、BP中，ABPFBP（ASA），AB=BF，AP=PF；故正确；ACB=90，PFAD，FDP+HAP=90，AHP+HAP=90，AHP=FDP，PFAD，APH=FPD=90，在AHP与FDP中，AHPFDP（AAS），DF=AH，BD=DF+BF，BD=AH+AB，BD-AH=AB，故小题正确；PFAD，ACB=90，AGDH，AP=PF，PFAD，PAF=45，ADG=DAG=45，DG=AG，PAF=45，AGDH，ADG与FGH都是等腰直角三角形，DG=AG，GH=GF，DG=GH+AF，AFAP，DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述正确故选:C.【点睛】本题考查了直角三
17、角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.11或或80【解析】【分析】分三种情况：当A=50为顶角，当A=50为底角，C为底角，当A=50为底角，C为顶角，根据三角形的内角和即可得到结论【详解】分三种情况讨论：当A=50为顶角，则C=B=65；当A=50为底角，C为底角，则C=A=50；当A=50为底角，C为顶角，则C=1805050=80综上所述：C=65或50或80故答案为：65或50或80【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键1210【解析】如图，过点D作DEAB于E
18、，DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DE=DF，又AB：AC=3：2，AB=AC，ABD的面积为15SABD=ABDE=ACDF=15，ACDF=10SACD=ACDF=10故答案为：10点睛：本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即ABD边AB上的高与ACD边AC上的高相等13135【解析】在RtABC中,CAB+CBA=18090=90，锐角A的平分线与锐角B的平分线相交于点D，DAB+DBA= (CAB+CBA)= 90=45，在ABD中,ADB=180(DAB+DBA)=18045=135故答案为：135.1410【解析
19、】分析：题中给出了一边长,而没有指明这边是否为腰长,则应该分两种情况进行分析求解.详解：由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6cm时，则另一腰也为6cm，底边为26-26=14cm，6+614，边长分别为6cm，6cm，4cm，不能构成三角形；(2)当底边长为6cm时，腰的长=(26-6)2=10cm，0610+10，边长为6cm，10cm，10cm，能构成三角形所以腰长为10cm.故答案为：10.点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还要利用三角形三边关系进行检验，这也是解题的关键155【解析】【分析】根据线段垂直平
20、分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得B=BAD，再根据三角形内角和定理列式求出B=30，设AB的垂直平分线与AB相交于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，然后根据BC=CD+BD列式计算即可得解【详解】如图，斜边AB的垂直平分线与BC相交于D点，AD=BD，B=BAD，AD是BAC的角平分线，BAD=CAD，C=90，B+BAD+CAD=90，即3B=90，B=30，BD=2DE，BC=15，CD+BD=DE+BD=DE+2DE=3DE=15，DE=5，即点D到斜边AB的
21、距离为5故答案为：5【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键1645【解析】【分析】如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则A=DCA，EDB=B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出EDB=30，则可判断ACD为等腰直角三角形，从而得到A=45【详解】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，DA=DC，EB=ED，A=DCA，EDB=B，CDE为等
22、边三角形，CDE=DEC=60，而DEC=EDB+B，EDB=60=30，CDB=90，ACD为等腰直角三角形，A=45故答案为45【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）17【解析】【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2【详解】其展开图如图所示。ACBF，CAB=180ABF=90，BAE+ABE=BAE+CAE，CAE=ABE=，水管直径为2，水管的周长为2，cos= .故答案为：.【点睛】本题考查锐角三角形的定义，解题的关
23、键是画出展开图.182：1【解析】解：因为点D为等边ABC的边BC的中点，所以BAD=30，则AB：BD2：1故答案为：2：1191+【解析】【分析】当AB=AC，AEF=B时，AEF=ACB，当EFAC时，ACB+CEF=90=AEF+CEF，即可得到AEBC，依据RtCFGRtCFH，可得CH=CG=，再根据勾股定理即可得到EF的长【详解】如图，当AB=AC，AEF=B时，AEF=ACB，当EFAC时，ACB+CEF=90=AEF+CEF，AEBC，CE=BC=2，又AC=2，AE=4，EG=，CG=，作FHCD于H，CF平分ACD，FG=FH，而CF=CF，RtCFGRtCFH，CH=C
24、G=，设EF=x，则HF=GF=x-，RtEFH中，EH2+FH2=EF2，（2+）2+（x-）2=x2，解得x=1+，故答案为：1+【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合206【解析】【分析】在RtABC中，由ACB=90，CDAB，得A=BCD,又因为，CD=4，cosA=，所以，cosBCD =.【详解】在RtABC中，ACB=90，CDAB，所以，A=BCD,又因为，CD=4，cosA=，所以，cosBCD =，所以，BC= 故答案为：6【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.
25、解题关键点：利用锐角三角函数定义解决问题.21详见解析.【解析】【分析】作出B的角平分线及线段CD的垂直平分线，两条线的交点就是菜市场的位置.【详解】如图所示，点P即为菜市场的位置.【点睛】本题主要考查了作图与应用作图，熟练运用线段垂直平分线和角平分线的作法是解决问题的关键.22(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：（1）利用量角器量出AOB的度数，再以AOB的度数画出AOC即可；（2）利用量角器画OPM，使它的度数等于AOB的度数的一半，交OA于M，则PMOB；（3）利用量角器画PEOPFO90得到相等OA和OB，根据角平分线的性质可判断PEPF详解：(1)作图如下：(2)
26、画图如下：(3)画图如下：PD=PE.点睛：本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作23CD的长为3.4.【解析】试题分析：根据DE是AC的垂直平分线，可知DA=DC，设DC=x，用x表示出DB的长，再在RtBCD中，利用勾股定理即可求出x的值，据此可求解.试题解析：因为DE是AC的垂直平分线，所以CDAD.所以ABBD+ADBD+CD.设CDx，则BD5x.在RtBCD中，由勾股定理，得 CD2BC2+BD2，即x232+(5x
27、)2，解得x3.4.故CD的长为3.4.24 AD 【解析】分析：（1）根据已知首先能得到PCE为等边三角形，进而得出ACEBPC，即可得证；（2）仔细阅读新知的概念，结合图形特点，直接有结论判断即可；根据尺规作图，作等边三角形即可求得费马点；（3）.根据作图可知费马点有且只有一个，.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部；将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，过A1作A1HBC，交CB的延长线于H，连接P1P，根据等边三角形的判定与性质，得到P1PB是正三角形，进而得出A1BH=30，然后由正方形的性质和30角直角三角形的性质，根据勾股定理求出正方形的边长.详解：（1
28、）证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE，正三角形ABCAPC=ABC=60又PE=PC，PEC是正三角形CE=CP ACB=ECP=601=2又3=4 BC=ACACEBCP (ASA) AE=BP即：BP+CP=AP.（2）线段 AD 的长度即为ABC的费马距离 过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P0（3）.（ ） .（ ） 解：将ABP沿点B逆时针旋转60到A1BP1，过A1作A1HBC，交CB的延长线于H，连接P1P，易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，P1BP=A1BA=60PB=P1B P1BP=60P1PB是正三角形PP1=PBPA
29、+PB+PC的最小值为P1A1+PP1+PC的最小值为A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C= 设正方形的边长为2xA1BA=60 CBA=901=30在RtA1HB中，A1B=AB=2x，1=30得：A1H=x，BH=在RtA1HC中，由勾股定理得：解得：x1=1 x2=1（舍去） 正方形ABCD的边长为225（1）A点坐标为（3,0），B点坐标为（3,0），C点坐标为（0,3）；（2）PAE=45；（3）【解析】【分析】（1），则，利用绝对值和平方的非负性即可求解；（2）过点E作EMx轴于M点，则EMP=POC=90，易证EPMPCO，再结合AO=CO可得AM=EM，则AME是等腰直角三
30、角形，故PAE=45；（3）在y轴上截取FN=FB，由BGD和OBH都是等边三角形易证DBHGBO，则DH=GO.由BDH=BGO且BDH+GBD=BGO+DFG易得DFG=GBD=60. 由于BOG=BHD=90且BH=BO，则可得BHFBOF，得FH=FN和OFB=HFB=60，从而得到BFN为等边三角形，进而可证明DF=GF+BF，据此可求解.【详解】（1）解：，A点坐标为（3,0），B点坐标为（3,0），C点坐标为（0,3）（2）解：过点E作EMx轴于M点，则EMP=POC=90PEPCEPM=PCOPE=PCEPMPCO(AAS)EM=PO，PM=COAO=COAM=EM又EMAMA
31、ME是等腰直角三角形，PAE=45 （3）解：在y轴上截取FN=FB BGD和OBH都是等边三角形BD=BG,BH=BO,DBG=HBO=60,BOG=BHD=90DBH=GBODBHGBO(SAS)DH=GO，BDH=BGOBDH+GBD=BGO+DFGDFG=GBD=60BOG=BHD=90，BH=BO，BF=BFBHFBOF，BFN=BFH=60，FN=FBBFN是等边三角形，FH=FO=ONGF+BF=GO+ON=DF【点睛】本题综合考察了三角形全等的证明以及全等三角形的性质，通过构造恰当辅助线来构造全等是本题的难点.264【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据SABC
32、=SABD+SDBC，AB=6，BC=8，可得关于DE的方程，解方程即可得.【详解】BD平分ABC交AC于点D，DEAB，DFBC，DE=DF，SABC=28，SABC=SABD+SDBC，AB=6，BC=8，6DE+8DF=28，DE+DF=8，DE=DF=4【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键.27（1）证明见解析；（2）BMDN=MN；（3）DNBM=MN；证明见解析；【解析】【分析】（1）延长CB到G使BG=DN，由AB=AD，GB=DN，AGB=ADN=90，可证明AGBAND，进而可知AG=AN，GAB=DAN，由MAN=45，BAD=90
33、 可知GAM=45，进而证明AMNAMG，根据MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得答案.（2）BMDN=MN；（3）在ND上截取DG=BM，可证明ADGABM，进而可知AG=AM，MAB=DAG， 根据MAN=45，BAD=90，可证明AMG为等腰直角三角形，可知AN为MG的垂直平分线，进而可知NM=NG，即可证明DNBM=MN.【详解】（1）延长CB到G使BG=DN，AB=AD，GB=DN，AGB=ADN=90，AGBAND，AG=AN ，GAB=DAN，MAN=45，BAD=90，GAM=GAB+BAM=DAN+BAM=45，GAM=NAM，而AM是公共边，AMNAMG，MN=GM=BM+GB=MB+DN；（2）BMDN=MN；（3）DNBM=MN如图3，在ND上截取DG=BM，AD=AB，ABM=ADN=90，ADGABM，AG=AM，MAB=DAG，MAN=45，BAD=90，MAG=90，AMG为等腰直角三角形，AN垂直MG，AN为MG垂直平分线，所以NM=NGDNBM=MN.
