1、2017-2018学年度第一学期高二期末自主练习理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题：，则为（ ）A不存在， B ， C， D，2.设命题：若，则；命题：，则下列命题中假命题的是（ ）A B C D3.有下列四个命题：若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则平行于平面；“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若，则”的否命题；已知为实数，“若中至少有一个不为0，则”的逆否命题.所有真命题序号为（ ）A B C D 4.已知空间四边形中，则（ ）A B C. D5.在空间直角坐标系中，向量，若，则（ ）A 4 B
2、2 C. -4 D-26.已知为抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，点的坐标为，则的最小值为（ ）A5 B 6 C. 7 D87.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A B C. D8.设椭圆和双曲线的公共焦点为，为这两条曲线的一个交点，则的值为（ ）A 3 B C. D9.已知点在曲线上移动，则点与点的中点的轨迹方程是（ ）A B C. D10.二面角的大小为，是棱上的两点，分别在半平面内，则的长度为（ ）A B C. D11.已知，则“”是“”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C.必要不充分条件 D既不充分也不必要条件12.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线
3、交于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线与的斜率分别为，则（ ）A 1 B 2 C. 3 D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则 14.若命题：“”为假命题，则实数的取值范围是 15.已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为 16.长方体中，分别是的中点，是上的点，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 平面直角坐标系中，动点在轴右侧，且到的距离比到轴的距离大1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相
4、较于两点，求线段的长.18. 设：实数满足，其中；：实数使得方程表示双曲线.（1）当时，若“”为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.20. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，四边形为矩形.（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.21. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为，该椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，若平行于的直线与椭圆相交于顶点的两点，
5、探究直线，的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由.22.设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.2017-2018学年度第一学期高二期末自主练习理科数学参考答案一、选择题：CDDBC BBACB AC二、填空题：13 14 15 16三、解答题：17.解:（1）设动点，点到轴的距离为，由题意. 将点的坐标代入上式，得，整理得. (2) 直线的方程为 ， 联立，得，设，则， 所以 .
6、 18.解:（1）当时，由，解得, 由 ，解得. 因为“”为真，.实数的值取值范围是. （2）是的充分不必要条件等价于若是的充分不必要条件， 由（1）知，条件对应的集合为：.记满足条件的实数的集合为由题意. 当时，满足；当时，满足；当时，要使，只需或，所以或. 综上实数的取值范围为：或. 19.解：（1）在上取一点，使,连接.由已知,在中，所以且. 又在正方形中，所以且.所以且.所以，四边形为平行四边形.所以. 又平面，平面平面. （2）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴，以过垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则,，,所以,. 设平面的一个法向量，则，即，不妨令，得，
7、设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成的角正弦值为. 20.解：（1）证明：由平面几何的知识，易得，又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且. 因为四边形为矩形，所以. 由，可得 . 又，所以平面平面. （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则,， 设,由，即，得. 设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，取. 平面的一个法向量为. 二面角为大小为于是. 解得 或（舍去）. 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. 21.解:（1）由题意知：， . （2）因为，所以，设直线：，代入，得，由，得.设，则，. 设直线的倾斜角分别为，则将，代入，得.， ， .即直线的倾斜角之和为定值. 22.解:（1）由题意知：， 又因为，解得故椭圆的方程为 （2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,联立，得,，得. 设，则，. 由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点. 于是设,则,即 ，可得. 因为,所以. 若在椭圆上，则，矛盾.因此,不存在满足条件的点
