1、抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1抛物线的焦点坐标是 （ ）A BCD 2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A BC D3抛物线截直线所得弦长等于 （ ）A BCD154顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是 （ ）A.或 B.或 C. D.5点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）A0 B1 CD2 6抛物线上有三点，是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ）A成等差数列 B成等差数列 C成等差数列 D成等差数列7若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得
2、最小值时点的坐标是 （ ）A（0，0） B（1，1） C（2，2） D8已知抛物线的焦点弦的两端点为, 则关系式 的值一定等于 （ ）A4 B4 Cp2 Dp 9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则= （ ）A B C D10若AB为抛物线y2=2px (p0)的动弦，且|AB|=a (a2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ） A B C D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _12、直线截抛物线，所截得的弦中点的坐标是 13、抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦
3、点与准线的距离为 14、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） _三、解答题16（12分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程. 17（12分）已知
4、抛物线上恒有关于直线对称的相异两点，求的取值范围. 18（12分）抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程. 19、（12分）已知抛物线的方程：过点A（1，-2）.（I）求抛物线的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.20（13分）已知抛物线y2=4ax(0a1的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点（1）求MF+N
5、F的值；（2）是否存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由. 21（14分）如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求OPQ面积的最大值.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11 12 13 15 （2），（5）三、解答题（本大题共6题，共76分）15（12分）解析：（1）由点A（2，8）在抛
6、物线上，有，解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：16（12分）解析：设在抛物线y=ax21上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(y,x)，则 ，由得x+y=a(x+y)(xy),P、Q为相异两点，x+y0，又a0，代入得a2x2axa+1=0，其判别式=a
7、24a2(1a)0，解得17（12分）解析：设R(x,y),F(0,1), 平行四边形FARB的中心为，L:y=kx1,代入抛物线方程得x24kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1 ，C为AB的中点. ，消去k得x2=4(y+3),由 得，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )1819（14分）解析：（1）F（a,0）,设，由 ， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即 = 矛盾.假设不成立即不存在a值，使的成等差数列或解: 知点P在抛物线上. 矛盾.20（14分）【解】(1) 解方程组 得 或 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 当x=8时, OPQ的面积取到最大值30
