1、第 1 页 （共 10 页） 2 2017017 江苏江苏 【命题特点】 2017 年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理 能力、应用意识的要求比以往有所提高2017 年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变 化 1体现新课标理念，实现平稳过渡试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本 概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度 创新如第 7 题首次考查几何概型概率问题 2关注通性通法试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方 法为依托， 以能力考查为目的的命题要求 如第 17 题解析几
2、何考查两直线交点以及点在曲线上 第 20 题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解第 19 题以新定义形式多层次考查等差 数列定义 3体现数学应用，关注社会生活第 10 题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式 求最值问题，第 18 题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背 景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向 4附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易两道必做题一改 常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思 维能力 一、填空题一、填空题: :本大题共本大题共
3、1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共计共计 7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 A1，2，Ba，a23，若 AB1，则实数 a 的值为 【解析】由题意 1B，显然 a233，故 a1，此时 a234，满足题意，故 a 的值为 1 2已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 【解析】|z|(1i)(12i)|1i|12i| 2 5 10 3某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件为检验 产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行
4、检验，则应从丙种型号 的产品中抽取 件 【解析】因为样本容量 n60，样本总体 N2004003001001 000，故抽取比例为n N 60 1000 3 50因此应从丙种型号的产品中抽取 300 3 5018(件) 4右图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 1 16，则输出的 y 的值 是 【解析】由题意，y2log2 1 162，故答案为2 5若 tan( 4) 1 6，则 tan 【解】法一 因 tan( 4) tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 1 6，6tan 6 1tan (tan 1)，tan 7 5 法二 tan tan( 4) 4 tan 4
5、tan 4 1tan 4 tan 4 1 61 11 6 1 7 5 6 如图， 在圆柱 O1O2内有一个球 O， 该球与圆柱的上、 下面及母线均相切 记 第 2 页 （共 10 页） 圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2的值是_ 【解】设球半径为 R，则圆柱底面圆半径为 R，母线长为 2R又 V1R2 2R2R3，V24 3R 3，故 V1 V2 2R3 4 3R 3 3 2 7记函数 f(x) 6xx2的定义域为 D在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是 _ 【解】由 6xx20 得2x3，则 D 为2，3故所求概率 P3（2） 5（4） 5 9
6、8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 3y 21 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其 焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是 解析 由双曲线方程x 2 3y 21 知 a 3，b1，c2，故渐近线方程为 y1 3x 3 3 x，准线方 程为 x3 2， 故点 P， Q 纵坐标的绝对值为|y0| 3 3 3 2 3 2 ， 又 F1F22c4 故 SF1PF21 2F1F2 |y0| 1 2 4 3 2 3，则 S四边形F1PF2Q2SF1PF22 3 9等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S37 4，S6 63 4 ，则 a8 【解析】当
7、 q1 时，显然不符合题意；设数列an首项为 a1，公比为 q(q1)，则 S3a 1（1q 3） 1q 7 4， S6a1（1q 6） 1q 63 4 ， 解得 a11 4， q2， 故 a8a1q71 4 2 732 10某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_ 【解析】一年的总运费与总存储费用之和为 y6600 x 4x3 600 x 4x2 3 600 x 4x240，当 且仅当3 600 x 4x，即 x30 时，y 有最小值 240 11已知函数 f (x)x32
8、xex1 ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f (a1)f (2a 2)0，则实数 a 的取值范围是 【解】 f(x)3x22ex1 ex3x 222 ex 1 ex3x 20 且 f(x)不恒为 0， 故 f(x)为单调递增函数 又 f(x)x32xe xex(x32xex1 ex)f(x)，故 f(x)为奇函数，由 f(a1)f(2a 2)0，得 f(2a2)f (1a)，故 2a21a，解之得1a1 2，故实数 a 的取值范围是1， 1 2 12如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为 1，1， 2，OA 与OC 的夹角为 ，且 tan 7，OB 与OC 的夹角为
9、45 若OC mOA nOB (m，nR)，则 mn_ 【解析】如图，设OD mOA ，DC nOB ，则在ODC 中有 OD m，DCn，OC 2，OCD45 ，由 tan 7，得 cos 第 3 页 （共 10 页） 2 10，又由余弦定理知 m2n2（ 2）22 2ncos 45 ， n2m2（ 2）22 2mcos ， 即 m 2n222n， n2m222 5m， ，得，4 2n2 5m0，即 m105n，代入得 12n 249n490，解得 n7 4或 n 7 3，当 n 7 3时，m 105 7 3 5 30(不合题意，舍去)，当 n 7 4时，m105 7 4 5 4，故 mn
10、5 4 7 43 解析 法一 因 tan7，所以 cos 2 10，sin 7 2 10 过点 C 作 CDOB 交 OA 的延长线于点 D， 则OC OD DC ，OCD45 又OC mOA nOB ，所以OD mOA ，DC nOB ，所以|OD |m， |DC |n在COD 中，由正弦定理得|DC | sin |OD | sinOCD |OC | sinODC，因为 sinODCsin(180 OCD)sin(OCD)4 5，即 n 7 2 10 m 2 2 2 4 5 ，所以 n7 4，m 5 4，所以 mn3 法二 由 tan7 可得 cos 1 5 2， sin 7 5 2， 则
11、1 5 2 OA OC |OA |OC | mnOA OB 2 ， 由 cosBOC 2 2 可得 2 2 OB OC |OB |OC | mOA OB n 2 ，cosAOBcos(45 )coscos45 sinsin45 1 5 2 2 2 7 5 2 2 2 3 5，则OA OB 3 5，则 m 3 5n 1 5， 3 5mn1，则 2 5m 2 5n 6 5，则 mn3 13在平面直角坐标系 xOy 中，A(12，0)，B(0，6)，点 P 在圆 O：x2y250 上若PA PB 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_ 【解析】设点 P(x，y)，且 A(12，0)，B(0，6)则P
12、A PB(12x， y) (x， 6y)x(12x)y(y6)20， 又 x2y250， 故 2xy50， 则点 P 在直线 2xy50 上方的圆弧上(含交点) 联立 y2x5， x2y250，解 得 x5 或 x1，结合图形知，5 2x1故点 P 横坐标的取值范 围是5 2，1 14设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1)上，f(x) x2，xD， x，xD， 其中集合 Dx|x n1 n ，nN*，则方程 f(x)lg x0 的解的个数是_ 第 4 页 （共 10 页） 【解析】由于 f(x)0，1)，则只需考虑 1x10 的情况，在此范围内，xQ，且 xZ 时，设
13、 x q p，p，qN *，p2 且 p，q 互质若 lg xQ，则由 lg x(0，1)，可设 lg xn m，m，nN *，m2 且 m，n 互质因此 10 n m q p，10 n(q p) m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾因此 lg xQ， 因此 lg x 不可能与每个周期内 xD 对应的部分相等，只考虑 lg x 与每个周期 xD 部分交点，画出 函数草图如图 图中交点除(1， 0)外， 其他交点横坐标均为无理数， 属于每个周期 xD 部分， 且 x1 处(lg x) 1 xln 10， 因 1 ln 101，则在 x1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为 8 个
14、二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出作答，解答时应写出必要的必要的文文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD， 点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC 证明 (1)在平面 ABD 内，ABAD，EFAD，则 ABEF因 AB平 面 ABC，EF平面 ABC，故 EF平面 ABC (2)
15、因 BCBD，平面 ABD平面 BCDBD，平面 ABD平面 BCD， BC平面 BCD，故 BC平面 ABD因 AD平面 ABD，故 BCAD又 ABAD，BC，AB平面 ABC，BCABB，故 AD平面 ABC，又因为 AC平面 ABC，故 ADAC 16(本小题满分 14 分)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)a b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 【解】(1)因 ab，故 3sin x 3cos x，故 3sin x 3cos x0，即 sin(x 6)0因 0x，故 6x 6 7 6，故
16、 x 6，故 x 5 6 (2)f(x)a b3cos x 3sin x2 3sin(x 3)因 x0，故 x 3 3， 2 3 ，故 3 2 sin(x 3)1， 故2 3f(x)3， 当 x 3 3， 即 x0 时， f(x)取得最大值 3； 当 x 3 2， 即 x 5 6 时， f(x)取得最小值2 3 17(本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，离心率为1 2，两准线之间的距离为 8点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 第 5 页 （共 10 页） 作直线 PF1的垂线
17、 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c因椭圆 E 的离心率为1 2，两准线之间的距离为 8，故 c a 1 2， 2a2 c 8， 解得 a2，c1，于是 b a2c2 3，因此椭圆 E 的标准方程是x 2 4 y2 31 (2)由(1)知，F1(1，0)，F2(1，0)设 P(x0，y0)，因 P 为第一象限的点，故 x00，y00当 x01 时， l2与 l1相交于 F1， 与题设不符 当 x01 时， 直线 PF1的斜率为 y0 x01， 直线
18、PF2 的斜率为 y0 x01 因 l1PF1，l2PF2，故直线 l1的斜率 x01 y0 ，直线 l2的斜率为为 x01 y0 ，从而直线 l1的方程：y x01 y0 (x1)，直线 l2的方程：y x01 y0 (x1)由，解得 x x201 y0 ， 故 Q(x0， x201 y0 ) 因x0，y 点 Q 在椭圆上，由对称性，得x 2 01 y0 y0，即 x20y201 或 x20y201又 P 在椭圆 E 上，故x 2 0 4 y20 3 1由 x 2 0y 2 01， x20 4 y20 31， 解得 x04 7 7 ，y03 7 7 ； x 2 0y 2 01， x20 4
19、y20 31 无解因此点 P 的坐标为(4 7 7 ，3 7 7 ) 18(本小题满分 16 分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均 为 32 cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器的两底面对角线 EG，E1G1的长分别 为 14 cm 和 62 cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12 cm现有一根玻璃棒 l，其长度 为 40 cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) 将 l 放在容器中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长 度； 将 l 放在容器中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求
20、 l 没入水中部分的长 度 【解析】(1)由正棱柱的定义，CC1平面 ABCD，故平面 A1ACC1平面 ABCD，CC1AC记玻璃 F1 O F2 x y (第 17 题) 第 6 页 （共 10 页） 棒的另一端落在 CC1上点 M 处因为 AC10 7，AM40，故 MC402（10 7）230，从而 sinMAC3 4记 AM 与水面的交点为 P1，过 P1 作 P1Q1AC，Q1为垂足，则 P1Q1平面 ABCD， 故 P1Q112，从而 AP1 P1Q1 sinMAC16 答：玻璃棒 l 没入水中的部分的长度为 16 cm (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为
21、24 cm) (2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心 由正棱台的定义， OO1平面 EFGH， 故平面 E1EGG1平面 EFGH， O1OEG 同理， 平面 E1EGG1 平面 E1F1G1H1，O1OE1G1记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处过 G 作 GKE1G1，K 为 垂足，则 GKOO132因为 EG14，E1G162，故 KG16214 2 24，从而 GG1 KG21GK2 24232240设EGG1，ENG，则 sin sin 2KGG1 cosKGG14 5因为 2 ，故 cos 3 5在ENG 中，由正弦定理可得 40 sin 14 sin ，解得 sin 7 2
22、5因为 0 2， 故 cos 24 25 于是 sinNEGsin()sin()sin cos cos sin 4 5 24 25 3 5 7 25 3 5记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2作 P2Q2EG，Q2为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故 P2Q212， 从而 EP2 P2Q2 sinNEG20 答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20 cm (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20 cm) 19(本小题满分 16 分)对于给定的正整数 k，若数列an满足 ankank1an1an1 ank1ank2kan对任意正整数 n(nk)总成立，则称数列an是
23、“P(k)数列” (1)证明：等差数列an是“P(3)数列”； (2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列 证明 (1)因为an是等差数列，设其公差为 d，则 ana1(n1)d，从而，当 n4 时，ankank a1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，故 an3an2an1an1 an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列” (2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当 n3 时，an2an1an1an24an ，当 n4 时，an3an2an1an1an2an36an由知，an3an24a
24、n1(anan 第 7 页 （共 10 页） 1)，an2an34an1(an1an)将代入，得 an1an12an，其中 n4，故 a3， a4，a5，是等差数列，设其公差为 d在中，取 n4，则 a2a3a5a64a4，故 a2a3d， 在中，取 n3，则 a1a2a4a54a3，故 a1a32d，故数列an是等差数列 20(本小题满分 16 分)已知函数 f (x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数 f (x)的极值 点是 f (x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b23a； (3)若 f (
25、x)，f (x)这两个函数的所有极值之和不小于7 2，求 a 的取值范围 (1)解 由 f (x)x3ax2bx1，得 f (x)3x22axb3(xa 3) 2ba 2 3 当 xa 3时，f (x)有极 小值 ba 2 3 因 f(x)的极值点是 f (x)的零点，故 f(a 3) a3 27 a3 9 ab 3 10，又 a0，故 b2a 2 9 3 a因 f (x)有极值，故 f (x)0 有实根，从而 b a2 3 1 9a(27a 3)0，即 a3当 a3 时，f (x) 0(x1)，故 f (x)在 R 上是增函数，f (x)没有极值；当 a3 时，f (x)0 有两个相异的实根
26、 x1 a a23b 3 ，x2a a 23b 3 列表如下： X (，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 故 f (x)的极值点是 x1，x2从而 a3因此 b2a 2 9 3 a，定义域为(3，) (2)证明 由(1)知， b a 2a a 9 3 a a设 g(t) 2t 9 3 t，则 g(t) 2 9 3 t2 2t227 9t2 当 t(3 6 2 ，) 时，g(t)0，从而 g(t)在(3 6 2 ，)上单调递增因 a3，故 a a3 3，故 g(a a)g(3 3) 3， 即 b a 3因此 b 23a (3)由(1)
27、知，f (x)的极值点是 x1，x2，且 x1x22 3a，x 2 1x 2 24a 26b 9 从而 f (x1)f (x2)x31ax21 bx11x32ax22bx21x1 3 (3x212ax1b)x2 3 (3x222ax2b)1 3a(x 2 1x 2 2)2 3b(x1x2)2 4a36ab 27 4ab 9 20记 f (x)，f (x)所有极值之和为 h(a)，因 f (x)的极值为 ba 2 3 1 9a 23 a，故 h(a)1 9a 23 a，a3因 h(a) 2 9a 3 a20，于是 h(a)在(3，)上单调递减因 h(6) 7 2， 于是 h(a)h(6)，故 a
28、6因此 a 的取值范围为(3，6 数学数学 IIII B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 第 8 页 （共 10 页） 已知矩阵 A 0 1 1 0 ，B 1 0 0 2 (1)求 AB； (2)若曲线 C1：x 2 8 y2 21 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方程 【解析】(1)AB 0 1 1 0 1 0 0 2 0 2 1 0 (2)设 P(x1， y1)是曲线 C1上任意一点， 变换后对应的点为 x y 0 2 1 0 x1 y1 ， 所以 x2y1， yx1， 即 x1y， y11 2x. 因为 P(x1，y1)在曲线 C1上，所以x
29、2 1 8 y21 21，从而 x 2y28，即为曲线 C 2的方程 C 选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x8t， yt 2 (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x2s 2， y2 2s (s 为参数)设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 【解】由 x8t， yt 2 消去 t得 l 的普通方程为 x2y80，因点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2， 2 2s)则点 P 到直线 l 的距离 d|2s 24 2s8| 5 2（s 2） 24 5 ，故当 s 2时，d 有最小值 4
30、5 4 5 5 【必做题】第【必做题】第 2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，计分，计 2020 分请把答案分请把答案写在答题卡的指定区域内写在答题卡的指定区域内 作答，作答，解答解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，且 ABAD 2，AA1 3，BAD120 (1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值； (2)求二面角 BA1DA 的正弦值 解 在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD，交 BC 于点 E 第 9 页 （
31、共 10 页） 因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AE，AA1AD如图，以AE ，AD ，AA1 为正交基底，建立空 间直角坐标系 Axyz因为 ABAD2，AA1 3，BAD120 ，则 A(0，0，0)，B( 3，1，0)， D(0，2，0)，E( 3，0，0)，A1(0，0， 3)，C1( 3，1， 3) (1)A1B (3，1，3)，AC1 (3，1，3)，则 cosA1B ，AC1 A1B AC1 |A1B |AC1 | 3，1， 3 3，1， 3 7 1 7，因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 1 7 (2)平面 A1DA 的一个法向量为AE ( 3，0，0)设
32、 m(x，y，z)为平面 BA 1D 的一个法向量，又A1B ( 3，1， 3)，BD ( 3，3，0)，则 m A1B 0， m BD 0， 即 3xy 3z0， 3x3y0. 不妨取 x3， 则 y 3，z2，所以 m(3， 3，2)为平面 BA1D 的一个法向量，从而 cosAE ，mAE m |AE |m| 3，0，0 3， 3，2 34 3 4设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos| 3 4因为 0，所以 sin 1cos2 7 4 因此二面角 BA1DA 的正弦值为 7 4 23(本小题满分 10 分)已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外
33、 完全相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，mn 的抽 屉内，其中第 k 次取球放入编号为 k 的抽屉(k1，2，3，mn) 1 2 3 mn (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是 X 的数学期望，证明：E(X) n （mn）（n1） 【解析】(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p 为：pC n1 mn1 Cnmn n mn (2)证明 随机变量 X 的概率分布为： X 1 n 1 n1 1 n2 1 k 1 mn P Cn 1 n1 Cnmn Cn 1 n Cnm
34、n Cn 1 n1 Cnmn Cn 1 k1 Cnmn Cn 1 nm1 Cnmn 随机变量 X 的数学期望为：E(X) kn mn 1 k Cn 1 k1 Cnmn 1 Cnmn kn mn 1 k （k1）！ （n1）！（kn）！所以 E(X) 1 Cnmn kn mn （k2）！ （n1）！（kn）！ 1 （n1）Cnmn kn mn （k2）！ （n2）！（kn）！ 1 （n1）Cnmn(1C n2 n1 第 10 页 （共 10 页） Cn 2 n Cn 2 mn2) 1 （n1）Cnmn(C n1 n1C n2 n1C n2 n Cn 2 mn2) 1 （n1）Cnmn(C n1 n Cn 2 n Cn 2 mn2) 1 （n1）Cnmn(C n1 mn2C n2 mn2) Cn 1 mn1 （n1）Cnmn n （mn）（n1）， 即 E(X) n （mn）（n1）
