1、 第一章 绪论1.4 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数1.4.2 矩阵的范数及其性质矩阵的范数及其性质1.4.1 向量的范数及其性质向量的范数及其性质 第一章 绪论1.4 1.4 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数学习目标：学习目标：掌握向量范数、矩阵范数等概念。掌握向量范数、矩阵范数等概念。第一章 绪论在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度长度”和和“距离距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要的概
2、念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的对向量和矩阵的“大小大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。广。1.4 向量和矩阵范数向量和矩阵范数范数范数是对向量和矩阵的一种度量是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广向量长度概念的一种推广.数域数域:数的集合数的集合,对加法和乘法封闭对加法和乘法封闭线性空间线性空间:可简化为向量的集合可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘对向量的加法和数量乘法封闭法封闭,也称为也称为向量空间向量空间有理数、实数、复数数域 第一章 绪论 1.4.1 1.
3、4.1 向量范数向量范数 (vector norms)定义定义1.5如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性：，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。xnRxxxf)(0 x0 xxxnRyxyxnR定义定义1 如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性：，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有（3）三角不等式
4、三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。xnRxxxf)(0 x0 xxxnRyxyxnR 第一章 绪论TnnnxxxxCR),(,)(21设中在向量空间的的范范数数有有常常用用的的向向量量 x21222212)xxx(xn 范数或欧氏范数的 2x1xnxxx21范数的1xxinix1max范数或最大范数的xpxppnppxxx121)(1,ppx范数的自己证自己证容易验证，向量的容易验证，向量的范数和范数和1范数满足定义范数满足定义1.5中的条件。对于中的条件。对于2范数，满足定义范数，满足定义1.5中的条件（中的条件（1）和（）和（
5、2）是显然的，对于）是显然的，对于条件（条件（3），利用向量内积的），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可以不等式可以验证。验证。第一章 绪论2x和1x显然显然时的特例和在是21ppxp并且由于并且由于ppnppxxx121)(inix1maxppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxini x所所以以的特例也是px),(时pxxp12xxx且 xxpplim定理定理1 第一章 绪论:一般有向量的等价关系一般有向量的等价关系 )c,c;1,2,qp,q,(p 2121 Rxcxxcpqp求下列向量的各种常用范数求下列向量的各种常用范数(1,4,3,1)T
6、x:1x421xxx92x21242221)(xxx3327 xiix41max4即即本本例例中中显显然然,211 xcxxc,1 1*499/4499/4*4=94=9 第一章 绪论定义定义2 如果矩阵如果矩阵 的某个实值函数的某个实值函数 满足满足nnRA AAf)(（1）正定性正定性：且且 当且仅当当且仅当 ；0 A0 A0 A（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有 ；AA （3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 都有都有（4）相容性相容性：对任意：对任意 ，都有，都有nnRBA ,BAAB BABA nnRBA ,则称则称 为为 上的一个上的一个矩阵范数矩阵范数A
7、nnR 1.4.2 1.4.2 矩阵的范数矩阵的范数(matrix norms)第一章 绪论常用的矩阵范数常用的矩阵范数1(1)Aniijnja11max,大值的每列绝对值之和的最A的列范数称A A(2)njijnia11max,大值的每行绝对值之和的最A的行范数称A2(3)A)(maxAAT大大值值的的特特征征值值的的绝绝对对值值的的最最为为其其中中AA)AA(TTmax范范数数的的称称 2A 第一章 绪论nnijaAn)(阶方阵设21112ninjijFaA设不难验证其满足定义不难验证其满足定义2 2的的4 4个条件个条件.是一种矩阵范数因此FA称为称为FrobeniusFrobenius
8、范数范数,简称简称F-F-范数范数.类似向量的类似向量的 2-2-范数范数21112 (4)ninjijFaA设设称称A的的F-范数范数.第一章 绪论,和矩阵范数对于给定的向量范数都有若,nnnRARxxAAx.相容和矩阵范数则称所给的向量范数222xAAx2112ninjijFaA2A)(maxAAT2xAFFA相容与因此2xAF 第一章 绪论110121021A求矩阵求矩阵A A的各种常用范数的各种常用范数1Aniijnja11max25234252,5,2max1njAnjijnia11max42,4,3max1ni2A)(maxAAT由于由于 第一章 绪论的特征值因此先求AATAAT1
9、10121021110122011211190102特征方程为特征方程为)det(AAIT2111901020的特征值为可得AAT9361.0,9211.2,1428.93211428.9)(maxAAT 第一章 绪论2A)(maxAAT0237.3FA2926056.31AA2AFA51 A4 A 第一章 绪论称的特征值为设,21nnnRA,max)(21nA的谱半径为矩阵A,Ax 和算子范数对于某种向量范数xAAxxAxx而而因此因此xxA显然显然2A)(maxAAT)(AAT(spectral norm)谱范数谱范数 第一章 绪论AAA)(任何一种算子范数的谱半径不超过矩阵的即矩阵A即即所以所以定理定理1.,nnnnRAR上的一种算子范数是设且非奇异则满足若,1AIAAAAI11)(1证明证明:略略 第一章 绪论例例4 设矩阵设矩阵A与矩阵与矩阵B是对称的，求证是对称的，求证)()()(BABA证证 因为因为 ,于是有于是有TAA 22maxmax22)()()(AAAAAT 即即 。同理。同理 。)(2AA )(2BB由于由于 ，所以，所以TBABA)()()()(222BABABABA
