1、12.32.3几种重要的离几种重要的离散型分布散型分布 2 视常数视常数C C为随机变量，则该随机变量只有一为随机变量，则该随机变量只有一个取值个取值,它应当服从它应当服从单点分布单点分布一、单点分布一、单点分布 1,P XC 分布函数分布函数为为 0,1,.xCF xxC 3如果一个随机变量只有两个可能取值，则如果一个随机变量只有两个可能取值，则二、两点分布二、两点分布称服从称服从两点分布两点分布 为方便起见，常取值为方便起见，常取值0 0，与，与1 1，故又称，故又称X X服从服从参数为参数为0-10-1的的分布分布.用下面数学语言表达：用下面数学语言表达：11,1,0,1.kkXBpP
2、xkp qpqk 1,Bp 0,0,1,01.1,1.xF xpxx ：分分布布函函数数4三、二项分布三、二项分布（伯努利分布）（伯努利分布）,B n p ,kkn knXB n pP XkC p q 0,1,1.knpq其其中中，正正参参数数 00C1.nnnkkn kknkkpp qpq 此即二项分布的命名依据此即二项分布的命名依据.1,Bp特特例例：5 例例2.72.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有设从学校乘汽车到火车站的途中有3 3个交通岗，个交通岗，其概率均为其概率均为0.40.4，求途中遇到红灯的概率，求途中遇到红灯的概率.交通岗交通岗交通岗交通岗交通岗交通岗1 1在各交通岗遇到
3、红灯是相互独立的，在各交通岗遇到红灯是相互独立的，6 3,0.4.XB中遇到红灯的次数，则就是在每次成功概率为中遇到红灯的次数，则就是在每次成功概率为0.40.4的的3 3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而重伯努利试验中恰好成功的次数，从而于是，所求概率为于是，所求概率为 110P XP X 003310.40.60.784.C 解解 考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红灯或没有遇到红灯，即成功或失败灯或没有遇到红灯，即成功或失败用表示途用表示途7解解 3191101127P X
4、P Xp得得 1,3p 故故 13,3XB 于是于是 2231222.339P XC 例例2.82.8 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为,n p的二的二项分布，已知项分布，已知求求 191,27P X 2.P X 8 例例2.92.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为已知某种疾病患者自然痊愈率为0.10.1，为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给1010个病个病人服用，且事先规定一个决策准则：这人服用，且事先规定一个决策准则：这1010个病人个病人中至少有中至少有3 3个人治好此病，则认为这种药有效，提个人治好此病，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反
5、之，则认为此药无效求新药完高了痊愈率；反之，则认为此药无效求新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率全无效，但通过试验被认为有效的概率 解解 每次成功每次成功(病人痊愈病人痊愈)的概率为的概率为0.10.1，用，用X X表表 10,0.1.XB示示1010个病人中痊愈的人数，则个病人中痊愈的人数，则于是，所求概率为于是，所求概率为 210100310.10.90.0702.kkkkP XC 9四、泊松分布四、泊松分布 作为二项分布的极限分布作为二项分布的极限分布泊松分布是由法泊松分布是由法国数学家和物理学家国数学家和物理学家,1837年发现的 .P ,0,1,2,.!kXPP Xkekk 0.
6、其其中中，参参数数0001.!kkkkkkpeeeekk 规规范范性性：10服从或近似服从泊松分布的例子是大量存服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在：在：服务系统在单位时间内来到的顾客数；服务系统在单位时间内来到的顾客数；击中飞机的炮弹数；击中飞机的炮弹数；大量螺钉中不合格品出现的次数；大量螺钉中不合格品出现的次数；数字通讯中传输数字中发生的误码个数；数字通讯中传输数字中发生的误码个数；母鸡在一生中产蛋的只数母鸡在一生中产蛋的只数 11例例2.102.10 某城市每天发生火灾的次数某城市每天发生火灾的次数 1,XP 203131kP XP XP Xk 求该城市一天内发生求该城市一天内发生3
7、3次或次或3 3次以上火灾的概率次以上火灾的概率 解解 2101110.9200.08.!kkek 对立事件公式对立事件公式 查泊松分布查泊松分布表（附表表（附表1 1）12泊松分布有一个非常实用的特性泊松分布有一个非常实用的特性二项分二项分 ,XB n p布的泊松近似布的泊松近似具体地讲，设具体地讲，设 ,YP 其中其中 n较大，较大，p很小，而很小，而 ,np 如果要计算如果要计算 1,n kkknP XkC pp ,1.!knpn kkknnpC ppek 很很大大很很小小那么可近似计算那么可近似计算 .!kP Ykek 即即 13这个结论可叙述为：这个结论可叙述为：的二项分布的概率计算
8、问题的二项分布的概率计算问题可以转化可以转化成参数成参数pp较大，较大，n很小的条件下，参数为很小的条件下，参数为,n 在在的泊松分布的概率计算问题的泊松分布的概率计算问题np 为为 例例2.112.11 在例在例2.92.9中，根据二项分布我们已中，根据二项分布我们已经计算出了认为新药有效的概率约为经计算出了认为新药有效的概率约为7.027.02，现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认为新药有效的概率为新药有效的概率14解解 kkkkP XC 101010330.10.9kkek 10131!二项分布的泊松二项分布的泊松近似近似 查泊松分布查泊松分布
9、表（附表表（附表1 1）0.0803.它与例它与例2.92.9的结果相比较，近似效果是良好的的结果相比较，近似效果是良好的 如果如果p p较大，那么二项分布不宜转化泊松较大，那么二项分布不宜转化泊松分布，该如何办的问题将在分布，该如何办的问题将在5.35.3中回答中回答15例例2.122.12 某出租汽车公司共有出租汽车某出租汽车公司共有出租汽车500500辆，辆，解解 设设X X是每天内出现故障的出租汽车数，则是每天内出现故障的出租汽车数，则 500,0.01XB，10010kP XP Xk 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.010.01，试求，试求一天
10、内出现故障的出租汽车不超过一天内出现故障的出租汽车不超过1010辆的概率辆的概率101050055000050.010.990.986.!kkkkkkCek 16*五、超几何分布五、超几何分布 ,.kn kMNMnNC CXH n M NP XkC ,H n M N1.kn kkn knMNMkMNMNknnnkkNNNC CC CCpCCC 规规范范性性：例例2.132.13 N N件产品，含件产品，含M M件是次品，件是次品，随随机地从这机地从这件产品中抽取件产品中抽取n n件产品，求恰有件产品，求恰有k k 件次品的概率。件次品的概率。17 例例2.142.14 设有一批产品，批量为设有
11、一批产品，批量为10001000件，假件，假定该批产品的次品率为定该批产品的次品率为11若采用抽样方案若采用抽样方案（1501502 2），求接受这批产品为合格的概率），求接受这批产品为合格的概率解解 此例中，此例中，1000,1000 0.0110,NM 接受产品为合格的概率是接受产品为合格的概率是 150,n 2012P XP XP XP X 注：我们用符号注：我们用符号(n nc c)表示：随机抽取了表示：随机抽取了n n件件产品，其中的次品数产品，其中的次品数c c的方案。的方案。18即即当采用（当采用（1501502 2）方）方案时，在每案时，在每100批这样产品批这样产品01501
12、1492148109901099010990150150150100010001000C CC CC CCCC 0.19530.34830.27740.821,中，约有中，约有82批被判定是合格的批被判定是合格的.下面我们把二项分布与超几何分布作一比较下面我们把二项分布与超几何分布作一比较N件件M件次品件次品N-M件正品件正品19 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件如果每抽一件产品放回后，再抽下一件XMpN 产品，如此有放回地随机地抽取产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是件，这是n重重伯努利试验，那么所抽的伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数件产品的次品数其中其中表示次品率表示次品率.,B
13、 n p 如果产品数量足够多，不放回与放回抽如果产品数量足够多，不放回与放回抽样对下一次抽到次品还是正品影响甚微于样对下一次抽到次品还是正品影响甚微于是，当很大，而是，当很大，而较小时，超几何分布可用较小时，超几何分布可用nN 1.kn kn kkkMNMnnNC CC ppC 二项分布去近似即二项分布去近似即20*六、几何分布六、几何分布 11111.11kkkkppppp 规规范范性性：11,1,2,kXG pP Xkpp k G p 在一个每次成功概率为在一个每次成功概率为p p的伯努利试验序列中，的伯努利试验序列中，用用X X表示表示首次成功时的试验次数首次成功时的试验次数，则有：，则
14、有：11.kkppp “”的的命命名名依依据据：几几何何分分布布21例例2.152.15 某人独立重复地做一个试验，已知某人独立重复地做一个试验，已知 223,P XP X 前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2 2倍，求每次试验成功的概率倍，求每次试验成功的概率从而从而 成功时的试验次数，则成功时的试验次数，则 .XG p整理得整理得 12231,P XP XP X 将将(2.6)(2.6)式代入，解得式代入，解得1.2p 解解 设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为,p表示首表示首次次22几何分布的几何分布的无记忆性无记忆性：概率意义：概率
15、意义：任意的正整数任意的正整数 与与mn有有 .P Xmn XmP Xn 设设 ,XG p则对则对都没有成功的条件下，再做都没有成功的条件下，再做次试验都还没有成次试验都还没有成n次试验次试验m伯努利试验序列中，在前伯努利试验序列中，在前功的概率与直接做功的概率与直接做次试验没有成功的概率相等次试验没有成功的概率相等n似乎忘记了前似乎忘记了前次试验结果，这就是次试验结果，这就是无记忆性无记忆性m几何分布为什么有无记忆性呢？几何分布为什么有无记忆性呢？23证明很简单：证明很简单：11111,11nknk nppP Xnpppp 因为因为所以由条件概率的定义，所以由条件概率的定义，,P Xmn XnP Xmn XmP Xm 11.1m nnmP XmnppP XnP Xmp XmnXn 的习惯写法的习惯写法
