1、第二节第二节 向量的内积向量的内积一、向量内积一、向量内积二、正交向量组二、正交向量组问题：三维向量空间3R中的向量内积、长度、正交等概念也可以推广到nR，在此将介绍nR上向量的内积和长度，向量组的正交化等概念和性质.2 向量的内积一、向量内积定义定义 1 1 设设12(,)Tna aa L，12(,)Tnb bb L为为nR中的两个向量，则中的两个向量，则 1 1221nTnniiiaba ba bab L 称为向量称为向量 与与 的内积，记作的内积，记作),(.注注：由定义由定义 1 1 可知，两个向量的内积是一个实数可知，两个向量的内积是一个实数.向量的内积具有下述性质：向量的内积具有下
2、述性质：（1 1）),(),(；（2 2）),(),(kk，k为常数；为常数；（3 3）),(),(),(；（4 4）0),(，当且仅当，当且仅当0 时，时，0),(其中其中 ,为为nR中的向量，中的向量，0是是nR中的零向量，常中的零向量，常数数Rk.例例 已知向量已知向量T)1,0,1(1，T)1,2,1(2，求，求 （1 1）),(21 ；（；（2 2）),2(2121 .解解 （1 1）2)1()1()2(011),(21 （2 2）),(),2(),2(2122112121 ),(),(),(2),(222122111 ),(),(),(2222111 222210(1)1 1 0(
3、2)(1)(1)2221(2)(1)4624 定义定义 2 2 对对nR中向量中向量12(,)Tna aa L，称实数，称实数),(为向量为向量 的长度或模，记为的长度或模，记为，即，即 22212(,)naaa L 长度为长度为1的向量称为单位向量的向量称为单位向量.（1 1）0，且，且0 的充要条件是的充要条件是0；（3 3）),(；向量长度满足的性质：向量长度满足的性质：（2 2）对于任意实数）对于任意实数k，有，有 kk；（4 4）.向量的单位化向量的单位化：若向量若向量0，则，则0，且，且111 则则 1为单位向量，称为单位向量，称 1为向为向量量 的单位化或标准化的单位化或标准化.
4、定义定义 3 3 对对nR中的任意两个向量中的任意两个向量 ,，如果，如果0),(，则称，则称向量向量 与与 正交正交.显然零向量与任何向量正交显然零向量与任何向量正交.nR的标准基的标准基12,n L两两正交两两正交.二、正交向量组二、正交向量组 定 义定 义4 4 设设n维 非 零 向 量 组维 非 零 向 量 组12,s L（0,1,2,iis L）两两正交，即）两两正交，即 0),(jTiji (;,1,2,)ij i jsL 则称则称12,s L为正交向量组为正交向量组.例例 nR的标准基的标准基12,n L是一个正交向量组是一个正交向量组.例例 已知已知3R中两个向量中两个向量T)
5、1,1,1(1，T)1,2,1(2 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量3，使，使123,为正交向为正交向量组量组.解解 设设03213Txxx),(，由，由1323(,)0,(,)0 得齐次线性方程组得齐次线性方程组 123123 020 xxxxxx111111101121030010A由由 得得 1320 xxx 从而有基础解系从而有基础解系T)1,0,1(，取取3 T)1,0,1(.则则123,为所求正交向量组为所求正交向量组.定理定理 1 1 若若n维向量组维向量组12,s L为正交向量为正交向量组，则组，则12,s L线性无关线性无关.证证 设存在一组数设存在一组数12,s
6、k kkL，使得，使得 1122sskkk 0L 用用(1,2,)iis L与上式两边作内积得与上式两边作内积得 1122(,)(,)ssiikkk 0L 1122(,)(,)(,)(,)0iiiiissikkkk LL即即由于由于i 与与111,iisLL均正交，即均正交，即 (,)0()ijij ，于是于是上式为上式为(,)0iiik .而而i 0，必有，必有(,)0ii ，所以，所以0ik(1,2,)isL.故故n维向量组维向量组12,s L线性无关线性无关.问题：定理问题：定理1 1 给出了正交向量组的必要给出了正交向量组的必要条件。但一个线性无关的向量组未必是正交条件。但一个线性无关
7、的向量组未必是正交向量组。对于线性无关的向量组，能否求得向量组。对于线性无关的向量组，能否求得与其等价的正交向量组？下面介绍一种常用与其等价的正交向量组？下面介绍一种常用的正交化方法的正交化方法施密特正交化方法。施密特正交化方法。定理定理 2 2 设设12,s L)2(s是是nR中中一个线性一个线性无关的向量组，令无关的向量组，令 11，2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)，L L L L 121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)sssssssss L 则则12,s L是一个正交向量组，且是一个正交向量组，且 1212,ss LL 例例 已 知 向 量 组已 知 向 量 组T)1,2,1(1，T)1,3,1(2，T)0,1,4(3 线性无关，试将其正交单位化线性无关，试将其正交单位化.解解 令令1 T)1,2,1(1；212212111(,)2(,)3 35,35,35；313233123121122(,)(,)15(2,0,2)(,)(,)33T 再将再将123,单位化单位化.T)1,2,1(6111101 T)1,1,1(3112202 ,T)1,0,1(2113303 所以所以030201,即为所求即为所求.
