1、 在解析几何中有关二次曲线和二次曲面在解析几何中有关二次曲线和二次曲面方程的标准化研究中，以及对科学技术和经方程的标准化研究中，以及对科学技术和经济管理领域中的许多数学模型研究中，经常济管理领域中的许多数学模型研究中，经常需要把需要把 n个变量的二次齐次多项式通过可逆个变量的二次齐次多项式通过可逆的线性变换，化为平方和的形式，这正是本的线性变换，化为平方和的形式，这正是本章要研究的二次型问题。本章中将建立二次章要研究的二次型问题。本章中将建立二次型与对称矩阵的对应关系，讨论二次型的标型与对称矩阵的对应关系，讨论二次型的标准化和分类准化和分类.第一节第一节 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一
2、、二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示二、线性变换二、线性变换三、矩阵合同三、矩阵合同引言引言：二次型问题源于平面上二次曲线方程的二次型问题源于平面上二次曲线方程的标准化及二次曲面的分类标准化及二次曲面的分类.在解析几何中，二次曲在解析几何中，二次曲线的方程经坐标平移变换，可表示为二次齐次式线的方程经坐标平移变换，可表示为二次齐次式 222axbxycyd 选择适当的坐标旋转变换选择适当的坐标旋转变换 cossinsincosxxyyxy 或或 cossinsincosxxyy 将二次齐次式化为标准形式将二次齐次式化为标准形式22a xc yd ，由标准，由标准形式就可以方便地形式就可以方
3、便地研究曲线的性质等研究曲线的性质等.在此在此对含有对含有n个变量的二次齐次个变量的二次齐次式进行讨论式进行讨论.1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示定义定义 1 1 含有含有n个变量个变量12,nx xxL的二次齐次式的二次齐次式 2221211 1222121213 131,1(,)222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxxLLL称为称为 n 元元二次型二次型.当当ija全为实数时全为实数时f称为实二次型称为实二次型.令令(,1,2,),ijjiaai jnL则则2ijijijijjijia x xa x xa x x 1211(,)(2)nnn
4、ijijijf x xxa x xL二次型的简写形式二次型的简写形式（1 1）21211 1121213 131122121222232322211223311(,)(2)nnnnnnnnnnnnnnnnijijijf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa xa x xLLLLL二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式111211212222121212(,)(,)(3)nnTnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaaxx AxLLLLMMMML这里这里 111212122212,nnnnnnaaaaaaaaaA
5、LLMMML12nxxxxM2221211 1222121213 131,1(,)222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxxLLL111211212222121212(,)(,)nnTnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaaxx AxLLLLMMMML二次型的三种表示1211(,)nnnijijijf x xxa x xL(,1,2,),ijjiaai jnL12(,)Tnf x xx x AxLAAT其中其中 对称矩阵对称矩阵A称为二次型称为二次型f的矩阵，也把的矩阵，也把f称为称为对称矩阵对称矩阵A的二次型，对称矩阵的二次型，对称矩阵A的
6、秩称为二次型的秩称为二次型f的秩的秩.任任给给二次型二次型12(,)Tnf x xx x AxL，AAT.可唯可唯一地确定一个对称矩阵一地确定一个对称矩阵A；反之，任给一个对称矩；反之，任给一个对称矩阵阵A，也可唯一地确定一个二次型，也可唯一地确定一个二次型Tx Ax，这样二，这样二次型与对称矩阵之间就建立了一一对应关系次型与对称矩阵之间就建立了一一对应关系.解解 2221121 32 12233 1323022222fxx xx xx xxx xx xx xx所以二次型的矩阵所以二次型的矩阵 021212122 A例例 设二次型设二次型2212323121 323(,)2424f x x x
7、xxx xx xx x 试求二次型的矩阵试求二次型的矩阵A及二次型的秩及二次型的秩.对矩阵对矩阵A实施初等行变换，有实施初等行变换，有 021212122 A122012005所以所以3)(AR，即二次型，即二次型f的秩为的秩为 3.3.例例 设对称矩阵设对称矩阵 131320101A写出矩阵写出矩阵A的二次型的二次型.解解 矩阵矩阵A对应的二次型为对应的二次型为 112312323101(,)(,)023131xf x x xx x xxx2221132233226xx xxx xx二、线性变换二、线性变换定义定义 2 2 设两组变量设两组变量12,nx xxL和和12,ny yyL之之间存
8、在关系式间存在关系式 11111221221122221122 nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yLLL L L L L LL则则上上式称为由式称为由12,nx xxL到到12,ny yyL的的线性变换线性变换.记记 111212122212,nnnnnncccccccccCLLMMML12,nxxxxM12nyyyyM则线性变换可写成矩阵形式则线性变换可写成矩阵形式Cyx，矩阵，矩阵C称为线称为线性变换性变换的矩阵的矩阵.如果矩阵如果矩阵C可逆，则可逆，则Cyx 称为可逆的称为可逆的（非退（非退化）化）线性变换，线性变换，xCy1称为称为Cyx
9、的逆变换的逆变换.特特别地，如果矩阵别地，如果矩阵C为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换Cyx 称为正交称为正交线性线性变换变换.三、矩阵合同分析分析：若：若对二次型对二次型12(,),Tnf x xx x AxAAT作可逆线性变换作可逆线性变换Cyx，则，则 ()()()TTTTTf x AxCyA CyyC AC yy By 其中其中TBC AC.因为因为 ()TTTTTTBC ACC A CC ACB 所以所以B仍是对称矩阵仍是对称矩阵.于是于是Ty By是以是以B为矩阵的二次型，又矩阵为矩阵的二次型，又矩阵C可逆，可逆，可知矩阵可知矩阵TBC AC与与A的秩一定相等的秩一定相等
10、.定理定理 1 1 二次型二次型12(,)Tnf x xx x AxL，经过可经过可逆线性变换逆线性变换Cyx，就得到以，就得到以TBC AC为矩阵的为矩阵的n元二次型元二次型Tf y By，并且两个二次型的秩相等，并且两个二次型的秩相等.定理定理 1 1 表明：经过可逆线性变换表明：经过可逆线性变换Cyx，二次，二次型型Tx Ax和和Ty By的矩阵的矩阵A和和B之间，有之间，有TBC AC.矩阵间的这种关系称为合同关系矩阵间的这种关系称为合同关系.定义定义 3 3 设设A，B为两个为两个n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C，使得，使得TBC AC，则称矩阵，则称矩阵A
11、与与B合合同，记为同，记为AB.矩阵的合同关系具有下述性质矩阵的合同关系具有下述性质：(1)(1)反身性：对任意反身性：对任意n阶方阵阶方阵A，有，有AA;(2)(2)对称性：若对称性：若AB，则，则BA；(3)(3)传递性：若传递性：若AB，BC，则，则AC；证证 (1)(1)由由AE AET,有有AA；(2)(2)因为因为TBC AC，则，则 1111()()TTACBCCBC，故，故BA；(3)(3)由于由于11TBC AC,22TCC BC，有，有 2221121212()()()TTTTCC BCCC AC CC CA C C 并且并且12120C CC C，故，故AC.定理定理 2 2 若二次型若二次型Tx Ax经过可逆线性变换经过可逆线性变换Cyx，化为二次型，化为二次型Ty By，则矩阵，则矩阵A与与B合同合同.由定义由定义3和定理和定理1可得可得
