1、第三节第三节 正交矩阵正交矩阵一、标准正交基一、标准正交基二、正交矩阵二、正交矩阵3 正交矩阵一、标准正交基定义定义 1 1 设设12,n L是是nR的一组基，如果它的一组基，如果它们两两正交且都是单位向量，则称们两两正交且都是单位向量，则称12,n L为为nR的一个标准正交基的一个标准正交基.例例 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTnLLLL 为为两两正交的单位向量，所以两两正交的单位向量，所以12,n L为为nR的一的一个标准正交基个标准正交基.将将nR的任意一组基化为标准正交基的步骤：的任意一组基化为标准正交基的步骤：（1 1）将）将基经施密特正交化方法化为正交向量
2、组；基经施密特正交化方法化为正交向量组；（2 2）将所得正交向量组的每个向量单位化将所得正交向量组的每个向量单位化.例例 已知已知向量组向量组T)1,1,1,1(1，T)1,1,3,3(2，T)8,6,0,2(3 线性无关线性无关，利用此向量组构造，利用此向量组构造4R的一的一组标准正交基组标准正交基.解解 将将123,正交化正交化.由施密特正交化方法由施密特正交化方法 令令1 T)1,1,1,1(1；212212111(,)(,)(2,2,2,2)T313233123121122(,)(,)32(,)(,)T)1,1,1,1(则正交化向量组为则正交化向量组为123,.求求一组正交基一组正交基
3、.令令4 0Txxxx),(4321，且使，且使 142434(,)0,(,)0,(,)0 ，得得 齐次线性方程组齐次线性方程组123412341234 022220 0 xxxxxxxxxxxx解方程组得解方程组得基础解系基础解系T)1,1,1,1(，取，取4 T)1,1,1,1(，则则1234,是是4R的一组正交基的一组正交基.将将1234,单位化单位化，取取 01(1,2,3,4)iiii T21,21,21,2101 T21,21,21,2102 T21,21,21,2103 T21,21,21,2104 则则4R的一组标准正交基为的一组标准正交基为 00001234,即即 二、正交矩
4、阵二、正交矩阵定义定义 2 2 设设A为为n阶矩阵阶矩阵，如果，如果A满足满足EAAT,则称则称A为为一个一个n阶正交矩阵阶正交矩阵.例例 对于二阶矩阵对于二阶矩阵 1001，cossinsincos 容易验证两者满足正交矩阵条件容易验证两者满足正交矩阵条件EAAT，两者均，两者均为正交矩阵为正交矩阵.正交矩阵的正交矩阵的性性质质：(1)(1)A为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是TAA1；(2)(2)A为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是TA也为正也为正交矩阵；交矩阵；(3)(3)若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则1A或或1A；(4)(4)若若BA,为正交矩阵
5、，则为正交矩阵，则AB也是正交矩阵也是正交矩阵.证证 (1)(1)若若A为正交矩阵，则有为正交矩阵，则有EAAT，显然，显然A可逆，且可逆，且TAA1.反之，若反之，若1 AAT则则EAAAA1T，所以，所以A为为正交矩阵正交矩阵.(2)(2)若若A为正交矩阵，由为正交矩阵，由(1(1)知知1 AAT，于是，于是EAAAAAA1)(TTTT，即是，即是TA也为正交矩阵也为正交矩阵.反之，若反之，若TA为正交矩阵，为正交矩阵，则则1)()(TTTAA，于，于是是EAAAAAA1)()(TTTTTT，即即A为正交矩阵为正交矩阵.(3)(3)若若A为正交矩阵，则有为正交矩阵，则有EAAT，两边取行，
6、两边取行列式，得列式，得1AAAAAATT，所以所以1A或或1A.(4)(4)若若BA,为正为正交矩阵，则有交矩阵，则有EAAT，EBBT，于是于是EBBABABABABTTTT)()(，故故AB为为正交正交矩阵矩阵.定理定理 1 1 A为为n阶正交矩阵的充分必要条件是阶正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组是的列（行）向量组是nR的标准正交基的标准正交基.证证 必要性必要性 设设12(,)n AL，由，由A为正交矩为正交矩阵，即阵，即EAAT，得，得 1111212212221212100010(,)001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnn A ALLLLLMMMMMMMLL即即
7、 10Tijijij 故故12,n L为为nR的的标准正交基标准正交基.充分性充分性 设设12,n L为为nR的的标准正交基，则标准正交基，则 10Tijijij 取取12(,)n AL，显然有，显然有EAAT.所以所以A为正交为正交矩阵矩阵.由性由性质质2 2可知定理对行也成立可知定理对行也成立.例例 证明向量组证明向量组 11 2 2,3 3 3T 221 2,33 3T T31,32,323 是是3R的一组标准正交基的一组标准正交基.证证 取取123(,)A，则，则 EAA100010001313232323132323231313232323132323231T即即A为正交矩阵，故为正交矩阵，故123,为为3R的的标准正交基标准正交基.定义定义 3 3 若若P为为一个一个正交矩阵正交矩阵，则线性变换，则线性变换xPy 称为正交变换称为正交变换.对于正交变换对于正交变换Pxy，有，有 xxxPxPxyyyTTTT 由于由于x表示向量的长度，这说明正交变换表示向量的长度，这说明正交变换Pxy 不不改变向量的长度，这正是正交变换的良好特性改变向量的长度，这正是正交变换的良好特性.
