1、第六节第六节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等阵一、矩阵的初等变换与初等阵二、矩阵的等价标准形二、矩阵的等价标准形三、利用初等变换求逆矩阵三、利用初等变换求逆矩阵6 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等阵定义 1 对矩阵A施行下列三种变换：(1)交换矩阵A的第i行（列）和第j行（列），记作ijrr(ijcc)；(2)用非零数k乘以矩阵A的第i行（列）的所有元素，记作irk（ick）；(3)将矩阵A的第j行（列）各元素乘同一数k加到第i行（列）对应的元素上，记作ijrkr（ijckc）.称此三种变换为矩阵A的初等变换.一个矩阵A经过初等变换后可得到另一个矩阵B，通常用记号“
2、AB”表示“对矩阵A施行某种初等变换得到矩阵B”，并称矩阵A与矩阵B等价.例如，对矩阵A作初等行变换：将第 3 行乘以 2 加到第 2 行上，则有 322103103221001110110 rrA定义 2 对n阶单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有下列 3中类型：(1)交换n阶单位矩阵E的第i行（列）和第j行（列）所得到的初等矩阵记作(,)i jP.(2)用非零数k乘以n阶单位矩阵E的第i行（列）所得到的初等矩阵记作()i kP.(3)将n阶单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行（或第i列乘以数k加到第j列所得到的初等矩阵记作(,()i j kP.1011(,)110
3、1P ii jjijOLLLMMMOMMMLLLO(1)交换n阶单位矩阵E的第i行（列）和第j行（列）所得到的初等矩阵记作(,)i jP.(2)用非零数k乘以n阶单位矩阵E的第i行（列）所得到的初等矩阵记作()i kP.11()11Pkii kiOO(3)将n阶单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行（或第i列乘以数k加到第j列所得到的初等矩阵记作(,()i j kP.11(,()11Pkii j kjijOLOMO例如，3阶初等矩阵 001(1,3)010100P100(2(2)020001P100(2,3(2)012001P初等矩阵具有以下性质：(1)初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵；(2)
4、初等矩阵都是可逆矩阵；(3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵，且有1(,)(,)i ji jPP11()i kikPP1(,()(,()i j ki jkPP矩阵的初等变换与初等阵之间关系密切，通过初等矩阵，使得矩阵的初等变换可用初等矩阵与该矩阵的乘积来实现 定理 1 设m n矩阵()ijm naA，则(1)对A施行一次初等行变换就相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；(2)对A施行一次初等列变换就相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵 证(1)(1)只对第 3 种初等行变换的情形 给予证明 将矩阵()ijm naA 按行分块为 111211121212AAAAAniiinijjjnjmmm
5、nmaaaaaaaaaaaaLMMMMLMMMMLMMMMLijrkr 100001000100001kLLLMMMMLLLMMMMLLLMMMMLLL1AAAAijmMMM1ijjmkAAABAAMMM将A的第j 行乘以数k 加到第i行 A的左边乘 以(,()mi j kP(,()mi j kP1ijmAAAAAMMM1ijjmkAAABAAMMM这说明：对A的第j行乘以数k加到第i行上就相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵(,()mi j kP 对于其它两种类型的初等行变换，以及定理的结论（2），可以类似的证明 例 设 123456A分别将A的第 1,2 行互换和 将A的第 1 列的2倍
6、加到第 2 列，求出对应的初等矩阵，并利用矩阵乘法将这两种变换表示出来.解 将A的第 1,2 行互换，对应的初等矩阵为 01(1,2)10P用 2 阶初等矩阵(1,2)P左乘A，可得对应的初等行变换的矩阵乘法表示为 01(1,2)10PA123456456123将A的第1列的2倍加到第2列,对应初等矩阵为 120(1,2(2)010001P用 3 阶初等矩阵(1,2(2)P右乘A，可得对应的初等列变换的矩阵乘法表示为 120123103(1,2(2)010456436001AP二、矩阵的等价标准形定义 3 如果一个矩阵具有如下特征，则称其为行阶梯形矩阵：(1)元素全为零的行位于全部非零行（有元
7、素不为零的行）的下方；(2)非零行的首个非零元素（即位于最左边的非零元）的列下标随其行下标的递增而严格递增.行阶梯形矩阵的特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.例 下列矩阵均为行阶梯形矩阵 221101120013A121300012100000B0311001200000000C例 下列矩阵均不是行阶梯形矩阵 001111120012A101100000112B201100120013C指出不是行阶梯形矩阵的理由.行阶梯形矩阵的特点是：可画出一条阶梯线，线
8、的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.定义 4 如果一个行阶梯形矩阵具有如下特征，则称其为行最简形矩阵：(1)非零行的第一个非零元素为 1；(2)非零行的第一个非零元素所在列的其余元素都为 0.例如下列矩阵均为行最简形矩阵.100101020011A120300012300000B010100120000C定理2 任意非零矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵.证 不失一般性，设非零矩阵()ijm naA各行的首个非零元素中，列下标最小者为1ka（若这样的元素不在第 1 行，则可通过
9、两行互换使其位于第 1 行）.将矩阵A第 1 行的乘以1ikkaa加到第i(2,)imL行的对应元素上，得 11,112,121,100000000AABLLLLMMMMMLLkknknm kmnaaabbbb如果BO，则已将A化为行阶梯形矩阵，如果BO，对B作类似前面对A所作的初等变换，如此重复进行，最终可将A化为行阶梯形矩阵.如果将行阶梯形矩阵非零行分别乘以其首个非零元素的倒数，然后再将其所在列的其它元素化为零，则可将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵.推论 任意非零矩阵都可以经过初等行变换化为行最简形矩阵.例 利用初等行变换将矩阵 21112112144622436979A化为行最简形矩阵.解
10、 对矩阵作初等行变换 1121421112112142111246224231123697936979 A1232rrr1121411214022200111000026055360001303343 1121410104011130110300013000130000000000 说明：在实施矩阵的初等行变换时，如果用某一行的一个非零元素将非零元素所在列上其它各行中元素消去，称这一行称为主行，该非零元素称为主元.23314123rrrrrr23242253rrrrr34432rrrr231312rrrrrr定义 5 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A与B是等价的（或相抵
11、的），记为AB.矩阵之间的等价关系具有下列性质：(1)反身性：任一矩阵A和它自身等价，即AA.(2)对称性：若AB，则BA.(3)传递性：若AB，而BC，则AC.定理 3 任意一个矩阵()ijm naA都可以经过有限次初等变换化为形如rEOOO),min(nmr 的矩阵，称此矩阵为矩阵A的等价标准型.证 如果AO，则A已是等价标准型，结论成立.如果AO，则至少有一个元素不为零，不妨设110a（若110a，可以对A施行第一种初等变换，将A变成左上角元素不为零的矩阵），对A施行以下初等变换：22211210000nmmnaaEOOAaaLLMMML(1)将矩阵A第 1 行乘以111iaa加到各行上
12、(2)所得矩阵第 1 列乘以111jaa加到各列上(3)用111a乘以所得矩阵的第 1 行,矩阵A为 其中1A是(1)(1)mn矩阵，若1AO，则已得A的等价标准形.1AO，对1A重复以上步骤，最后一定可以将A化为等价标准形.推论 1 对任意m n矩阵A，存在m阶初等矩阵12,P PPsL和n阶初等矩阵12,Q QQtL，使得 2112rstEOPP P AQQQOOLL 推论 2 对m n矩阵A，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 rEOPAQOO 推论 3 n阶方阵A可逆的充要条件是A的等价标准形为nE.例 求矩阵 112111102011A的等价标准形.解 对矩阵A作初等变换 11
13、2111211110023102312011 A100002310231 2100010000231010000000000 EOOO21312rrrr2131412cccccc32rr2314123ccccc定理 4 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.证 必要性 设方阵A可逆，由推论 2 知，A的等价标准形为nE.再由推论 1 可得 11111111111112211221AP PP EQQ QP PP QQ QststLLLL 由于初等矩阵的逆矩阵还是初等阵，因此A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，所以充分性是
14、显然的.三、利用初等变换求逆矩阵 设A为n阶可逆矩阵，则1A也是n阶可逆矩阵，由定理 4，存在初等矩阵12,G GGkL，使得 112AGGGkL12kGGG EL 用A右乘上式的两边，得 112A AGGG AkL 即 12EGGG AkL 112kGGG EAL A左乘12GGGkL化为E E左乘12GGGkL化为1A 12kG GG AEL 1121212()()()kkkG GGA EG GG A G GG EE ALMLMLM比较112kGGG EAL与12kGGG AEL 求逆矩阵的方法:(1)构造2nn矩阵()A EM；(2)对()A EM施行一系列出的初等行变换，直至将其左边子
15、矩阵A化为单位矩阵E，此时右边子矩阵即为1A，即 ()A EML L1()E AM 需要注意的是：在用初等变换求矩阵的逆矩阵的过程中，必须始终作初等行变换，其间不能作任何列变换.例 求矩阵 的逆矩阵1A.111011101A解 运用初等变换法111100111100()011010011010101001010101 A E111100011010001111 110211010101001111 1100110010101()001111 E A1110101111A31rr32rr2313rrrr12rr设A为n阶可逆矩阵，B为nm矩阵，X为未知的nm矩阵，求解矩阵方程AXB的方法.构造2
16、nn矩阵()A BM,对()A BM施行一系列出的初等行变换，直至将其左边子矩阵A化为单位矩阵E，此时右边子矩阵即为1A B，即 ()A B ML L L1()E A BM 用初等行变换求逆矩阵的计算形式，还可以运用到求解矩阵方程AXB上.当然，也可以先求出1A，再通过矩阵乘法求出矩阵方程AXB的解1XA B.例 设矩阵 011111010 A112113B求X使XBAX.解 由XBAX得BXAE)(,因为 110101111AE且 01110101111 AE所以AE 可逆，由此解得BAEX1)(,又 11111111 11()10121010120111301113 EA BM21rr11111111 11()10121010120111301113 EA BM110121100220101201012()0010100101 EEAM所以 221201X13rr21rr3212rrrr
