1、第9讲三角恒等变换与解三角形1.(1)2015全国卷 已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.若a=b,求cos B; 若B=90,且a=, 求ABC的面积.(2)2015全国卷 ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.求;若BAC=60,求B.试做_命题角度解三角形的问题(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.(2)解三角形问题的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第
2、三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.解答1三角形基本量的求解1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A.(1)若a=2,b=3,求边c的长;(2)若C=,求角B的大小.听课笔记 _2 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2ccos B=2a-b.(1)求角C的大小;(2)当c=3时,求a+b的取值范围.听课笔记 _【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步
3、:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.解答2与三角形面积有关的问题3 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B+bcos(B+C)=0,a=.(1)求角A的大小;(2)若b=2,求ABC的面积.听课笔记 _【考场点拨】高考中与三角形面积有关问题的解题策略:(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30,45,60
4、等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.【自我检测】在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos C=(2b-c)cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求ABC面积的最大值.解答3以平面几何为载体的解三角形问题4 如图M2-9-1,在四边形ABCD中,DAB=,ADAB=23,BD=,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD=,求CD的长.图M2-9-1听课笔记 _【考场点拨】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的
5、不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.【自我检测】如图M2-9-2,在ABC中,B=,BC=2.(1)若AC=3,求边AB的长.(2)若点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足,ED=,求角A的大小.图M2-9-2模块二三角函数与平面向量第9讲三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.(1)解:由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=.由知b2=2ac.因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=,所以ABC的面积为1.(2)解:由正弦定理得=,=.因为AD平分BA
6、C,BD=2DC,所以=.因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=cosB+sinB.由知2sinB=sinC,所以tanB=,即B=30. 考点考法探究解答1 例1解:(1)由c-b=2bcos A及a2=b2+c2-2bccos A,得=,a2=b2+bc,代入a=2,b=3,得c=5.(2)由c-b=2bcos A及正弦定理,得sin C-sin B=2sin Bcos A,C=,1-sin B=2sin Bcos-B,即2sin2B+sin B-1=0,解得sin B=或sin B=-1(舍),又0B,B=. 例2解:(1)由正弦定理可得2si
7、n Ccos B=2sin A-sin B,又A=-(B+C),2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B,2sin Bcos C=sin B,又sin B0,cos C=,又0C0.又BD=,DAB=,由余弦定理得()2=(3k)2+(2k)2-23k2kcos,解得k=1,AD=2,AB=3.由正弦定理得sinABD=.(2)ABBC,cosDBC=sinABD=,sinDBC=,=,CD=.【自我检测】解:(1)设AB=x(x0),则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,
8、即32=x2+22-2x2cos,解得x=+1(负值舍去),所以AB=+1.(2)因为ED=,所以AD=DC=.在BCD中,由正弦定理可得=,因为BDC=2A,所以=,所以cos A=,所以A=. 备选理由 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例2没有涉及,备用例2是对例2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强.例1配例1使用 在ABC中,AB=4,AC=6.(1)若16cos A=1,求BC的长及BC边上的高
9、h;(2)若ABC为锐角三角形,求ABC的周长的取值范围.解:(1)16cos A=1,cos A=,sin A=.BC=7,由等面积法可得46sin A=7h,h=.(2)设BC=x(x0),ABC为锐角三角形,角A,B,C均为锐角,又ABAC,C0,cos B0,于是得2x0),由=,得BD=x.在ADC中,由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2ACDCcos C,即AD2=2+x2-2x,整理得AD2=2+x2-x.在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+DB2-2ABDBcos B,即AD2=+x2-2x,整理得AD2=+x2-x,联立得2x2-5x+4=0,解得x=或x=2.因为BCAB+AC=,所以x,即x,所以x=,即DC=.方法二:由(1)知cos C=,所以cos B=cos 2C=2cos2C-1=22-1=,sin C=,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2=,则cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C=-+=.又由(1)知=,所以AB=. 在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,即BC2=2+()2-2,得BC=.因为=,所以DC=BC=.
