1、指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）（3）其中， 3的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即： 若，则叫做的次方根， 说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根） 若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根； ；式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 4的次方根的性质一般地，若是奇数，则； 若是偶数，则5例题分析：例1求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）例2已知 ， 化简：（二）分数指数幂
2、1分数指数幂： 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则， 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是； （2）正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3例题分析：例1 用分数指数幂的形式表示下列各式： ， ， .例2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）； （2）；例3计算下
3、列各式：（1） （2）（三）综合应用例1化简：. 例2化简：.例3已知，求下列各式的值：（1）；（2）.二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例1求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） 例2当时，证明函数 是奇函数。例3设是实数，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的
4、底数，N叫做真数。即， 指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意 且 , 都有 ，同样：3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10作底 写成 自然对数：以作底为无理数，= 2.71828 ， 写成 例2（1）计算： ， （2）求 x 的值：； （3）求底数：， 4对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）例3计算：（1） lg1421g； （2）； 5换底公式： ( a 0 , a 1 ；)证明：设，则， 两边取以为底的对数得：，从而
5、得： ， 说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （、且均不为1）证明：（1） ；（2） 例4计算：（1） ； （2） 例5已知，求（用 a, b 表示）例6设 ，求证：四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。 11（图1）11（图2）（3）对数函数性质列表： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+）上是增函数（4）在上
6、是减函数例1求下列函数的定义域：（1） ； 例2比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （3），.例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2），； （3），； 例4已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得， 综上所述，的大小关系为或或例5求下列函数的值域：（3）（且） 例6判断函数的奇偶性。例7求函数的单调区间。指数函数和对数函数单元测试一 选择题1. 如果，那么a、b间的关系是 【 】A B C D 2. 已知，则函数的图象必定不经过 【 】A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 与函数yx有相同图象的一个函数是 【 】A B ，且 C
7、 D ，且4. 函数y=|log2x|的图象是（ ）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO5.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是 【 】A B C D 6. 已知函数的值域是，则它的定义域是 【 】A B C D 7.已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是 【 】 A B C D 8. 设，则 【 】A2x1 B3x2 C1x0 D0x19. 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【 】A B C D 11. 已知，则 ( )AB C D12.函数的定义域是 （ ）A. B. C. D. 二 填空题13. 计算： 14. 的定义域是_ 。15. 方程的解 _。16. 若函数的的图像过点，则_.三 解答题17. 求下列函数的定义域和值域（1） （2）18. 求下列函数的单调区间（1） （2）19. 已知函数（1）求的定义域；（2） 讨论的单调性。20已知 求的值11 / 11
