1、 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 参考答案、 提示及评分细则 一、 选择题: 本题有 小题, 每小题分, 共 分 题号 答案 ACBCDDBACBCD 【 解析】 因为B, ,Ax|x , 所以AB, , 故选A 将z i代入x a xb得a, b, 经计算得一元二次方程的另一个根为 z i 故选C 若C的方程为 y x , 则a ,b, 所以渐近线方程为ya bx x, 充分性成 立; 若渐近线方程为y x, 则双曲线方程为x y () , 所以“C的方程为 y x ” 是“C的渐近线方程为y x” 的充分而不必要条件故选B 由题意, 在正项等比数列an 中, 由a aaa ,
2、 可得a aaa a aaa ( aa) , 即a a 由a与a的等差中项为, 得aa设公比 为q, 则q ( aa)q , 则q ( 负的舍去) , a 故选C a b , m ,a (,) ,b (,) ,a b (,) ,a b (,) , (a b ) ( a b ) () 故选D 由图知 年 月中,月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份,A错误; 年 月, 乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少, 所以城镇的影响 更大,B错误; 第二季度平均同比增长率高于第一季度, C错误; 年 月, 汽车消费品 零售总额 亿元,D正确故选D f(x) e x f ( )x f
3、( ) , f ( x) e x f ( ) , f ( ) f ( ) , f ( ), f(x) e xx f ( ) , f ( x) e x 点P 是曲线上的任意一点, 点P处切线 的倾斜角为, t a n ,) , ) ( , )故选B t a nC B EC E C B ,C B E , B P与线段E C有交点的概率为 故选A 因为函数f(x) c o s(xa) ,x, s i n(xb) ,x 的图象关于y轴对称, 所以c o s( a)s i n( b) ,c o s( a)s i n( b) , 即s i nac o sb,c o sas i nb, 因此ab k(kZ)
4、 , 所以 g(x) c o s(xab) c o s(x ) , 从而h( x) c o s(x ) , 其周期 T , 选 项A错误; 由x k(kZ) 得对称轴方程为x k ( kZ) , 选项B错误; 对称中心 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 为( k , ) (kZ) ,k时, 对称中心为( , ) , 选项C正确; 单调递减区间为 k, k (kZ) , 选项D错误故选C 令f(x)t, 则f(t) l nt ,t, (t) e t, t ( ) 当t时,f(t) e, 即l n t e te e , 即f(x)e e 当x时,l nxe e 有一个解当x时, f (
5、 x)xe x, x(,) , f ( x);x(,) , f ( x), 且f() e 当x时,(x) e x e, 而e e e, 所 以方程( t) e t e无解 ( ) 当t时,f(t) e, 由( ) 知t, 即f(x)当x 时, l nx有一个解当x时,f(x) e, 所以f( x)无解综上, 函数g(x) 有两零 点故选B 当n时, SnSn SnSn ,a nanan an ,ananan, anan(anan),anan 从第项起是等差数列又a,a,a ,(aa)(aa),anan(n)n,当n时,an(an an)(anan)(aa)an(n) n(n) n(n) ,(
6、n) an n n ( n) ,当n时,bn ( n) an n n 又b ( ) a ,T a a a 故选C 第 题图 由题意知正方体棱长为, 球O的球心为正方体的中心, 以点D为坐标 原点, 建立如图所示的空间直角坐标系D x y z, 则A(,) ,A(, ) ,B(,) ,C(,) ,D(,) ,E(,) ,F(,) ,O( , , ) , O E ( , , ) , E F ( ,) ,点O到直线E F的 距离d |O E | ( O E E F |E F | ) 又球O的半径为r , 因此正方体外 接球被E F所在直线截的弦长为 R d ( ) ( ) 故选D 二、 填空题: 本
7、题共小题, 每小题分, 共 分. (,) , ,) 【 解析】 因为(x ) 的第r项为TrC r (x )r( ) r( r且rN ) , 所以x 不存在, a,x 的系数为C () , 所以a a 直线yx与yx的交点为(,) , 要使不等式组 yx, yx, ya 表示的平面区域是一 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 个三角形, 则a的取值范围是a由约束条件 yx, yx, ya 知, 当a时,zxy的 最小值为 由题意可得F(,) , 则p, 抛物线方程为x y 设直线A B方程为yk x, A(x,y) ,B(x,y) , 其中y x , y x 由yx 得 y x ,
8、所以在点A处 的切线方程为yyx ( xx) , 化简得y x x x , 同理可得在点B处的切 线方程为yx x x 联立得xMx x , 又M的横坐标为,xx 将A B方程代入抛物线得x k x ,xxk,k ,yy k(xx) ,|A B|pyy f( ) a,f( ) ,a由题意得 f ( x) s i nxs i nxx(c o sx) s i nxxc o sx, 令g(x)s i nxxc o sx, 则 g ( x)xs i nx 当x( , 时, g ( x),g(x) 单调递减; 当x(, ) 时, g ( x),g(x) 单调递增,g(x) 的最小值 为g() 又g( )
9、 ,g( ) ,x , , g(x), 即 f ( x),f ( x) 在区间 , 为减函数 f( ),当x , 时, f(x) 又当a,x , 时, a x, 故f(x)a x恒成立, 因此a的取值范围是,) 三、 解答题 ( 分) 解: ( )(ac) (s i nAs i nC)(bc)s i nB, 由正弦定理得(ac) (ac)(bc)b, ( 分) b c a b c , 根据余弦定理知c o sA ( 分) 又角A为A B C的内角,A ( 分) ( )A B C为等边三角形 ( 分) abc o sC,由正弦定理得s i nA s i nBc o sC 由三角形内角和公式得A
10、(BC) , 故s i nAs i n(BC) , s i n(BC) s i nBc o sC, 整理得s i nBc o sCc o sBs i nC, ( 分) s i n(BC), 又BC(,) ,BC ( 分) 又由( ) 知A ,A B C为等边三角形( 分) 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 ( 分) 解: ( ) 由直方图知( a ) , 解得a ( 分) 设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为x, 则 x( ) , 所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为 (分) ( ) 由题意, 样本中, “ 信心十足型” 型居民有 人 “ 信心不足型” 型居民
11、有 人 由分层抽样的定义可知“ 信心十足型” 居民抽取人, “ 信心不足型” 居民抽取人(分) 则X的可能取值为, P(X)C C C , ( 分) P(X)C C C , ( 分) P(X)C C C , ( 分) 故X的分布列为 X P ( 分) E(X), ( 分) D(X)() () () ( 分) ( 分) 证明: ( )A BB C,E为A C的中点,B EA C ( 分) 又P A平面A B C,B E平面A B C,P AB E(分) P AA CA,P A,A C平面P A CB E平面P A C, 又B E平面B E F,平面 B E F平面P A C ( 分) ( ) 如
12、图, 由() 知,P AB E,P AA C, 点E,F分别为A C,P C的中点, E FP A,E FB E,E FA C, 又B EA C, ( 分) E B,E C,E F两两垂直, 以E为原点, 以E B , E C , E F 方向为x, y,z轴建立坐标系, 第 题图 则A(,) ,P(,) ,B( ,) , C(,) ,E(,) ,F(,) 设B G B P ( ,) (,) ) , G( () ,) , ( 分) A G A BB G( () ,() ,) , E F ( ,) ,E G ( () ,) 设平面E F G的法向量为m ( a,b,c) , 则 m E F ,
13、m E G , c, () abc, 令a, 则b () ,m (,() ,) ( 分) 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 B C ( ,) ,P C ( ,) , 设平面P B C的法向量n ( x,y,z) , 则 n B C , n P C , xy, yz, 令x, 则y , z ,n ( , ) ( 分) 由已知| c o s m , n | , () ( ) , ( 分) 因为(,) , 故线段P B上不存在点G, 使得直线A G与平面P B C所成的角的正弦 值为 ( 分) ( 分) 解: ( ) 由题意得: b e a b c ,a, 又a b c , ( 分) 联
14、立以上可得: a , b , c , 椭圆C的方程为 x y ( 分) ( ) 由() 得A(,) , 当直线lx轴时, 又A EA F, 联立 yx, x y , 得x x , 解得x 或x , 所以xExF , 此时P( , ) , 直线A P的斜率为 ( 分) 当直线l不垂直于x轴时, 设E(x, y) ,F(x,y) , 直线lyk xt(tk,k) , 联立 yk xt, x y , 整理得( k ) x k t xt , 依题意 k t ( k ) ( t ) , 即 k t ( ) 且xx k t k , xx t k ( 分) 又A EA F, A E A F( x) (x)y
15、y(x) (x)(k xt) (k xt)( k ) xx(k t) (xx) t t k t k k , t k t k , 即( tk) (tk),t k 且t满足() ,(分) O P O EO F( xx,yy)( k t k , t k ) ,P( k t k , t k ) , 故直线A P的斜率kA P t k k t k t k k t k k k k ,( 分) 当k时,k k , 此时 kA P; 当k时,k k , 此时kA P ;( 分) 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 综上, 直线A P的斜率的取值范围为 , ( 分) ( 分) 解: ( ) 当a,b时
16、,f(x)x x l nx( x(,) ) f ( x)x x x x x ( x) (x) x ,( 分) 令 f ( x)得x , 或x( 舍去) 当x(, ) 时, f ( x),f(x) 单调递减, 当x( ,) 时, f ( x),f(x) 单调递增, ( 分) f(x) 单调递增区间为( ,) , 单调递减区间为( , ) ( 分) ( )g(x)|a x x l nx | 设(x)a x x l nx( x) , (x)a x x , ) 当a时,(x), 则(x) 在,) 上单调递减, 且()a, g(x)(x) ,g(x) 在,) 上单调递增,g(x)m i ng()a (
17、分) ) 当a时, (x) a x x x , 设t(x)a x x, a,t(x)有两根x,x xx a , xx a , 不妨令xx, 当x(,x) 时,t(x), 即(x), ( x) 在(,x) 上单调递减, 当x(x,) 时, t(x), 即(x), ( x) 在(x,) 上单调递增 ( 分) 当t()a, 即a时,x, ( x) 在,) 上单调递增 又()a,g(x)(x) ,g(x) m i n(x)m i n()a ( 分) 当t(), 即a时,x, ( x) 在(,x) 上单调递减, 在(x,) 上单调递 增 又()a, ( x)m i n(x)a x x l nx, ( a
18、 )a a a l n a a l n a , 存在x(x, a ) ,) 使得(x), ( 分) g(x)m i n|(x)|综上可得g(x)m i n a,a, ,a, a,a ( 分) ( 分) 解: ( ) 将直线l的参数方程 xt, y t ( t为参数) 消去参数t, 得y x, 又xc o s, ys i n, 得直线l的极坐标方程为 ( R) ( 分) 数学参考答案( 理科) 第 页( 共页) 】 设P( , ) ( ) , M( , ) , 由题意, 又|O P|OM|, , 即 ( 分) 因为点P在曲线C上, 所以 s i n( ) , 将代入 s i n( ) , 得 s
19、 i n( ) , 整理得曲线E的极坐标方程为 s i n( ) ( 分) ( ) 设A、B两点的极径分别为、 , 联立直线l和曲线C的极坐标方程 , s i n( ) , 得 s i n( ) ( 分) 联立直线l和曲线E的极坐标方程 , s i n( ) , 得 s i n( ) ,( 分) |A B|( ) | ( 分) ( 分) 解: ( )当x时,(x)(x), 无解; 当x时,(x)(x), x; 当x时, (x)(x), 恒成立,x, 所以该不等式的解集为x|x ( 分) ( ) 因为|x |x | |x(x)|, 当有仅当( x) (x), 即x或x时取“” , 所以f(x), 即 f(x) ( 分) 又 m n ( m n ) m n ( n m m n ) , 当且仅当 n m m n , 即m,n时取等号, ( 分) 所以 m n f(x) ( 分)
