1、第七节抛物线考纲下载1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3理解数形结合思想1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，
2、xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线2抛物线y22px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x22py(p0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|x0；若抛物线方程为x22py(p0)，则|MF|y0.1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x解析：选C由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，
3、故抛物线方程为y28x.2(A.安徽高考)抛物线yx2 的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2解析：选A抛物线yx2的标准方程为x24y，所以其准线方程为y1.3抛物线y2x2的焦点坐标为()A. B(1,0) C. D.解析：选C将抛物线y2x2化成标准方程为x2y，所以2p，而抛物线x2y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为.4抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_解析：由c2945，得F(，0)，则抛物线方程为y24x.答案：y24x5设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：F
4、，则B，2p1，解得p.B，因此B到该抛物线的准线的距离为.答案： 例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P
5、1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.若将本例(2)中的点B坐标改为(3,4)，求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2. 方法规律抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1(A.绍兴模拟)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相
6、等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.答案：y22px2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.解析：因为抛物线y24x的焦点F(1,0)显然，当AB垂直于x轴时，|AF|3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为yk(x1)，与抛物线y24x联立，消去y得k2x22k2x4xk20，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x22.又|AF|3x1x11，所以x12，代入k2x22k2x4xk20，得k28，所以x1x2，x2，故|BF|x211.答案： 例2(1)抛物线y
7、24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.自主解答(1)由抛物线y24x，有2p4，p2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x21的渐近线方程为yx.不妨取其中一条xy0.由点到直线的距离公式有d.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案(1)B(2)61已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2 C4 D2解析：选B依题意，
8、设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，2)，|OM|2.2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，则p8，所以抛物线方程为x216y.1直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题2直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程
9、及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值；(4)求定值例3(A.浙江高考)已知 ABP的三个顶点在抛物线C：x24y 上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，.(1)若|PF| 3，求点M的坐标；(2)求ABP 面积的最大值自主解答(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以
10、AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0得k2m.由0，k20，得f.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可(2)证明直线过定点可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点(3)求线段长度和线段之积(和)的最值可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；
11、也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离(4)求定值可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到(A.宁波模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立消去x，得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知，y24y1，由韦达定理及p0可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知直线
12、l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.故b的取值范围为(2，)课堂归纳通法领悟4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3个注意点抛物线问题的
13、三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点 前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等2直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方
14、程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件典例(B.湖南高考)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：0，k20，k1k2，所以0k1k221.故0，所以点M到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.名师点评解答本题的关键有以下两点：(1)充分利用k10，k20，k1k2时，k1k20，即d.(A.湖州模拟)已知抛物线C
15、：y22px的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解：(1)由题意知交点坐标为(8，8)，822p8，2p8，所以抛物线方程为y28x.(2)l1：yx，又直线l2与l1垂直，所以可设l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.由韦达定理，y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，l2：xy8
16、，M(8,0)，故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.全盘巩固1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()A. B. C D解析：选D把抛物线方程化为x22y，则pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.2(A.辽宁高考) 已知点A(2,3) 在抛物线C：y22px 的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：选C因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF，选C.3(B.江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12
17、 C1 D13解析：选CFA：yx1，与x24y联立，得xM1，FA：yx1，与y1联立，得N(4，1)，由三角形相似知.4设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若则 ()A9 B6 C4 D3解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，x1x2x3p6.5已知点M(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线解析：选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|.又PBl，因而点P到直线l的距
18、离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线6(A.台州模拟)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4解析：选C设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|x0，所以x03，代入抛物线方程求得y224，解得|y|2，所以POF的面积等于|OF|y|22.7(B.北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，1，解得p2，准线方程为x1.答案：2x18(A.丽水模拟)设Q为圆C：x2y26x8y210上任意一点，抛物线y28x的准线为l.若抛物线上任
19、意一点P到直线l的距离为m，则m|PQ|的最小值为_解析：如图由抛物线定义可得，点P到准线的距离等于其到焦点F的距离，故问题转化为点P到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P为圆心C和焦点F的连线与抛物线的交点，Q取CF的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m|PQ|CF|r22.答案：2.9抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_解析：如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x24xb0，则1612b0，解得b，所以切线方程为4x3y0，抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离
20、的最小值是这两条平行线间的距离d.答案：10已知以向量v为方向向量的直线l过点，抛物线C：y22px(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若p20(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程解：(1)由题意可得直线l的方程为yx，过原点垂直于l的直线方程为y2x.解得x.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，2，p2.抛物线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0y1.由p20，得x1x2y1y240，
21、又y4x1，y4x2，解得y1y28，直线ON：yx，即y0x0.由及y0y1得点N的轨迹方程为x2(y0)11已知定点A(1,0)和直线x1上的两个动点E，F，且 (其中O为坐标原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若，求直线l的斜率的取值范围解：(1)设P(x，y)，E(1，yE)，F(1，yF)， (2，yE)(2，yF)yEyF40，yEyF4，yyE0且x(yF)y0，yEy，yF，代入得y24x(x0)，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)(2)设l：y2kx(易知k存在，且k0)，联立消去x，得ky24y8
22、0，4232k0，即k.令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1y1y21y1y22y1y2110，12k0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，因为点M在曲线C上，所以x0，所以|TS|22，是定值冲击名校已知直线y2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OPOQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直
23、线l2的方程解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，2)OPOQ，当x0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x0.当x0时，得kOPkOQ1，即1，化简得x22y，曲线C的方程为x22y(x0)(2)直线l2与曲线C相切，直线l2的斜率存在设直线l2的方程为ykxb，由得x22kx2b0.直线l2与曲线C相切，4k28b0，即b.点(0,2)到直线l2的距离d2.当且仅当，即k时，等号成立此时b1.直线l2的方程为xy10或xy10.高频滚动1已知点F1(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A. B. C. D2解析：选A由已知可得c，a1，b1.双曲线方程为x2y21(x1)将y代入，可得点P的横坐标为x.点P到原点的距离为 .2已知双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为_解析：由题意知F1(3,0)，设M(3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|，即|MF1|.又|F1F2|6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d.
