1、5.1平面向量的概念及线性运算2014高考会这样考1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用复习备考要这样做1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系1 向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较
2、大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3. 共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.难点正本疑点清源1 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位
3、置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量2 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量3 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合1 若a“向东走8 km”，b“向北走8 km”，则|ab|_；ab的方向是_答案8东北方向解析根据向量加法的几何意义，|ab|表示以8 km为边长的正方形的对角线长，|ab|8，ab的方向是东北方向2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则_.答案ba解析
4、ababa.3 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_答案2解析如图所示，由，且0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则2.4 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2答案A解析由20可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故.5 (2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，
5、则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_答案解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.
6、探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量 下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一
7、直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.题型二向量的线性运算例2如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.思维启迪：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键解ab，ab，ab.又ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.探究提高(1)解题的关键在于搞清
8、构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc答案A解析2，2()，32，bc.题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(a
9、b)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线 设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不
10、平行也不垂直答案A解析由题意，得，.又2，所以2()所以.同理，得，.将以上三式相加，得.故选A.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(14分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，
11、即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.12分由得m，n，ab.14分温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技
12、巧1将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；
13、，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1B2C3D4答案C解析错，由于终点相同，两起点不一定相同，所以可以不共线对，由于模是实数，所以可以比较大小错，由于a0，0时，也可以得a0.错，当0时，虽然ab，但是a与b可以不共线错误命题个数为3.2 设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析如图，根据向量加法的几何意义有2P是AC的中点，故0.3 已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么 ()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向答案D解析cd，cd，即kab(ab)，.4 (2011
14、四川)如图，正六边形ABCDEF中，等于 ()A0 B.C. D.答案D解析因ABCDEF是正六边形，故.二、填空题(每小题5分，共15分)5 设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_答案1解析2ab，又A、B、D三点共线，存在实数，使.即，p1.6 在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.7 给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线
15、上其中不正确的个数为_答案2解析命题正确，不正确三、解答题(共22分)8 (10分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使A、B、C三点共线，只需.即abtba.有当t时，三向量的终点在同一条直线上9 (12分)在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012浙江)设a，b是
16、两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|答案C解析利用向量运算法则，特别是|a|2a2求解由|ab|a|b|知(ab)2(|a|b|)2，即a22abb2|a|22|a|b|b|2，ab|a|b|.ab|a|b|cosa，b，cosa，b1，a，b，此时a与b反向共线，因此A错误当ab时，a与b不反向也不共线，因此B错误若|ab|a|b|，则存在实数1，使ba，满足a与b反向共线，故C正确若存在实数，使得ba，则|ab|aa|1|a|，|a|b|a|a|(1|)|a|，只有当10
17、时，|ab|a|b|才能成立，否则不能成立，故D错误2 已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于 ()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知条件得.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为ABC的重心()，即3，则m3.3 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的 ()A外心 B内心C重心 D垂心答案B解析作BAC的平分线AD.， (0，)，.P的轨迹一定通过ABC的内心二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知向量a，b
18、是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是_(将正确的序号填在横线上)2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使ab0；xayb0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则与共线答案解析由得10ab0，故对对对于当xy0时，a与b不一定共线，故不对若ABCD，则与共线，若ADBC，则与不共线5. 如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_答案2解析O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.则mn2.6 在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.答案解析由图知，且20.2得：32，.三、解答题7 (13分)已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.(1)解因为2，又2，所以0.(2)证明显然(ab)因为G是ABO的重心，所以(ab)由P、G、Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数，使.而(ab)maab，nb(ab)ab，所以ab.又因为a、b不共线，所以，消去，整理得3mnmn，故3.
