1、一、二次函数的定义一、二次函数的定义l 定义定义：一般地，形如一般地，形如y=axbxc（a、b、c 是常数，是常数，a 0）的函数叫做的函数叫做_.l 定义定义要点要点：a 0 最高次数为最高次数为2 l 代数式一定是整式代数式一定是整式 l 练习练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有其中是二次函数的有_个。个。2.当当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？是二次函数？mm 2巩固一下吧！巩固一下吧！xy43)1(2)2(xyxy21)3(15.0)8(2xy22)1()1()6(xxy1)5(2xxy3)2()7(2
2、xy312)4(2xxy12)9(xxy5)10(22 yx1，函数，函数 （其中（其中a、b、c为常为常数），当数），当a、b、c满足什么条件时，满足什么条件时，（1）它是二次函数；）它是二次函数；（2）它是一次函数；）它是一次函数；（3）它是正比例函数；）它是正比例函数；2yaxbxc当当 时，是二次函数；时，是二次函数；0a 当当 时，是一次函数；时，是一次函数；0,0ab当当 时，是正比例函数；时，是正比例函数；0,0,0abc驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸2，函数，函数 当当m取何值时，取何值时，（1）它是二次函数？）它是二次函数？（2）它是反比例函数？）它是反比例函数？222(2)m
3、ymmx（1）若是二次函数，则）若是二次函数，则 且且当当 时，是二次函数。时，是二次函数。222m 2m 220mm（2）若是反比例函数，则）若是反比例函数，则 且且当当 时，是反比例函数。时，是反比例函数。221m 1m 220mm小结：1.1.二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几的几种种不同表示形式不同表示形式:(1)y=ax (1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax (2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax (3)y=ax+bx
4、(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).（4)y=a(x-h)2(a0)(5)y=a(x-h)2+k(a 0)2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.各种形式的特征二、二次函数的图象及性质二、二次函数的图象及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0,开口向上开口向上a0a0当当 时时,
5、y=0当当 时时,y0 x3x=-2或或x=3-2x34 4、二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)与一与一次函数次函数y=ax+cy=ax+c在同一坐标系内的大在同一坐标系内的大致图象是（）致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C5、（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两两点，求点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）x为何值时，为何值时，y随的增大而减少，随的增大而减少，x为何值时，为何值时，y有最大（小）值，
6、这个最大（小）值是多少？有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y0？23212xxy已知二次函数已知二次函数2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h,k）和一个普）和一个普通点，通常设抛物线解析式为通点，通常设抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)和另一个普通点和另一个普通点,通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析式为式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)
7、y=a(x-x1)(x-x2)(a0)三、求抛物线解析式的三种方法三、求抛物线解析式的三种方法练习练习 1、二次函数、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：写成顶点式为：_，对称轴为，对称轴为_，顶点为，顶点为_12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2、已知二次函数、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的的图象的顶点在顶点在y轴上，则轴上，则b=_。1203、根据下列条件，求二次函数的解析式。、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)，且经过点且经过点(3，1)；(3)、
8、图象经过、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3。4、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值的最大值是是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并且图上，并且图象经过点（象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2
9、a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4xabc2a+b2a-bb2-4ac a+b+c a-b+c4a+2b+c4a-2b+c开口方向、大小开口方向、大小:向上向上a0 向下向下ao 负半轴负半轴c0，过原点，过原点c=0.-与与1比较比较ab2-与与-1比较比较ab2与与x轴交点个数轴交点个数令令x=1，看纵坐标，看纵坐标令令x=-1，看纵坐标，看纵坐标令令x=2，看纵坐标，看纵坐标令令x=-2，看纵坐标，看纵坐标四、有关四、有关a，b，c及及b2-4ac符号的确定符号的确定快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试
10、确定如图所示，试确定a、b、c、的、的符号：符号：xoy抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的、的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的、的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的、的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的、的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：典型例题1.如图如图,是抛物线是抛物线y=ax2+bx+c的图像
11、，的图像，则则a 0;b 0;c 0;a+b+c 0;a-b+c 0;b2-4ac 0;2a-b 0;=典型例题典型例题2.已知已知a0，c0，那么抛物线，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（的顶点在（）A.第一象限第一象限 B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限 D.第四象限第四象限A1.(河北省河北省)在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为()B2.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围 是是
12、 .-3x1.-3-3-3-3点击中考点击中考:3、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的的 图像如图所示，下列结论：图像如图所示，下列结论：a+b+c0，a-b+c0；abc0；b=2a 中正确个数为中正确个数为 ()A.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个A4、无论、无论m为任何实数，二次函数为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点的图像总是过点 ()A.(1，3)B.(1，0)C.(-1，3)D.(-1，0)C当当x=1x=1时时,y=a+b+c,y=a+b+c当当x=-1x=-1时时,y=a-b+c,y=a-b+ca 0,b 0 x=2ba=-1D
13、5 5.(.(安徽安徽)二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是间的关系判断正确的是()A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 0bx+a0的的 解为解为 ()()A.x B.x A.x B.x C.x D.x C.x D.x Da 0,b 0,c 0a 0,b 0baabababD7、若抛物线、若抛物线y=ax2+3x+1与与x轴有两轴有两 个交点，则个交点，则a的取值范围是的取值范围是()A.a0 B.a C.a D.a 且且a04994941、已知抛物线、已知抛物线 yx-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则若
14、抛物线经过坐标系原点，则m_；=1(2)若抛物线与若抛物线与y轴交于正半轴，则轴交于正半轴，则m_；(3)若抛物线的对称轴为若抛物线的对称轴为y轴，则轴，则m_。(4)若抛物线与若抛物线与x轴只有一个交点，则轴只有一个交点，则m_.1=2=0练习：练习：2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位
15、置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。（2）二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是中成立的个数是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 0结论结论:一般地一般地,抛物线抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同形状相同,位置不同。位置不同。五五、二次函数二次函数抛物线的平移抛物线的平移温馨提示：温馨提示：二次函数图象二次函数图象间的平移，可间的平移，可看作是顶点间看作是顶点间的平移，因此的平移，因此只要掌
16、握了顶只要掌握了顶点是如何平移点是如何平移的，就掌握了的，就掌握了二次函数图象二次函数图象间的平移间的平移.0224-2-4-24262x xy yy=xy=x2 2-1-1y=xy=x2 2y=xy=x2 2向下向下平移平移 1 1个单位个单位y=xy=x2 2-1-1向向左左平移平移 2 2个单位个单位y=(x+2)y=(x+2)2 2y=(x+2)y=(x+2)2 2y=(x+2)y=(x+2)2 2-1-1(0,0)(0,0)(-2,-1)(-2,-1)y=(x+2)y=(x+2)2 2-1-1 上下左右平移抓住上下左右平移抓住 顶点的变化顶点的变化例：例：平移法则：平移法则：左加右减
17、，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的的图象。图象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2（3）由二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y
18、=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 41)25(2 xy=x241)25(2 xy（4）将二次函数）将二次函数y=2x2的图像向右平移的图像向右平移3个单位后个单位后得到函数得到函数 的图像，其对称轴的图像，其对称轴是是 ，顶点是，顶点是 ，当，当x_ 时，时，y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，y随随x的增的增大而减小大而减小.（5）将二次函数）将二次函数y=-3（x-2）2的图像向左平移的图像向左平移3个个单位后得到函数单位后得到函数 的图像，其顶点的图像，其顶点坐标是坐标是 ，对称轴是，对称轴是 ，当，当x=_ 时，时，y有最有最 值，是值，是 .y=2(x
19、-3)2直线直线x=3(3，0)33y=-3(x+1)2(-1，0)直线直线x=-1-1大大0（6）将抛物线）将抛物线y=2x23先向上平移先向上平移3单位，就得单位，就得到函数到函数 的图象，再向的图象，再向 平移平移_ 个单位得到函数个单位得到函数y=2（x-3）2的图象的图象.y=2x2右右3（7）函数）函数y=3x2+5与与y=3x2的图象的不同之处的图象的不同之处是是()A.对称轴对称轴 B.开口方向开口方向 C.顶点顶点 D.形状形状4.已知抛物线已知抛物线y=2x21上有两点上有两点(x1，y1),(x2，y2)且且x1x20，则，则y1 y2(填填“”或或“”)（8）已知抛物线
20、）已知抛物线 ，把它向下平移，把它向下平移，得到的抛物线与得到的抛物线与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交轴交于于C点，若点，若ABC是直角三角形，那么原抛物是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？线应向下平移几个单位？221xy C(0,0)(0,0)(h,k)(h,k)上下左右平移上下左右平移抓住抓住顶点顶点的变化的变化!抛物线抛物线y=axy=ax2 2 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k记住：记住：六、二次函数与一元二次方程的关系六、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系l我们知道我们知道:代数式代数式b
21、2-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作用.2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb归纳如下：判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0
22、 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点)0,2(ab有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=ab2b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0具体这样理解：具体这样理解：1、当a0,0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2)，当xx2时，y0,即ax2+bx+c0;当x1xx2时，y0,即ax2+
23、bx+c0.2、当a0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2)，当x1x0,即a x2+b x+c 0 ;当 x x2时，y 0,即ax2+bx+c0,=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2)，当xx1（或xx2）时，y0,即ax2+bx+c0;当x=x1=x2时，y=0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c04、当a0,=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，
24、即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2)，当xx1（或xx2）时，y0,即ax2+bx+c0.y05、当a0,0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y0.y0,b-4ac0 -316(-1,8)-1练习练习3 3、(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个相等的有两个相等的实数根实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有轴有个
25、交点个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x+c 8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.1116 (3)(3)一元二次方程一元二次方程3x3x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根的两个根是是x x1 1=-2,x=-2,x2 2=5/3,=5/3,那么二次函数那么二次函数y=3xy=3x2 2+x-+x-1010与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是.（-2、0）（）（5/3、0）4.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线的对称轴是直线 x=-1,由由图象知图象知,关于关于x的方程的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是的两个
26、根分别是x1=1.3,x2=5.已知抛物线已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和的图象和x轴有交点，则轴有交点，则 k的取值范围（的取值范围（）-3.347474747:k0C:Dk0A kB kkk 且：且BK0b2-4ac0B6.根据下列表格的对应值根据下列表格的对应值:判断方程判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数为常数)一个解一个解x的的范围是范围是()A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26 x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09Cw(1).用描点法作用描点
27、法作二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-10+2x-10的图象；的图象；7 7、利用二次函数的图象求一元二次方程、利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的的近似根近似根.解法解法1 1：w(3).观察估计观察估计抛物线抛物线y=xy=x2 2+2x-10+2x-10和直线和直线y=3y=3的交点的横坐的交点的横坐标；标；w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点,其横坐标一个在其横坐标一个在-5-5与与-4-4之间之间,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间,分别约为分别约为-4.7-4.7和和2.72.7(可将单位长再十可将单位长再十等
28、分等分,借助计算器确定其近似值借助计算器确定其近似值).w(4).确定方程确定方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的解的解;w由此可知由此可知,方程方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根为的近似根为:x:x1 1-4.7,x-4.7,x2 22.7.2.7.w(2).作作直线直线y=3y=3；w(1).原方程可变形为原方程可变形为x x2 2+2x-13=0+2x-13=0；w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近的近似根似根.w(3).观察估计观察估计抛物线抛物线y=xy=x2 2+2x-
29、13+2x-13和和x x轴的交点的横坐标；轴的交点的横坐标；w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点,其横坐标一个在其横坐标一个在-5-5与与-4-4之间之间,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间,分别约为分别约为-4.7-4.7和和2.72.7(可将单位长再十可将单位长再十等分等分,借助计算器确定其近似值借助计算器确定其近似值).w(4).确定方程确定方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的解的解;w由此可知由此可知,方程方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根为的近似根为:x:x1 1-4.7,x-4.7,x2 22.7.2.7.w(2).用描点
30、法作用描点法作二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-13+2x-13的图象；的图象；解法解法21.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形的形状相同状相同,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式.解解:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状相同的形状相同 a=1a=1或或-1-1 又又 顶点在直线顶点在直线x=1
31、x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5,顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5)所以其解析式为所以其解析式为:(1)y=(x-1)(1)y=(x-1)2 2+5 (2)y=(x-1)+5 (2)y=(x-1)2 2-5-5 (3)y=-(x-1)(3)y=-(x-1)2 2+5 (4)y=-(x-1)+5 (4)y=-(x-1)2 2-5-5 展开成一般式即可展开成一般式即可.七、二次函数基础知识的综合运用七、二次函数基础知识的综合运用2.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向
32、下平移向下平移 4 4个单位个单位,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新抛物线的个单位所到的新抛物线的 顶点是顶点是(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式.分析分析:(1)(1)由由a+b+c=0a+b+c=0可知可知,原抛物线的图象经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0)(2)(2)新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位,再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-53、如图，如图，已知抛物线已知抛物线 y=ax+bx+3 （a0）与）与 x轴交于点轴交于点A(1，0)和点和点B
33、(3，0)，与与y轴交于点轴交于点C (1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；（2）在（）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得QAC的周长最小？若存在，求出的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存点的坐标；若不存在，请说明理由在，请说明理由.(3)设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与 x轴交于点轴交于点M,问在对称轴上是问在对称轴上是否存在点否存在点P，使，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理的坐标；若不存在，请说明理由由(4)如图，若点如图，若点E为
34、第二象限抛物线上一动点，连接为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时面积的最大值，并求此时E点点的坐标的坐标3、如图，、如图，已知抛物线已知抛物线y=ax+bx+3 （a0）与与 x轴交于点轴交于点A(1，0)和点和点B(3，0)，与，与y轴交轴交于点于点C (1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；（2）在（）在（1）中抛物线）中抛物线的对称轴上是否存在点的对称轴上是否存在点Q，使得，使得QAC的周长的周长最小？若存在，求出最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，点的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由.Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=
35、-x-2x+3Q(-1,2)(3)设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与 x轴交于点轴交于点M，问在对称，问在对称轴上是否存在点轴上是否存在点P，使，使CMP为等腰三角形？若为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由以以M M为圆心，为圆心，MCMC为半径画为半径画弧，与对称轴有两交点弧，与对称轴有两交点;以以C C为圆心，为圆心，MCMC为半径画弧，为半径画弧，与对称轴有一个交点（与对称轴有一个交点（MCMC为腰）。为腰）。作作MCMC的垂直平分线与对的垂直平分线与对称轴有一个交点（称轴有一个交点（
36、MCMC为底为底边）。边）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)(4)如图，若点如图，若点E为为第二象限第二象限抛物线上一动抛物线上一动点，连接点，连接BE、CE，求四边形，求四边形BOCE面积的面积的最大值，并求此时最大值，并求此时E点的坐标点的坐标EF(1,0)(0,3)(-3,0)(m,-m-2m+3)八、二次函数在实际生活中的应用：八、二次函数在实际生活中的应用：同学们，今天就让我们同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！学给我们带来的乐趣吧！（一）何时获得最大利润？（一）何时获得最大利润？问题：问题：已知某商品的已知某商品的进价进价为
37、每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最大？先来看涨价的情况先来看涨价的情况:设每件涨价设每件涨价x元元,则每星期售出商品则每星期售出商品的利润的利润y也随之变化也随之变化,我们先来确定我们先来确定y与与x的函数关系式的函数关系式.涨涨价价x元时元时,则每件的利润为则每件的利润为 元元,每星
38、期少卖每星期少卖 件件,实实际卖出际卖出 件件,因此因此,所得利润为所得利润为 元元.分析分析:价格包括涨价和降价两种价格包括涨价和降价两种情况情况:(X+20)10 x(300-10 x)Y=（X+20)(300-10 x)解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y=(60-40+x)(300-10 x)=(20+x)(300-10 x)=-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x)+6000 =-10(x-5)2-25+6000 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（
39、元）（元）(0 x30)怎样确定x的取值范围解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元.y=(60-40-x)(300+20 x)=(20-x)(300+20 x)=-20 x2+100 x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0 x20）所以定价为所以定价为60-2.5=57.5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元.答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6250元元.由由(2)(3)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定你知道应该如何定
40、价能使利润最大了吗价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。通过配方求出二次函数的最大值或最小值。特别注意：特别注意：若顶点横坐标若顶点横坐标在自变量的取值范在自变量的取值范围内围内，则顶点纵坐标就是最值；若顶点，则顶点纵坐标就是最值；若顶点横坐横坐标不在自变量标不在自变量的取值范围内，则要根据二次的取值范围内，则要根据二次函数的增减性来确定
41、最值。函数的增减性来确定最值。w 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品,如果以单价如果以单价3030元销售元销售,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件.根据销售经验根据销售经验,提提高单价会导致销售量的减少高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高即销售单价每提高1 1元元,销销售量相应减少售量相应减少2020件件.售价售价提高多少元时提高多少元时,才能在半个月内才能在半个月内获得最大利润获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x)=-20 x2+200 x+4000 =-20(x
42、-5)2+4500 当x=5时，y最大=4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板1 1、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为园，其中一边靠墙，另外三边用长为3030米的篱笆围成已米的篱笆围成已知墙长为知墙长为1818米米(如图所示如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为的长为x x米米(1)(1)若平行于墙的一边的长为若平行于墙的一边的长为y y米，直接写出米，直接写出y y与与x x之间的函之间的函数关系式及其自变量数关系式及其自变量x x的取值
43、范围的取值范围（二）面积最大问题：（二）面积最大问题：(2)(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值的面积最大？并求出这个最大值(3)(3)当这个苗圃园的面积不小于当这个苗圃园的面积不小于8888平方米时，试结平方米时，试结合函数图象，直接写出合函数图象，直接写出x x的取值范围的取值范围答案：答案：(1)y(1)y30302x(6x2x(6x15)15)(2)(2)当矩形苗圃当矩形苗圃园垂直于墙的边长为园垂直于墙的边长为7.57.5米时，这个苗圃面积最大，米时，这个苗圃面积最大，最大值为最大值为112.5112.5平方
44、米平方米(3)6x11(3)6x11y0 x51015202530123457891o-16 2 2、(1)(1)请用长请用长2020米的篱笆设计一个矩形的菜园。米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ABCDxy(0 x4.（2）卡车可以通过）卡车可以通过.提示：当提示：当x=2时，时，y=3,324.13131313O（5）投篮与二次函数）投篮与二次函数创设情境，导入新课 （2 2）你们知道：投篮时，）你们知道：投篮时，篮球运动的篮球运动的路线是什么曲线？路线是什么曲线？怎样计算篮球达到怎样计算篮球达到最高点时的高度？最高
45、点时的高度？（1 1）你们喜欢打篮球吗？你们喜欢打篮球吗？问题：问题：请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线1 1、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8 8米，当球米，当球出手后
46、水平距离为出手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，设篮米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。209l 问此球能否投中？问此球能否投中？3米2098米4米4米0 xy048（4，4）920 xy如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当篮圈中心距离地面篮圈中心距
47、离地面3米米此球不能投中此球不能投中若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变,则则如何才能使此球命中如何才能使此球命中?（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点-5510642-2-4-6yx（4，4）（8，3）200,9l在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈为多少时能将篮球投入篮圈?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9208,9-5510642-2-4-6yX（8，3）（5，4）（4，4）200,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9l在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则
48、小明朝在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？入篮圈？(，），）(0,1.6)20.1()2.5yx k1.6 m 2、中考题）、中考题）推铅球的出手高度为推铅球的出手高度为,在如图在如图求求k的值的值所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线线xyO求铅球的落点与丁丁求铅球的落点与丁丁 的距离的距离一个一个1.5m的小朋友跑到的小朋友跑到离原点离原点6米的地方米的地方(如图如图)，他会受到伤害吗？他会受到伤害吗？20.1()2.5yx k求
49、求k的值的值xyO解：解：由图像可知，抛物解：由图像可知，抛物线过点线过点(0,1.6)即当即当x=0时，时，y=1.61.6=-0.1k+2.5K=3又因为对称轴是在又因为对称轴是在y轴的轴的右侧，右侧，即即x=k0所以，所以，k=32-0.1(x-3)+2.5=0-0.1(x-3)+2.5=0解之得，解之得，x=8,x=-2x=8,x=-2所以，所以，OB=8OB=8故故铅球的落点与丁丁的距离铅球的落点与丁丁的距离是是8米。米。221当当x=6时，时，y=-0.1(6-3)+2.5 =1.621.5所以，这个小朋友不所以，这个小朋友不会受到伤害。会受到伤害。B 3、如图，一单杠高如图，一单
50、杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。ABCD0.71.62.20.4EFOxy 3、如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂
