1、苏教版六年级数学第二学期七总复习1. 数 与 代 数一、数的认识(一)1. 整数和小数的意义。整数自然数正整数:像1,2,3,这样的数称为正整数。“0”表示一个物体也没有。负整数:像-1,-2,-3,这样的数称为负整数。小数有限小数:小数部分的位数是有限的小数是有限小数。无限小数(小数部分的位数是无限的小数)循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。不循环小数:小数点后有无数位且没有周期性的重复,即没有规律。2. 整数的读、写法。(1)读法:读数前通常先把这个数从右往左每四位一分级,再从高位起,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,每一级中间有1
2、个0或连续几个0,都只读一个零。(2)写法:从高位起,一级一级地写,哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那一位上写0占位。3. 小数的读、写法。(1)读法:读小数时,按从左往右的顺序读,整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作“零”);小数点读作“点”;小数部分从高位起,依次读出每个数位上的数字,即使是连续的几个0,也要一一读出来。(2)写法:写小数时,按从左往右的顺序写,整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作“0”);小数点写在个位的右下角;小数部分从高位起,依次写出每个数位上的数字。4. 正、负数的读、写法。(1)正数的读法:“+”读作“正”,“+”后面是几就读作几。负数的读
3、法:“-”读作“负”,“-”后面是几就读作几。(2)正、负数的写法。正数在数的前面加“+”,也可以省略不写;负数则在数的前面加“-”,不可以省略。5. 整数和小数的数位、计数单位及进率。整数部分小数部分亿级万级个级数位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位十分位百分位千分位万分位计数单位十亿亿千万百万十万万千百十个(一)十分之一百分之一千分之一万分之一十进制计数法:每相邻两个计数单位之间的进率都是10。6. 数的改写及求近似值。(1)把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数。把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数,先把原数的小数点向左移动四位或八位(小数部分末尾是0的要去掉),再在
4、数的后面写上“万”字或“亿”字,中间用“=”连接。(2)求近似值。省略尾数求近似值:先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数,再在数的后面写上“万”字或“亿”字,中间用“”连接。求小数的近似值:要求把小数保留到哪一位,就看这一位后面一位上的数,再按照“四舍五入”法看是“舍”还是“入”,中间用“”连接。7. 数的大小比较。(1)整数的大小比较:比较两个整数的大小,先看它们的位数,如果位数不同,那么位数多的数就大;如果位数相同,就从最高位比起,相同数位上的数大的那个数就大。(2)小数的大小比较:先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,再看小数部分,先比较十分位,十分位上的数大
5、的那个数就大;十分位上的数也相同,百分位上的数大的那个数就大依此类推。(3)正、负数的大小比较。正数大于负数。负数与负数相比较,负号后面的数越大,这个负数就越小。二、数的认识(二)1. 因数、倍数。(1)如果ab=c(a、b是非0自然数),那么a和b是c的因数,c是a和b的倍数。(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数既是它本身的因数,又是它本身的倍数。2. 2,3,5的倍数的特征。(1)2的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。(2)5的倍数的特征:个位上是0或5的数
6、都是5的倍数。(3)3的倍数的特征:如果一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。3. 奇数、偶数。(1)是2的倍数的数叫作偶数。(2)不是2的倍数的数叫作奇数。4. 质数、合数。(1)质数:只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数(或素数)。(2)合数:除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫作合数。(3)分解质因数:把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫作分解质因数。其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质因数。(4)分解质因数的方法:把一个合数分解质因数,通常用短除法。5. 公因数和最大公因数。几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数,其中最大的一个,叫作这几个数的最大
7、公因数。6. 求两个数的最大公因数的方法。枚举法;缩小倍数法;短除法;分解质因数法。7. 公倍数和最小公倍数。几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。8. 求两个数的最小公倍数的方法。枚举法;扩大倍数法;短除法;分解质因数法。9. 互质数:公因数只有1的两个数叫作互质数。三、数的认识(三)1. 分数。(1)分数的意义。把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫作分数。(2)分数单位。把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫作分数单位。(3)分数的分类。真分数:分子比分母小的分数叫作真分数,真分数小于1。假分数:分子比分母大或分子与分母
8、相等的分数叫作假分数,假分数大于1或等于1。(4)分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫作分数的基本性质。(5)分数与除法的关系。分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数,分数线相当于除法中的除号。(6)约分:把一个分数化成与它相等但分子、分母都比较小的分数,叫作约分。(7)最简分数:分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。(8)通分:把异分母分数分别化成和原来分数值相等的同分母分数,叫作通分。(9)分数的大小比较。分母相同的两个分数,分子大的分数比较大;分子相同的两个分数,分母小的分数比较大。2. 分数的读、写法。(1)读法:
9、读分数时,先读分数的分母,再读“分之”,最后读分子。读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加一个“又”字。(2)写法:写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。写带分数时,先写整数部分,再写分数部分。整数部分要对准分数线,距离要紧凑。在列式计算时,分数线要对准“=”的中间。3. 百分数。(1)百分数的意义。表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分数又叫百分比或百分率。(2)百分数的读法。百分数的读法与分数的读法相同。先读百分号(分母),读成“百分之”,再读百分号前面的数(分子)。(3)百分数的写法。百分数通常不写成分数的形式,而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。4.
10、数之间的联系。(1)整数与分数之间的联系。整数可以看作分母是1的分数。假分数化成整数或带分数的方法:根据分数与除法的关系,用假分数的分子除以分母,如果分子是分母的倍数,所得的商就是整数;如果分子不是分母的倍数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是带分数的分数部分的分子,原分母不变。整数化成假分数的方法:把整数化成假分数,用指定的分母作分母,用分母和整数的乘积作分子。带分数化成假分数的方法:把带分数化成假分数,用原来的分母作分母,用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。(2)判断一个分数能否化成有限小数的方法。a.要看这个分数是不是最简分数。b.如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数。
11、如果分母中只含有质因数2和5,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的其他质因数,这个分数就不能化成有限小数。(3)分数、小数与百分数之间的互化。四、常见的量1. 常见的计量单位及其进率。(1)质量单位及其进率。常见的质量单位有吨、千克、克。1吨=1000千克1千克=1000克(2)时间单位及其进率。时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒,季度、星期等。日、时、分、秒等时间单位的关系。1世纪=100年1日=24时1时=60分1分=60秒1星期=7日平年、闰年的判断方法。根据公历年份判断,一般情况下,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的都是闰年,反之则是平年。(3)人
12、民币的单位及其进率。人民币的单位有元、角、分。1元=10角1角=10分2. 24时记时法。(1)24时记时法的意义。采用从0时到24时的记时法,通常叫作24时记时法。(2)普通记时法与24时记时法的换算。24时记时法中,时针走第一圈时,钟面上的时数与普通记时法相同。时针走第二圈时,相当于用钟面上的时数加上12,也就是比普通记时法的下午时刻多12时。这样,下午1时就是13时,下午2时就是14时3. 名数的改写。把高级单位改写成低级单位,乘进率;把低级单位改写成高级单位,除以进率。五、数的运算(一)1. 四则运算的意义。整数小数分数加法把两个数合成一个数的运算与整数加法的意义相同 与整数加法的意义
13、相同减法已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算与整数减法的意义相同与整数减法的意义相同乘法求几个相同加数的和的简便运算一个数乘小数,就是求这个数的十分之几、百分之几是多少 一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少除法已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算与整数除法的意义相同与整数除法的意义相同2. 四则运算的计算方法。整数小数分数加法相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十,就要向前一位进1计算小数加、减法时,先把小数点对齐(也就是相同数位对齐),再按照整数加、减法的计算方法进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点同分母分数相加减,分母不变,只把分子
14、相加减。异分母分数相加减,先通分,再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算减法相同数位对齐,从个位减起,哪一位上的数不够减,就要从前一位上退1,在本位上加10再减乘法从低位到高位分别用一个因数每一位上的数去乘另一个因数。用因数的哪一位去乘,乘得的积的末位就要和那一位对齐,然后把几次乘得的积加起来计算小数乘法,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母除法从被除数的高位除起,除数有几位,就先看被除数的前几位,如果比除数小,就多取一位再除。除
15、到哪一位,商就写在那一位的上面,每次除得的余数必须比除数小。在求出商的最高位以后,如果被除数的哪一位不够商1,就在那一位上写“0”除数是整数时,按照整数除法的计算方法进行计算,商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时,要先把除数转化成整数,同时把被除数扩大相同的倍数,再按照除数是整数的除法进行计算甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数3. 四则运算中各部分的关系。各部分的关系加法和=加数+加数加数=和-另一个加数减法差=被减数-减数减数=被减数-差被减数=减数+差乘法积=因数因数一个因数=积另一个因数除法商=被除数除数除数=被除数商被除数=除数商六、数的运算(二)1. 四则运算定律
16、和运算性质。(1)运算定律。名称文字叙述用字母表示加法交换律两个数相加,交换加数的位置,和不变a+b=b+a加法结合律三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律两个数相乘,交换因数的位置,积不变ab=ba乘法结合律三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变(ab)c=a(bc)乘法分配律两个数的和与一个数相乘,等于把两个数分别与这个数相乘,再把两个积相加(a+b)c=ac+bc(2)运算性质。减法的运算性质。a-b-c=a-(b+c)a-(b-c)=a-b+ca+(b-c)=a+b-c除法的运算性质(除数不为0)。abc=
17、a(bc) a(bc)=abc(a+b)c=ac+bc(a-b)c=ac-bc商不变的性质。(am)(bm)=ab(m0,b0) (am)(bm)=ab(m0,b0)2. 估算。(1)估算的意义。可以把参与运算的数看作与它最接近的整十、整百、整千的数(根据实际情况而定),然后估计得数大约是多少。(2)常用的估算策略。凑整的方法。 取一个中间数。 根据特殊数的特点进行估算。3. 四则混合运算的顺序。(1)四则混合运算分为两级。加法和减法叫作第一级运算,乘法和除法叫作第二级运算。(2)四则混合运算的顺序。在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先算第二
18、级运算,再算第一级运算。在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。七、数的运算(三)1. 解决问题的一般步骤。(1)审清题意,并找出已知条件和所求问题。(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么。(3)列式解答。(4)回顾反思,检验并写出答语。2. 解决问题常用的两种分析方法。综合法和分析法。3. 解决问题常用的策略。画图法、列表法、枚举法、转化法、假设法等是解决问题常用的策略。4. 简单应用题。(1)特点。简单应用题都是由两个已知条件和一个问题组成的,并且问题与两个已知条件都是直接相关的。(2)解答简单应用题的方法。按照题中的条件和问题之间的
19、数量关系,根据四则运算的意义选择解题方法,求出答案。(3)常见的数量关系。收入-支出=结余单价数量=总价工作效率工作时间=工作总量单产量数量=总产量本金利率时间=利息速度时间=路程5. 复合应用题。(1)归一应用题。先求单一量是多少的应用题,叫作归一应用题。基本数量关系:总量份数=单一量,单一量份数=总量,总量单一量=份数。(2)归总应用题。先求出总量,再根据总量和其他条件求出所求量的应用题,叫作归总应用题。(3)和差应用题。已知大、小两个数的和与差,求这两个数各是多少的应用题,叫作和差应用题。基本数量关系:大数=(和+差)2小数=(和-差)2(4)倍数应用题。已知各数量间的倍数关系及其他条件
20、,求各数量是多少的应用题,叫作倍数应用题。分类。第一:和倍应用题,已知两个数的和与这两个数之间的倍数关系,求这两个数各是多少。基本数量关系:两个数的和(倍数+1)=小数小数倍数=大数或两个数的和-小数=大数第二:差倍应用题,已知两个数的差与这两个数之间的倍数关系,求这两个数各是多少。基本数量关系:两个数的差(倍数-1)=小数小数倍数=大数或小数+两个数的差=大数(5)行程应用题。相遇问题:相遇时间=总路程速度和。追及问题:追及时间=追及路程速度差。行船应用题。一般是研究船在流水中航行的应用题。它是行程应用题中比较特殊的一种类型,也是一种和差应用题。主要考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。基本数量
21、关系:顺流速度=船速+水速逆流速度=船速-水速船速=(顺流速度+逆流速度)2水速=(顺流速度-逆流速度)2路程=顺流速度顺流航行所需时间=逆流速度逆流航行所需时间(6)鸡兔同笼应用题。已知鸡与兔的总只数和总腿数,求鸡与兔各有多少只的应用题,通常称为鸡兔同笼应用题。解题方法:假设全是鸡,兔的只数=(总腿数-2总只数)(4-2);假设全是兔,鸡的只数=(4总只数-总腿数)(4-2)。6. 分数(百分数)应用题。(1)求一个数是另一个数的几(百)分之几已知甲数和乙数,求甲数是乙数的几(百)分之几。解题方法:甲数乙数已知甲数和乙数,求甲数比乙数多几(百)分之几。解题方法:(甲数-乙数)乙数已知甲数和乙
22、数,求乙数比甲数少几(百)分之几。解题方法:(甲数-乙数)甲数(2)求一个数的几(百)分之几是多少。已知甲数,求它的几(百)分之几是多少。解题方法:甲数几(百)分之几已知甲数,求比它多几(百)分之几的数是多少。解题方法:甲数1+几(百)分之几已知甲数,求比它少几(百)分之几的数是多少。解题方法:甲数1-几(百)分之几(3)已知一个数的几(百)分之几是多少,求这个数。已知甲数的几(百)分之几是多少,求甲数。解题方法:甲数几(百)分之几=已知数(设甲数为x)或已知数几(百)分之几=甲数。已知比甲数多几(百)分之几的数是多少,求甲数。解题方法:甲数1+几(百)分之几=已知数(设甲数为x)或已知数1+
23、几(百)分之几=甲数。已知比甲数少几(百)分之几的数是多少,求甲数。解题方法:甲数1-几(百)分之几=已知数(设甲数为x)或已知数1-几(百)分之几=甲数。八、式与方程1. 用字母表示数、数量关系、运算定律和计算公式。(1)用字母表示数。(2)用字母表示数量关系。如果用s表示路程,v表示速度,t表示时间,那么路程、速度、时间之间的关系可以表示为s=vt。(3)用字母表示运算定律。加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a+b)c=ac+bc(4)用字母表示计算公式。正方形的周长:C=4a长方形的
24、周长:C=(a+b)2长方形的面积:S=ab正方形的面积:S=a2平行四边形的面积:S=ah三角形的面积:S=ah2梯形的面积:S=(a+b)h22. 等式。(1)等式的意义:表示相等关系的式子叫作等式。(2)等式的性质。等式的性质一:等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。等式的性质二:等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,等式仍然成立。3. 方程。(1)方程:含有未知数的等式叫作方程。(2)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。(3)解方程:求方程的解的过程叫作解方程。4. 列方程解应用题。(1)列方程解应用题的优点。先用一个字母代替未知数,再把它看作已知数参与列
25、式和运算,便于把题中的数量关系直接反映出来,使问题简单化。(2)列方程解应用题的一般步骤。弄清题意,找出未知数并用x表示;找出等量关系,并根据等量关系列方程;解方程,求出未知数的值;检验并写出答语。九、正比例和反比例1. 比。(1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。(2)比的各部分名称及读法。56=56读作:五比六前项比号后项比值(3)比的基本性质。比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变。(4)求比值和化简比。求比值:比的前项除以后项所得的商叫作比值。化简比:运用比的基本性质可以把比化成最简单的整数比,即比的前项和后项是互质数。 (5)比和除法、分数的联系与区别。联系:比
26、的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。区别:比是一种关系;分数是一个数;除法是一种运算。(6)比例尺。一幅图的图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。比例尺=图上距离实际距离或比例尺=图上距离实际距离;图上距离=实际距离比例尺;实际距离=图上距离比例尺。比例尺的形式。a. 数值比例尺:一幅图的比例尺是11000,像这样的比例尺叫作数值比例尺。b. 线段比例尺:,这种比例尺是用线段表示的,叫作线段比例尺。(7)按比分配。在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。按比分配应用题的特
27、征:已知总量和各部分量的比,求各部分量。常用的解题方法有两种:一种是先求总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求各部分量;另一种是先求每份是多少,再求几份是多少。2. 比例的意义。(1)比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。(2)比例各部分的名称。组成比例的四个数叫作比例的项,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。(3)比例的基本性质。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫作比例的基本性质。3. 正比例和反比例。(1) 正比例:yx=k(一定)反比例:xy=k(一定)(2)运用比例知识解决实际问题。比例应用题的分类。比例应用题分为正比例应用题和反比例应用题。用正比例
28、知识解答的应用题,就是以前学过的归一应用题。用反比例知识解答的应用题,就是以前学过的归总应用题。运用比例知识解答应用题的一般步骤。a. 判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例。b. 设未知量为x。c. 列出比例,解比例。d. 检验并写出答语。 2. 图形与几何一、图形的认识测量(一)(一)直线、射线和线段1. 直线:把线段的两端无限延长,就可以得到一条直线;直线没有端点,无法度量长度。2. 射线:把线段的一端无限延长,就可以得到一条射线;射线有一个端点,无法度量长度。3. 线段:直线上两点间的一段叫作线段;线段有两个端点,可以度量长度。(二)垂直与平行1. 平行:在同一平面内,不相交的两
29、条直线叫作平行线,也可以说这两条直线互相平行。2. 垂直:在同一平面内,两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫作垂足。3. 点到直线的距离:从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这个点到直线的距离。(三)角1. 角的定义。从一点引出的两条射线所组成的图形叫作角。角的大小与两边的长短无关,与两边张开的大小有关。2. 角的分类。(1)锐角大于0而小于90。(2)钝角大于90而小于180。(3)直角等于90。(4)平角等于180。(5)周角等于360。(四)三角形1. 三角形的定义。由三条线段首尾顺次相连围成的封闭图形,叫作三角形。
30、2. 三角形各部分的名称。(1)围成三角形的三条线段叫作三角形的边。每两条边的交点叫作三角形的顶点。每两条边所围成的角叫作三角形的内角。(2)从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。(作图时高一般用虚线表示,并标上垂直符号)任何一个三角形都有三条底和三条高,每条底都与一条高相对应。3. 三角形的分类。(1)按角分。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。(2)按边分。不等边三角形:三条边都不相等的三角形。等腰三角形:有两条边相等的三角形。(3)三角形的内角和:三角形的内角和是180。(4)三
31、角形的特殊性质:三角形具有稳定性。(五)四边形1. 四边形的定义。在同一平面内,由四条线段首尾顺次相连围成的封闭图形,叫作四边形。2. 四边形的分类。3. 几种四边形的关系。(六)圆1. 圆的定义:圆是一种封闭的曲线图形。2. 圆各部分的名称。(1)半径:圆中心的一点叫作圆心,圆心用字母O表示;圆心到圆上任意一点的线段叫作半径,半径用字母r表示。(2)直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,直径用字母d表示。3. 圆的特征。在同圆或等圆中,直径=半径2,半径=直径12;圆是轴对称图形,圆的直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆有无数条直径和半径。4. 圆的周长。围成圆的曲线的长
32、叫作圆的周长。5. 圆周率。圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用表示。圆周率是一个无限不循环小数,=3.1415926535在小学阶段,计算时一般只取它的两位近似值,即3.14。6. 画圆的方法。(1)方法一用一根线和一支笔画圆。将线的一端固定在一点(即圆心),用笔将线拉直并绕这一固定点旋转一周就可以画出一个圆。(2)方法二用圆规画圆。确定圆规两脚间的距离(即半径)。把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)。把装有铅笔的一只脚旋转一周,就画出了一个圆。7. 圆环。(1)两个半径不相等的圆,当圆心重合时,两个圆之间的部分叫作圆环。通常把较大的圆叫外圆,半径用R表示;较小的圆叫内圆,半径用r表示
33、。(2)圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积,如果用S表示圆环的面积,则圆环的面积用字母表示是S=R2-r2=(R2-r2)。二、图形的认识测量(二)(一)平面图形的周长和面积的定义1. 周长的定义。封闭图形一周的长度叫作这个图形的周长。2. 面积的定义。物体的表面或围成的平面图形的大小,叫作它的面积。(二)常见的平面图形的周长和面积的计算公式1. 周长与面积的计算公式。(1)长方形的周长:C=2(a+b) 长方形的面积:S=ab(2)正方形的周长:C=4a 正方形的面积:S=a2(3)平行四边形的面积:S=ah(4)梯形的面积:S=(a+b)h2(5)三角形的面积:S=ah2(6)圆的周长
34、:C=d=2r圆的面积:S=r22. 公式的推导。(1)长方形:用数方格的方法推导。(2)正方形:把正方形看作长和宽相等的长方形。(3)平行四边形:由长方形面积推导而来的,把平行四边形的一角切割平移至另外一角,就能拼成一个长方形,长方形的长就是平行四边形的底,宽就是平行四边形的高,因为长方形的面积=长宽,所以平行四边形的面积=底高。(4)梯形:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底=梯形的上底+下底,平行四边形的高=梯形的高,因为平行四边形的面积=底高,所以梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。(5)三角形:两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角
35、形的底,高就是三角形的高,因为平行四边形的面积=底高,所以三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。(6)圆:把一个圆平均分成若干等份后,可以拼成一个近似的长方形,长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,所以圆的面积与拼成的长方形的面积相等。三、图形的认识测量(三)(一)长方体和正方体1. 长方体的认识。(1)长方体各部分的名称。长方体的两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。长方体相交于一个顶点的三条棱分别叫作长方体的长、宽、高。(2)长方体的基本特征。长方体是由6个长方形围成的立体图形(有时有两个相对的面是正方形)。它有6个面、12条棱、8个顶点。在一个长方体
36、中,相对的面完全相同,相对的棱的长度相等。2. 正方体的认识。(1)正方体的两个面相交的线叫作正方体的棱。(2)正方体的基本特征。正方体的6个面是完全相同的正方形;正方体有12条棱,长度都相等;正方体有8个顶点。3. 长方体和正方体的相关计算。(1)长方体。棱长总和:长方体的12条棱的长度和叫作它的棱长总和。计算公式:C=(a+b+h)4把平行四边形通过割补、平移转化成长方形。表面积:长方体的6个面的总面积叫作它的表面积。计算公式:S=(ab+ah+bh)2体积:一个物体所占空间的大小叫作它的体积。计算公式:V=abh(2)正方体。正方体的棱长总和:C=12a正方体的表面积:S=6a2正方体的
37、体积:V=a34. 体积和容积的异同。(1)意义不同。物体所占空间的大小,叫作物体的体积。一个容器所能容纳的物体的体积,叫作这个容器的容积。(2)测量方法不同。求物体的体积是从物体的外部来测量相关数据的。求物体的容积是从物体的内部来测量相关数据的。(3)单位名称不完全相同。体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。计算液体的体积时一般用升或毫升。(4)计算公式相同。长方体(或正方体)、圆柱的体积或容积=底面积高(二)常用的体积或容积单位及其进率1. 体积单位。1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米2. 容积单位。1升=1000毫升1升=1立方分米1毫
38、升=1立方厘米(三)圆柱和圆锥1. 圆柱的认识。(1)圆柱各部分的名称。圆柱的上、下两个面叫作圆柱的底面,圆柱的两个底面是完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高,圆柱有无数条高,所有的高的长度都相等。一般地,长方体的6个面都是长方形,有时有两个相对的面是正方形。(2)圆柱的基本特征。两个底面是完全相同的圆;侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形或正方形;高是两个底面之间的距离,有无数条高且都相等。(3)圆柱的侧面积。 圆柱的侧面沿着一条高展开后是一个长方形或正方形,这个长方形的长(或宽)或正方形的边长等于圆柱的底面周长,长方形的宽(或长)或正方形的边长等
39、于圆柱的高,这个长方形或正方形的面积就是圆柱的侧面积,圆柱的侧面积=底面周长高。如果用C表示圆柱的底面周长,用h表示圆柱的高,用S表示圆柱的侧面积,那么圆柱的侧面积为S=Ch。(4)圆柱的表面积。圆柱的表面积=圆柱的侧面积+2个底面积常见的油桶、无盖水桶、烟囱的表面积。油桶的表面积=侧面积+2个底面积无盖水桶的表面积=侧面积+1个底面积烟囱的表面积=侧面积(5)圆柱的体积。圆柱体积计算公式的推导。把圆柱的底面等分成16个相同的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把圆柱切开后再拼起来,就得到一个近似的长方体。等分成的扇形越多(平均分成的份数必须是偶数),拼成的立体图形就越接近长方体。拼成的长方体的底面积
40、等于圆柱的底面积,高就是圆柱的高。因为长方体的体积=底面积高,所以圆柱的体积=底面积高。圆柱体积的字母公式。如果用S表示圆柱的底面积,用r表示底面半径,用h表示高,用V表示圆柱的体积,则圆柱体积的计算公式为V=Sh=r2h。2. 圆锥的认识。(1)圆锥的特征。一个圆锥是由曲面和平面两部分围成的。曲面部分叫作圆锥的侧面,沿高展开后是一个扇形;平面部分叫作圆锥的底面,圆锥的底面是圆。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高。(2)圆锥的体积。如果用S表示圆锥的底面积,用r表示底面半径,用h表示圆锥的高,用V表示圆锥的体积,那么圆锥体积的计算公式为V=13Sh=13r2h。3. 立体图
41、形的表面积和体积计算公式。长方体:S=2(ab+ah+bh)V=abh正方体:S=6a2V=a3圆柱:S侧=ChS表=Ch+2r2V=Sh=r2h圆锥:V=13Sh=13r2h四、图形的运动(一)轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折,折痕两侧的图形能够完全重合,那么这个图形就叫作轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴。(二)平移和旋转1. 平移。物体或图形在同一平面内沿直线运动,而本身没有发生方向上的改变,像这样的物体或图形所做的运动叫作平移。平移的两个要素:一是平移的方向,二是平移的距离。2. 旋转。物体或图形绕着一个点或一个轴进行圆弧或圆周运动,像这样的物体或图形所做的运动叫作旋转。旋
42、转的三个要素:一是围绕旋转的点或轴;二是旋转的方向(逆时针方向或顺时针方向);三是旋转的角度。(三)图形的放大与缩小1. 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小,从而得到该图形的放大图或缩小图(放大图或缩小图统称为原图形的相似图形)。一个图形的相似图形与原图形相比较:形状相同,大小不同。2. 把一个图形放大或缩小的方法:先按给定的比计算出放大或缩小的图形中相应的特征线段的长度,再画出原图形的相似图形。五、图形与位置(一)确定物体的位置1. 用数对表示物体的位置。(1)列、行。在确定位置时,竖排叫作列,横排叫作行。确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从前往后数。用数对表示位置的列与行的数序
43、都从0开始,0既表示列数的起点,也表示行数的起点。第几列和第几行都是直接用数标在横轴和纵轴上的。(2)数对。数对有两个数,在表述的时候,先表示列数,再表示行数,前后的顺序不能颠倒。(3)数对的书写格式。用括号把列数与行数括起来,并在列数和行数之间用逗号隔开。(4)根据数对在方格纸上确定物体的位置。2. 用方向和距离描述位置。(1)用上、下、前、后、左、右等方位词确定物体的位置。(2)能辨认东、南、西、北、东北、西北、东南、西南8个方向。(3)认识地图上的8个方向。绘制地图时,通常是按上北、下南、左西、右东绘制的。北偏东45是东北方向;北偏西45是西北方向;南偏东45是东南方向;南偏西45是西南
44、方向。3. 把方向和距离结合起来确定物体的位置。(1)以观测点为中心,画一个表示东、南、西、北四个方向的“十”字图,并分别标出东、南、西、北四个方位词,即画出方向标。(2)把观测点和观测目标点连起来,这样就有了一条射线,然后测量出该射线与正北或正南或正西或正东的夹角度数。(3)测量出观测点与观测目标点之间的距离。(4)把方向和距离这两个条件结合起来确定物体的位置。(二)画路线1. 看懂并描述路线图。(1)根据方向标确定路线图的方向。(2)根据比例尺和测得的图上距离算出相应的实际距离。(3)明确从一个地点按什么方向走,走多远到另一个地点。2. 画路线图。(1)确定方向。(2)根据实际距离及图纸的大小确定比例尺。(3)求出图上距离。(4)以某一地点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。东与西相对,南与北相对,东南与西北相对,西南与东
