1、空间向量与空间角 空间向量与空间距离 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.O OA AB Ba a b b.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：用空间
2、向量解决立体几何问题的三步曲：1.1.（化为向量问题）（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题平面，把立体几何问题转化为向量问题.2.2.（进行向量运算）（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题角等问题.3.3.（回到图形问题）（回到图形问题）把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义.探究点探究点1 1
3、异面直线所成的角异面直线所成的角lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 .,l m(0)2cosa ba b b提示：提示：【总结提升总结提升】两条异面直线所成的角的两个关注点两条异面直线所成的角的两个关注点(1)(1)余弦值非负余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)(2)范围范围:异面直线所成的角异面直线所成的角 ,故两直线的方故两直线的方向向量夹角向向量夹角的余弦值为负时的余弦值为负时,应取其绝对值应取其绝对值.(02，探究点探究点2 2 线面角线面角
4、 ua ula sina ua u 设设直直线线的的方方向向向向量量为为a a，平平面面的的法法向向量量为为，且且直直线线 与与平平面面所所成成的的u u0 0角角为为().2 2lll提示：提示：2.2.向量法求直线与平面所成角的原理向量法求直线与平面所成角的原理条件条件直线直线l(方向向量为方向向量为a)与平面与平面(法向量为法向量为n)所成的角为所成的角为图形图形关系关系 计算计算sinsin=|cos=|cos|,0,22，a na n,22 ，a na ncoscos,AB CDAB CDAB CD DClBA探究点探究点3 3二面角二面角 1 1 方方向向向向量量法法:将将二二面面
5、角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角.如如图图，设设二二面面角角-的的大大小小为为,其其中中ABAB,AB,AB,CD,CD,CD,CD.lll,m n cos.m nm n l(2)(2)法法向向量量法法将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角.如如图图，向向量量n n，m m，则则二二面面角角-的的大大小小 .注意法向量的方向：同进同出，注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于
6、法向量夹一进一出，二面角等于法向量夹角角l若若二二面面角角-的的大大小小为为(0(0),),则则：lnm 二面角的范围：二面角的范围：0,1n2 n2 n1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n AOB ,的的夹夹角角为为，cos|u vuv uv提示：提示：,的夹角为，cos|u vuv uv求异面直线的夹角求异面直线的夹角 两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等当两方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面
7、直线所成的角所成的角 四棱锥四棱锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为60.在四边形在四边形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；的坐标；(2)求异面直线求异面直线PA与与BC所成的角的余弦值所成的角的余弦值例例1求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角【思路点拨】【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取有两种思路
8、：一是由定义找出线面角，取A1B1的的中点中点M，连结，连结C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法的法向量向量n(，x，y)求解求解例例2利用向量法求二面角的步骤：利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；量；(3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小
9、确定出二面角的平面角的大小求平面与平面所成的角求平面与平面所成的角 如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别是棱分别是棱BC，CC1上的点，上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)证明证明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值例例3【思路点拨】【思路点拨】解答本题首先建立空间坐标系，解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解写出一些点的坐标，再利用向量法求解探究探究4 4：1.1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数
10、量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题.2aa222axyz(,)ax y z提示：提示：2.2.点到直线的距离点到直线的距离a,APAP a 提示：d=sin d=sin 点点P P与直线与直线l的距离为的距离为d d。设设E E为平面为平面外一点外一点,F,F为为内任意一内任意一 点点,为平面为平面的法向量的法向量,则点则点E E到平面的到平面的 距离为。距离为。n3.3.点到平面的距离点到平面的距离 a,b是异面直线是异面直线,E,F,E,F分别是直线分别是
11、直线a,b上的点上的点,是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为n4.4.异面直线间的距离异面直线间的距离5.5.平面与平面的距离问题：平面与平面的距离问题：A，P分别是平面分别是平面 与与 上任意一点，上任意一点，平面平面 与与 的的距离为距离为d,d,则则mDCPAlab类型一类型一空间两点间距离空间两点间距离【典例典例】1.1.若若O O为原点，为原点，=(1=(1，1 1，-2)-2)，=(3=(3，2 2，8)8)，=(0=(0，1 1，0)0)，则线，则线段段ABAB的中点的中点M M到点到点C C的距离为的距离为()OA OB OC 16553A.B
12、.2 14 C.53 D.222.2.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底中，底面是以面是以O O为中心的菱形，为中心的菱形，POPO底面底面ABCDABCD，AB=2AB=2，BADBAD=，M M为为BCBC上一点，且上一点，且BM=BM=，MPAPMPAP，则，则POPO的长为的长为_._.1233.3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD，ABEFABEF的边长都是的边长都是1 1，而且平面，而且平面ABCDABCD，ABEFABEF互相垂直，点互相垂直，点M M在在ACAC上移动，点上移动，点N N在在BFBF上移上移动，若动，若CM=BN=a(0a ).CM=
13、BN=a(0a ).(1)(1)求求MNMN的长的长.(2)a(2)a为何值时，为何值时，MNMN的长最小？的长最小？2类型二类型二求点到直线的距离求点到直线的距离【典例典例】1.1.已知矩形已知矩形ABCDABCD的边长的边长AB=6AB=6，AD=4AD=4，在，在CDCD上上截取截取CE=4CE=4，以，以BEBE为棱将为棱将BCEBCE折起成折起成BCBC1 1E E，使，使BCBC1 1E E的高的高C C1 1FF平面平面ABCDABCD，则点，则点C C1 1到到ABAB的距离为的距离为_._.2.2.如图，在空间直角坐标系中有棱长为如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体的正
14、方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M是线段是线段DCDC1 1上的动点，试求点上的动点，试求点M M到直到直线线ADAD1 1距离的最小值距离的最小值.【解析解析】1.1.如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系.则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(6B(6，0 0，0)0)，C C1 1(4(4，2 2，2 )2 )，D(0D(0，4 4，0)0)，于是，于是 上的单位向量是上的单位向量是n0 0=(-1=(-1，0 0，0)0)，所以点所以点C C1 1到到ABAB的距离为的距离为d=d=21BA(6 00)BC2,2,2
15、 2.，BA 22110BC|BC|.n又又 所以所以d=d=答案：答案：2 22222110BC222 216,BC2,n216 22 3.32.2.设设M(0M(0，m m，m)(0ma)m)(0ma)，=(-a=(-a，0 0，a)a)，直线，直线ADAD1 1的一个单位方向向量的一个单位方向向量s=，=(0=(0，-m-m，a-m)a-m)，故点，故点M M到直线到直线ADAD1 1的距离的距离d=d=1AD 22022(，)1MD2211MD|MD|s22222131ma ma mmama222，根式内的二次函数当根式内的二次函数当m=m=时取最小值时取最小值 故故d d的最小值为的
16、最小值为 a.a.aa33222223 aa11()aaa2 3323，33类型三类型三求点到平面的距离求点到平面的距离【典例典例】设正方体设正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，求点，求点D D1 1到到平面平面A A1 1BDBD的距离的距离.【解析解析】如图建立空间直角坐标系，则如图建立空间直角坐标系，则D D1 1(0(0，0 0，2)2)，A A1 1(2(2，0 0，2)2)，D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，2 2，0)0)，所以所以设平面设平面A A1 1BDBD的一个法向量的一个法向量n=(x=(x，y y，z)z)，则则 令令x=1x=1，则则n=(1=(1，-1-1，-1)-1)，所以点所以点D D1 1到平面到平面A A1 1BDBD的距离的距离d=d=111DA(2 00)DA2,0,2,DB2,2,0,，1DA2x 2z 0DB 2x 2y 0 ，nn11DA22 3.33 nn课堂小结：课堂小结：1.向量法解决空间几何问题的“三部曲”。2.向量法求“点点距”，“点面距”。3.“点线距”、“线线距”可转化为点点距；“线面距”、“面面距”可转化为点面距进行处理.
