1、2023 年数学期中考试卷第 1 页 共 4 页2022-20232022-2023 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试高二年级高二年级 数学试卷数学试卷满分满分 150150 分；考试时间分；考试时间 120120 分钟分钟一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1.直线013yx的倾斜角为（）A.3B.6C.32D.652.已知直线1l：01 ymx，2l：01)1(2ymx（Rm）,则下列结论正确的是（）
2、A直线1l过定点)1,0(B当21ll 时，31mC当21/ll时，2mD当12ll时，两直线1l，2l之间的距离为423.已知nS是等比数列 na的前n项和，若存在*Nm，满足92mmSS，1152mmaamm，则数列 na的公比为()A2B2C3D34.四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若23AExAByBCzAP ，则xyz等于（）A1B1112C116D25.从 0，1，2，3，4，5，6 七个数字中取四个不同的数组成被 5 整除的四位数，这样的四位数的个数有（）A.260B.240C.220D.2006.已知函数)(xf的导函数是)(xf，若1)1()
3、(23xxfxf，则下列结论正确的是（）A5)2(f.B.)(xf在,320,上单调递减C.0 x为函数)(xf的极大值点D.曲线)(xfy 在1x处切线为xy2023 年数学期中考试卷第 2 页 共 4 页7.已知1F，2F是双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，点1F关于渐近线的对称点恰好落在以2F为圆心，2OF为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A2B3C2D318.已知函数xxxfsin2)()0(x所有极小值点从小到大排列成数列 na，则2023sin a()A.21B.23C.21D.23二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小
4、题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0分分)9.等差数列 na中，nS为 na的前n项和，则下列结论正确的是（）A.若15852aaa，则1073aaB.若69a，则20417SC.若01a，且83SS，则nS取得最大值时，6n或7nD.nSn必为等差数列10.椭圆13422yx的左右两焦点分别为21,FF，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q,则下列结论正确
5、的是（）A.若xPF 1轴，则232PFB.四边形21QFPF周长为 8C.点P到点2F最小距离为 1D.至少存在一点P使9021PFF11.抛物线:Cxy42焦点为F,下列结论正确的是（）A.过焦点F的直线交抛物线于BA,若8AB，则弦AB中点到y轴距离为 4B.CBA,为抛物线上三点，若F是ABC的重心，则FCFBFA的值为 6C.若P为抛物线上一点，4PF，则21OPD.若)1,3(Q,P为抛物线上一点，则PQPF 的最小值为 52023 年数学期中考试卷第 3 页 共 4 页12.已知函数)(xf为定义在),0()0,(上的奇函数，若当0 x时，0)()(xfxf x，且0)2(f，则
6、（）A.)()(efefB.当2m时，)2()(2mfmfC.0)4(3)3(4ffD.不等式0)(xf解集为)2,0()2,(三、填空题三、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在分把答案填在答题卡上答题卡上)13.直线0132 yx的方向向量坐标可以是（只需写出一个满足条件的一个向量）14.五个学生(含甲、乙、丙)排成一排，甲与乙必须相邻，甲与丙不能相邻，则不同的排法种数有。（用数字作答）15.直线(2)ya x与曲线2|1xy y恰有 2 个公共点，则实数a的取值范围为_.16.法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作解析
7、函数论中提出一个定理：如果函数)(xfy 满足如下两个条件：(1)其图象在闭区间ba,上是连续不断的；(2)在区间),(ba上 都 有 导 数.则 在 区 间),(ba上 至 少 存 在 一 个 数c，使 得)()(afbf)(abcf，其中c称为拉格朗日中值。函数xxxg ln)(在区间21，上的拉格朗日中值c_.四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤步骤)17.（本题满分 10 分）已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线1 yx相切，且圆心在直线xy2上（1）
8、求圆 C 的方程；（2）已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程18.（本题满分 12 分）（1）二项式nxx315展开式中所有二项式系数和为 64，求其展开式中含2x项的系数.（2）已知6622105)12)(1(xaxaxaaxx.分别求642aaa；3a的值.2023 年数学期中考试卷第 4 页 共 4 页19.（本题满分 12 分）已知在公差不为零的等差数列 na中，31a，4a是3a与7a的等比中项，数列 nb的前n项和为nS，满足12nnbS.（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）求数列nnba的前n项和nT.20.（本题满分 12 分）在四
9、棱锥ABCDP 中，侧面PCD 底面ABCD，CDPD，底面ABCD是直角梯形，CDAB/，90ADC，1ABADPD，2CD（1）求证：BC平面PBD；（2）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；（3）侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角PBDE的余弦值为63，若存在，求PCPE的值，若不存在，说明理由.21.（本题满分 12 分）已知函数xxxf ln)(（1）求曲线)(xfy 在ex 处的切线方程；（2）求函数xxxxfxg2ln42)()(的单调区间和极值；（3）若不等式1)1()(xaxf在),0(上恒成立，求实数a的取值范围.22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：1
10、2222byax)0(ba过点)1,2(P，21,FF分别为椭圆 C 的左、右焦点，且2421 PFPF.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）点 M，N 是椭圆 C 上与点P不重合的两点，且以MN为直径的圆过点 P，若直线MN过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由2023 年数学期中考答案及解析第 1 页 共 10 页2022-20232022-2023 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试高二年级高二年级 数学试卷答案及解析数学试卷答案及解析一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分)1.【答案】D【解析】直
11、线斜率为33k，设倾斜角为，则33tan，65，故选 D。2.【答案】B【解析】不管m为何值，当0 x时，1y，所以直线1l过定点)1,0(，故 A 错误；当21ll 时，有012mm，得31m，故 B 正确；当21/ll时，有02)1(mm，022mm，得2m或1m，但2m时，1l与2l重合，舍去，当1m时，21/ll，故C错误；结合C选项知当21/ll时，1m，所以直线：1l01 yx，2l：0122yx，所以两平行线间的距离为42322)2(122d，故 D 错误故选 B3.【答案】B【解析】设公比为q，由已知可知公比不为 1，911)1(1)1(1212mmmmmqqqaqqaSS，8
12、mq，又8115111212mmqqaqaaammmmm，得3m，2q，故选 B.4.【答案】B【解析】因AEABBCCEABBCEPABBCAPAE 所以2AEABBCAP ，所以111222AEABBCAP ，所以111,2,3222xyz，解得111,246xyz，所以11111+24612xyz，故选 B.5.【答案】C【解析】被 5 整除，个位为 0 或 5，个位为 0，12036A；个位为 5，1002515AA,120+100=220，所以这样的四位数的个数有 220 个，故选 C。2023 年数学期中考答案及解析第 2 页 共 10 页6.【答案】D【解析】由1)1()(23x
13、xfxf，xxfxf2)1(3)(2，令1x，得2)1(3)1(2xff，1)1(f,1)(23xxxf，11148)2(f，A 错误；xxxf23)(2，令0)(xf，得0 x或32x，)(xf在0,和,32上单调递减，B 错误；0)0(f，当)0,(x，0)(xf，当320，x，0)(xf，所以0 x，函数)(xf的极小值点，C 错误；由1)1(f，1)1(f，曲线)(xfy 在1x处切线为)1(1xy，即xy，故选 D7.【答案】C【解析】由题意,)0,(1cF，)0,(2cF，设一条渐近线方程为xaby,则1F到渐近线的距离为bbabc22.设1F关于渐近线的对称点为M,MF1与渐近线
14、交于A,bMF21,A为MF1的中点，又 O 是21FF的中点,MFOA2/,9021MFF，21FMF为直角三角形，由勾股定理得222)2()2(bcc，)43222acc（，224ac，ac2，2e.故选 C8.【答案】D【解析】0cos21)(xxf，由0 x且由极小值点判断知数列 na是首项341a，公差为2的等差数列，22022342)12023(342023a，故2334sinsin2023a，故选 D。二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分全部选对的得分全部选对的得 5 5 分，选对但不分，选对但不全的
15、得全的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分)9.【答案】AD【解析】由数列 na为等差数列.若1535852aaaa，55a，则102573aaa，2023 年数学期中考答案及解析第 3 页 共 10 页A 正确；1026171722172)(179917117aaaaS，B 错误；01a，且83SS，则087654aaaaa，则06a，nS取得最大值时，5n或6n，C 错误；由dnnnaSn)1(211，则2211dandnSn，可证nSn是等差数列，D 正确；故选 AD.10.【答案】BC【解析】由已知，13,2cba，若xPF 1轴，可得2321abPF，2523421
16、2PFaPF，A 错误；四边形21QFPF为平行四边形，周长为84 a，B正确；点P到点2F最小距离为1ca，C 正确；当点P为短轴端点时，21PFF最大，在2POF中，POOF 2，则452POF，故9021PFF，所以椭圆上不存在点P使9021PFF，D 错误。故选 BC.11.【答案】BC【解析】A：分别过点BA,作抛物线准线l垂线，垂足分别为BA,，则AFAA,BFBB,AB中点到准线的距离为422ABBBAA,AB中点到y轴距离为31424p，错误；B：CBA,三点坐标为),(),(),(332211yxyxyx，由F是ABC的重心，则13321xxx，3321xxx，又2p，由抛物
17、线焦半径公式得：623222321321pxxxpxpxpxFCFBFA，正确；C：设),(11yxP，41211xpxPF，31x，124121xy，211292121yxOP，正确；D：过Q作抛物线准线垂线，当P点为垂线与抛物线交点时，PQPF 取最小值，最小值为4)1(3，D 错误。故选 BC.12.【答案】CD【解析】设xxfxg)()(，由函数)(xf为奇函数，则)(xg为偶函数，又2)()()(xxfxf xxg，由已知可知，当0 x，)(xg为增函数，结合)(xg为偶函数，2023 年数学期中考答案及解析第 4 页 共 10 页则当0 x，)(xg为减函数.由0 e，则)()(e
18、gg，eeff)()(，则)()(efef，故 A 错误；只有当20 m时，才有)2()(2mfmf，当0m时，)2()(2mfmf不恒成立，B 错误；)(xg为偶函数，)4()3()3(ggg，4)4(3)3(ff，)4(3)3(4ff，0)4(3)3(4ff，C 正确.由0)2(f得0)2()2(gg，)()(xgxxf，故由0)(xf，有0)(0 xgx或0)(0 xgx，结合)(xg图象，得其解集为)2,0()2,(，D 正确。故选 CD.三、填空题三、填空题(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分)13.【答案】321，或与其共线的非
19、零向量均可。14.【答案】36【解析】甲、乙相邻，与丙都不相邻，甲、乙捆绑，除甲、乙、丙其余两人排列22A，两人旁边空档 3 个，由甲、乙捆绑看成一体与丙插空23A，甲、乙两人排列22A，故24222322AAA；甲、乙相邻，乙与丙相邻，甲、乙、丙三人可以“甲乙丙”及“丙乙甲”看成整体，与其余两人排列，12233A，则不同排法为361224。15.【答案】3,13【解析】由曲线2|1xy y得，当0y时221xy；当0y 时221xy；直线(2)ya x恒过2,0点，所以直线与曲线的图象如图所示.当直线(2)ya x与2210 xyy相切时，此时0a，得2211aa，解得33a ，当直线(2)
20、ya x与yx平行时，1a，直线(2)ya x与曲线2|1xy y要恰有 2 个公共点，可得313a，故答案为：3,13.2023 年数学期中考答案及解析第 5 页 共 10 页16.【答案】2ln1【解析】11)(xxg，则11)(ccg由拉格朗日中值的定义可知，函数xxxg ln)(在 区 间21，上 的 拉 格 朗 日 中 值c满 足，)12)()1()2(cggg，所 以12ln122ln)1()2()(ggcg，所以12ln11)(ccg，则2ln1c,故答案为：2ln1四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分)17.【答案】（1）2)2(12
21、2yx）（；（2）0 x或xy43.【解析】（1）设圆心的坐标为)2,(aaC，则212)12(222aaaa）（.-2 分化简，得0122 aa，解得1a-3 分)2,1(C，半径2)12()21(22 ACr圆C的方程为2)2(122yx）（-5 分（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0 x，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件-7 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kxy，由题意得1122kk，解得43k，直线l的方程为xy43-9 分综上所述，所求的直线方程为0 x或xy43-10 分18.【答案】（1）2500；（2）2；40.【解析】（1）由nnnnnnCCCC2
22、210，所有二项式系数和为n2，642 n，6n，-1 分rrrrrrrrxCxxCT3466636615)1(15，2346r，3r，-3 分2233364250051xxCT）（，展开式中含2x项的系数是2500.-5 分（2）令1x，得06543210aaaaaaa-，2023 年数学期中考答案及解析第 6 页 共 10 页令1x，得26543210aaaaaaa-，+，得226420）（aaaa，16420aaaa，-7 分令0 x，得10a，则211642aaa，-9 分求3a即求展开式中含3x项的系数，2322532554080)2()2()12(xxxCxCx，-11 分所以5)
23、12)(1(xx展开式中含3x项的系数是404080，即403a，-12 分19.【答案】（1）52 nan，12nnb；（2）1132122252212nnnnnnT.【解析】（1）设等差数列 na的公差为d，由4a是3a与7a的等比中项，得7324aaa，)6)(2()3(1121dadada，da321，31a，2d，52)1(23nnan，-3 分当1n时，1211 bb，11b当2n时，12nnbS，1211nnbS，两式相减，得122nnnbbb，12nnbb，数列 nb是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，12nnb，-6 分（2）由1252nnnnba，则1322522321
24、2113nnnT-，nnnnnT25227221212321132-，-7 分得，nnnnT25222222222321132-8 分nnnnnnnT252211211132522121211321122nnnnnn2522112522122321-11 分所以1132122252212nnnnnnT-12 分2023 年数学期中考答案及解析第 7 页 共 10 页20.【答案】（1）见解答；（2）21sin；（3）31PCPE.【解答】（1）证明：因为侧面PCD底面ABCD，PDCD，平面PCD平面ABCD=CD,PD平面PCD，所以PD底面ABCD，所以PDAD，又因为90ADC，即CDA
25、D，-1 分证法一：以D为原点,DPDCDA,为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)1,0,0(),0,2,0(),0,1,1(),0,0,1(PCBA所以)0,1,1(DB,)0,1,1(BC所以0BCDB，所以BDBC.由PD底面ABCD，可得BCPD,又因为BDBC，且DDBPD，所以BC平面PBD.证法二：取DC中点F，易证四边形ABFD为正方形，DCBF211，则BDBC.-2 分由PD底面ABCD，可得BCPD,又因为BDBC，且DDBPD，所以BC平面PBD.-3 分（2）由（1）知平面PBD的一个法向量)0,1,1(BC)1,0,1(PA，设直线AP与平面
26、PDB所成的角为，所以21221,coscosPABCPABCPABC.-6 分（3）假设满足条件E点存在，设PCPE，因为)1,2,0(PC，设),(000zyxE，则),2,0()1,(zyx，得12000zyx，即)120(，E，)120(，DE设平面EBD的一个法向量为),(111zyxn，)0,1,1(DB，2023 年数学期中考答案及解析第 8 页 共 10 页DEnDBn，0)1(201111zyyx，令11x，得1211111zyx，即平面EBD的一个法向量为1211，n，-9 分设二面角PBDE的平面角为二面角，其角为锐角，36)12(1122,coscos2BCnBCnBC
27、n,得31或1（舍去）-11 分所以侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角PBDE的余弦值为36，此时31PCPE.-12 分21.【答案】（1）xeey1；（2）函数)(xg在)1,0(和),2(上单调递增，在)2,1(上单调递减，当1x时，121)1()(gxg极大，当2x时，2ln31)2()(gxg极小（3）,12ea【解析】（1）11)(xxf，切线斜率11ek，eef1)(，切点)1,(ee，切线方程为)(11)1(exeey，即xeey1；-2 分（2）xxxxxxxfxg2ln32ln42)()(，定义域为),0(，由2222)2)(1(23213)(xxxxxxxxx
28、g，令0)(xg，得1x或2x，2023 年数学期中考答案及解析第 9 页 共 10 页x)1,0(1)2,1(2),2()(xf00)(xf函数)(xg在)1,0(和),2(上单调递增，在)2,1(上单调递减，当1x时，121)1()(gxg极大，当2x时，2ln31)2()(gxg极小-8 分（3）1)1()(xaxf，即1lnxaxxx，1ln axx，即xxa1ln在),0(上恒成立，则max1lnxxa-9 分记xxxg1ln)(，22ln2)1(ln1)(xxxxxg，令0)(xg，2ex 当),0(2ex时，0)(xg，)(xg单调递增,当),(2 ex时，0)(xg，)(xg单
29、调递减,则22max1)()(eegxg，-11 分故21ea，所以a的取值范围是,12e-12 分22.【答案】（1）求椭圆 C 的标准方程12822yx；（2）直线MN恒过定点)53,56(.【解答】（1）由2421 PFPF，可得242 a，所以22a，-1 分由点)1,2(P在椭圆上，可得11422ba，故22b，所以椭圆C的标准方程为12822yx.-4分（2）设),(11yxM，),(22yxN，若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为nmxy.将直线MN的方程代入12822yx，消去y得0848)41(222nmnxxm.由0)84)(41(48222nmmn）（，得2822
30、mn，2023 年数学期中考答案及解析第 10 页 共 10 页所以221418mmnxx，22214184mnxx，-6 分因为以MN为直径的圆过点P，所以)1,2()1,2(2211yxyxPNPM)1)(1()2)(2(2121yyxx)1)(1()2)(2(2121nmxnmxxx52)(2()1(221212nnxxmmnxxm052418)2(4184122222nnmmnmmnmnm整理得0)356)(12(nmnm.-9分因为点)1,2(P不在直线MN上，所以012nm，所以0356 nm，所以5356mn，于是直线MN的方程为53)56(xmy，所以直线MN恒过点)53,56(-10 分若直线MN与x轴垂直，设直线MN的方程为)2(ttx，则txx21，21yy，所以)1,2()1,2(11ytytPNPM0)2)(65(4142541)2(2222tttttyt.所以56t，此时直线MN经过点)53,56(.-11 分综上可得，直线MN恒过定点)53,56(.-12 分
